ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
−−− −−−

PHAN ĐỨC TUẤN

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
−−− −−−

PHAN ĐỨC TUẤN

PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC


.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

1.2. Phép biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Phép biến đổi Hartley trên Rd . . . . . .
1.2.2. Phép biến đổi Hartley trên đoạn hữu hạn

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.

.
.
.
.

2
3
5
7

.
.
.
.
.
.

13
13
13
16
20
20
38

Chương 2. Phép biến đổi tích phân dạng Fourier đối xứng 49

Dxα

∂ |α|
:= α1
.
∂x1 . . . ∂xαd d

xy : tích vô hướng của x và y, xác định bởi
xy = x1 y1 + · · · + xd yd , x, y ∈ Rd , và
|x|2 = x21 + · · · + x2d , xα = xα1 1 . . . xαd d
S : không gian các hàm f khả vi vô hạn trên Rd thỏa mãn
sup sup (1 + |x|2 )m |(Dxα f )(x)| < ∞, (m = 0, 1, 2, . . . ).

|α|≤m x∈Rd

L1 (E) : không gian các hàm f khả tích Lebesgue trên E,
với chuẩn f

1

|f (x)|dx.

=
E

L2 (E) : không gian các hàm f bình phương khả tích Lebesgue trên E,
với chuẩn f

2
2


5


Hα (x) : đa thức Hermite xác định bởi
2

2

Hα (x) = (−1)|α| e|x| Dxα e−|x| .
Φα (x) : hàm Hermite được xác định bởi
1

2

2

Φα (x) = (−1)|α| e 2 |x| Dxα e−|x| .
cas(x) : hàm Hartley xác định bởi
cas x = cos x + sin x
[x] : hàm phần nguyên của x.

6


MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài
Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệ đưa đến việc giải một
phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, hoặc phương
trình tích phân. Chẳng hạn, trong bài toán tính độ lệch đứng của một

K(x, y)ϕ(y)dy.

(0.3)

Ω

Một vấn đề đặt ra là đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân, tích
phân do các vấn đề của khoa học và công nghệ đưa đến. Có rất nhiều
hướng tiếp cận dựa trên nhiều lý thuyết toán học khác nhau trong việc
giải quyết vấn đề trên như: chỉ ra điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm,
sự ổn định nghiệm; giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy
rộng, v.v. Trong số đó, việc sử dụng các biến đổi tích phân để giải các
phương trình kể trên ra đời rất sớm và liên tục phát triển cho đến tận
ngày nay. Có vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết này phải kể đến
trước hết là biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, tiếp
theo là biến đổi Laplace, biến đổi Mellin, sau đó là các biến đổi Hankel,
Kontorovich-Lebedev, Stieltjes,.... Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích
phân, lý thuyết chập liên kết với các biến đổi tích phân cũng xuất hiện
vào khoảng đầu thế kỉ XX. Tuy nhiên, cho đến trước những năm 50 của
7


thế kỉ trước, không có nhiều chập liên kết với các biến đổi tích phân
được xây dựng. Cho đến khi những kết quả của Kakichev V.A. (1967)
và Kakichev V.A., Thao N. X. (1998) công bố (xem [31, 33]) về phương
pháp kiến thiết xây dựng chập suy rộng thì một loạt các chập suy rộng
mới liên kết với các biến đổi tích phân khác nhau ra đời. Những năm
gần đây, có khá nhiều bài báo và sách về các ứng dụng của các biến đổi
tích phân, chập liên kết với các biến đổi tích phân được công bố (xem
[9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42,


f (y) sin(xy)dy,

d

(2π) 2
1
(2π)
1
(2π)
1

d
2

d
2

Rd

f (y)e−ixy dy,
Rd

f (y)eixy dy,
f (y) cas(xy)dy,

d

(2π) 2
1

Ta,b = aTc + bTs , a, b ∈ C,
gọi là các biến đổi tích phân dạng Fourier. Trong số này, các biến đổi
Hartley có một số ưu điểm nhất định như: Chúng đóng vai trò quan trọng
trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]).
Khi tính toán số với hàm nhận giá trị thực thì các biến đổi Hartley nhanh
hơn biến đổi Fourier vì biến đổi Hartley của một hàm nhận giá trị thực
là một hàm nhận giá trị thực, trong khi biến đổi Fourier của một hàm
nhận giá trị thực có thể là một hàm nhận giá trị phức. Theo Ví dụ 1.2,
thì với hàm nhận giá trị thực
√
 2π e−x nếu x > 0,
f (x) =
 0
nếu x < 0,
nhưng ảnh Fourier của f là một hàm nhận giá trị phức
(F f )(x) =

1
,
1 + ix

trong khi các ảnh Hartley của f là các hàm nhận giá trị thực
(H1 f )(x) =

x+1
x−1
,
(H
f
)(x)

