ÑOÄNG LÖÏC HOÏC LÖU
CHAÁT
CHÖÔNG 4
CHAÁT
V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG LÝ
TƯỞNG CHUYỂN ĐỘNG (P.Tr EULER)
dt
ud
)p(gradF
r
=
ρ
−
1


















==
∂
∂
ρ
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
ρ
−
⇔
)3(
z
u
u
y
u
u
x

y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
x
p1
F
z
z
z
y
z
x
zz
z
y
z
y
y
y
x
yy
y
x

y
y
zx
z
2
z
2
y
2
xx
x
)u(rotu)u(rotu
2
u
xt
u
y
u
x
u
u
x
u
z
u
u
2
u
2
u

∂
∂
−
∂
∂
−






∂
∂
−
∂
∂
+








++
∂
∂
+

rr
rr
rr
rr
Cuối cùng ta được Dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler:
u)u(rot
2
u
grad
t
u
pgrad
1
F
2
rr
r
∧+








+
∂
∂
=

×−+








∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
×−+








∂
∂

zt
u
z
p1
F
dy)u(rotu)u(rotu
2
u
yt
u
y
p1
F
dx)u(rotu)u(rotu
2
u
xt
u
x
p1
F
yxxy
2
z
z
xzzx
2
y
y
zyyz

Lưu chất chuyển động thế toàn miền: rot(u)=0 :(C là hằng số cho toàn miền)
Tích phân dọc theo đường dòng (C là hằng số trên đường dòng)
Tích phân dọc theo đường xoáy (C là hằng số trên đường xoáy).
Tích phân dọc theo đường xoắn ốc (C là hằng số trên đường xoắn ốc)
C
g2
up
zhayC
2
up
gz
22
=+
γ
+=+
ρ
+
•Trong trường hợp dòng chảy lưu chất không nén được, ổn đònh với
rot(u)≠
≠≠
≠0, xét trên phương pháp tuyến n với đường dòng:
Nếu lực khối là một hàm có thế, ta đưa hàm thế π vào với đònh nghóa sau:
π−=
∂
π∂
−=
∂
π∂
−=
∂

=
ρ
−π−
2
1
2
Trên phương pháp tuyến n với đường dòng (ngược chiều với phương bán kính r):Trên phương pháp tuyến n với đường dòng (ngược chiều với phương bán kính r):
r
u
r
u
r
u
r
u
n
r
u
)u,sin(.u.
u
n
p
n
2222
2
22
2
2
−=−=−
∂

π
r
2
=








+
∂
∂
⇒
Nếu lưu chất chòu tác dụng của lực trọng trường:
r
u
ρ
p
gz
r
2
=






γ
+
p
z
: là thế năng của một đơn vò trọng lượng lưu chất
(bao gồm vò năng đơn vò z và áp năng đơn vò p/γ).
g2
u
2
: là động năng của một đơn vò trọng lượng lưu chất.
γ
p
z
γ
p
z)a
D
D
A
A
+=+
γ
p
z
γ
p
z)b
D
D
C

+=+
Câu nào đúng?
III. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG THỰC CHUYỂN
ĐỘNG (P.Tr Navier-Stokes)
dt
ud
)u(div(gradu)p(gradF
r
rr
=ν+∇ν+
ρ
−
3
11
2
Tích phân phương trình Navier-Stokes cho toàn dòng chảy, ta được phương trình
Bernoulli viết cho toàn dòng chất lỏng thực không nén được chuyển động ổn
đònh. Đây là một dạng của phương trình năng lượng, mà ta chứng minh được
bằng pp TTKS trong chương động học:
IV. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG
∫∫∫∫∫
ρ
ρ
++++ρ
ρ
+++
∂
∂
=−
A

gzue(
dt
dW
2
2
1
∫∫∫∫
+−=+⇒
A
n
2
n
A
u
dAuρ)gZu
2
1
(
dt
dW
dAuρe
chú ý rằng:
Z = z+p/
γ
γγ
γ
là thế năng đơn vò
dt
dW
dAue

dAuρ)gZu
2
1
(Qhγ
Nếu xét cho một đoạn dòng chảy vào mặt cắt 1-1 và ra tại m/c 2-2 (
ρ
ρρ
ρ
=const)








ρ+−ρ+−=ρ
∫∫∫∫
dAu)gZu(dAu)gZu(Qgh
n
A
n
A
f 1
1
2
2
2
2

Vthật
A
n
ĐNQVĐNdAuu α=ρα==ρ
∫∫
22
2
1
2
1
với α
tầng
=2; α
rối
=1,05 - 1,1
Qρ)gZVα
2
1
(Qρ)gZVα
2
1
(Qghρ
2
2
221
2
11f
+−+=
21
2

ρ
ρρ
ρ
=const)
∑∑∑
=ρ+α−ρ+α
fjjjj
jra
iiii
ivào
HQ)gZV(Q)gZV(
22
2
1
2
1
Σ
ΣΣ
ΣH
f
là tổng năng lượng dòng chảy bò mất đi khi chảy từ các m/c vào đến các m/c ra
(trong 1 đ.vò thời gian).
2. Trong trường hợp dòng chảy có sự trao đổi năng lượng với bên ngoài (được
bơm cung cấp năng lượng H ; hay dòng chảy cung cấp năng lượng Ht cho
2. Trong trường hợp dòng chảy có sự trao đổi năng lượng với bên ngoài (được
bơm cung cấp năng lượng H
b
; hay dòng chảy cung cấp năng lượng Ht cho
turbine), thì ph. tr trên có dạng tổng quát hơn:
21

t
là năng lượng mà một đơn vò trọng lượng dòng chảy cung cấp cho turbine khi
qua turbine.
V. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG
B’
h
A
B
A’
Ví dụ 1: Đo lưu tốc điểm của dòng khí bằng ống Pito vòng
Áp dụng ph.tr Bernoulli trên đường dòng từ A tới B
(bỏ qua mất năng):
g
up
z
g
up
z
B
k
B
B
A
k
A
A
22
22
+
γ

B
B
A
p
z
p
z
g
u
2
2
Áp dụng phương trình thuỷ tónh lần lượt cho các cặp điểm AA’ (trong môi trườngÁp dụng phương trình thuỷ tónh lần lượt cho các cặp điểm AA’ (trong môi trường
khí), A’B’ (trong môi trường lỏng); BB’ (trong môi trường khí) ta có:















γ
+=

k
B
B
k
'B
'B
k
A
A
k
'A
'A
p
z
p
z
p
z
p
z
Suy ra








−

k
l
k
l
k
'A'B
'A'B
k
A
A
k
B
B
h
h
h
pp
)zz(
p
z
p
z
Như vậy:








Áp dụng p. tr năng lượng cho dòng chảy
từ m/c 1-1 đến 2-2 (bỏ qua mất năng):
g
Vp
z
g
Vp
z
nn
22
2
222
2
2
111
1
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
(α1,α2=1): Suy ra:






Q
2
2
1
1
22
2
11
2




γ




γ




nn
AA
g
21
2
1
2

2
2
2
1
2
1
2
2
Lưu lượng Q ở trên tính được không kể tới tổn thất năng lượng,
Thực tế lưu lượng Q
thực
nhỏ hơn, nên cần hiệu chỉnh lại lưu lượng sau khi
tính Q
tính
Hiệu chỉnh bằng công thức trên như sau: Q
thực
= CQ
tính
với C<1 là hệ số hiệu chỉnh Ventury (do mất năng sinh ra).
Ví dụ 3: Dòng chảy ổn đònh qua lỗ thành mỏng:
H
c
c
A
0
0
f
ccc
c
h

z
g
Vp
z
cccc
c
222
222
000
0
ξ+
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
ggg
222 γγ
V
0
=0, p
0
=0; Suy ra:
gH2CgH2
1
V
Vc

Với A là diện tích lỗ tháo, ε
εε
ε là hệ số co hẹp,
C
d
(<C
V
) là hệ số lưu lượng
Ví dụ 4: Dòng chảy ổn đònh qua đập tràn thành mỏng:
H
θ
θθ
θ
h
dh
0
B
h
Xem dòng chảy là tập họp của những
dòng chảy qua lỗ thành mỏng có bề rộng
B, cao dh nằm ở toạ độ h trên trục toạ độ
Oh như hình vẽ.
Lưu lượng qua lỗ tháo:
dh)hH(g2)h(
2
tg2C)hH(g2BdhCdQ
dd
−



2
215
8
2






θ
=