1
(T f )(x) = √
2π

f (y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy,
R

nghiên cứu các đặc trưng đại số, xây dựng chập liên kết với biến đổi này
và nguyên lý bất định Heisenberg.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các đặc trưng đại số của các biến đổi tích phân. Từ đó,
tìm ra biến đổi ngược và đi ngược từ đẳng thức nhân tử hóa để xây dựng
chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi tích phân. Đối với mỗi biến
đổi tích phân chúng tôi xây dựng bộ bốn chập mà nhân của chúng có
dạng
[f (x + y) + f (x − y) + f (−x + y) − f (−x − y)]g(y),
[f (x + y) + f (x − y) − f (−x + y) + f (−x − y)]g(y),
[f (x + y) − f (x − y) + f (−x + y) + f (−x − y)]g(y),
[−f (x + y) + f (x − y) + f (−x + y) + f (−x − y)]g(y).
Do đó, các tích phân có dạng
f (±x ± y)g(y)dy,
đều biểu diễn được qua các chập trên. Nhờ vậy, chúng tôi đã đưa phương
trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel về hệ phương trình tuyến tính.
Từ kết quả của đại số tuyến tính và biến đổi ngược, chúng tôi đưa ra điều
kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm và công thức nghiệm tường
minh.
10


4. Cấu trúc luận án và các kết quả

các hàm Hermite. Bên cạnh đó, chúng tôi còn sử dụng phần mềm Maple
để giải nghiệm tường minh cho một số phương trình đã xét. Đặc biệt, với
công cụ là chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley hữu hạn mà
một lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel sau (xem [48])
1
λϕ(x) +
π

b

[p(x − y) + q(x + y)]ϕ(y)dy = f (x),

(0.5)

a

có thể giải và thu được nghiệm ở dạng chuỗi. Phương trình này có rất
nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết tán xạ, lý
11


thuyết động lực học chất lỏng, lý thuyết lọc tuyến tính, trong nghiên cứu
các va chạm đàn hồi, tán xạ khí quyển, động lực học khí loãng, ... (xem
[1, 2, 5, 12, 17, 18, 30, 39, 47, 48]). Ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt
đối với nhân Toeplitz p và nhân Hankel q, bài toán tìm nghiệm đóng cho
phương trình (0.5) tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mở.
5. Ý nghĩa của các kết quả
Luận án đưa ra một cách tiếp cận khác trong việc nghiên cứu các biến
đổi tích phân. Đó là dựa vào các đặc trưng đại số của các biến đổi tích
phân. Theo cách tiếp cận này thì các biến đổi tích phân được phân loại

chứng minh.

1.1.1.

Phép biến đổi Fourier trên Rd

Định nghĩa 1.1 ([41, 47]). Biến đổi Fourier của hàm f được ký hiệu
(F f ) và được xác định như sau:
(F f )(x) =

1
(2π)

f (y)e−ixy dy,

d
2

(1.1)

Rd

trong đó, f là hàm thực hoặc phức xác định trên Rd .
Điều kiện đủ để tích phân (1.1) tồn tại là hàm f thuộc L1 (Rd ) và khi
đó ảnh Fourier của hàm f được miêu tả thông qua định lý sau.
Định lý 1.1 ([41, 47]). Nếu f ∈ L1 (Rd ) thì (F f ) ∈ C0 (Rd ) và
(F f )

∞


2π

f (x)e−ixy dy
R
1

e−ixy dy =
−1

2 sin x
,
π x

là hàm không thuộc không gian L1 (R) mà chỉ thuộc không gian C0 (R).
Khi xét biến đổi Fourier trong không gian S thì nó là ánh xạ liên tục
từ S vào S và có ánh xạ ngược được chỉ ra trong định lý dưới đây.
Định lý 1.2 ([41, 47]). (i) Nếu g ∈ S thì
g(x) =

1
(2π)

(F g)(y)eixy dy := (F −1 (F g))(x), (x ∈ Rd ).

d
2

Rd

(ii) Biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính, liên tục, 1 − 1 từ S lên S,

tử hóa (1.3)
1
(f ∗ g)(x) =
f (x − u)g(u)du,
d
d
2
(2π) R
F (f ∗ g)(x) = (F f )(x)(F g)(x).
14

(1.2)
nhân
(1.2)
(1.3)


Nhận xét 1.1. Ta biết tập các hàm Hermite {Φα } là cơ sở trực giao của
L2 (Rd ), và S trù mật trong L2 (Rd ). Những điều này và Định lý 1.2 gợi ý
cho việc mở rộng biến đổi Fourier lên L2 (Rd ), và vấn đề được thực hiện
ở Định lý 1.5 sau đây.
Định lý 1.5 ([41, 47]). Tồn tại duy nhất một đẳng cự tuyến tính F :
L2 (Rd ) → L2 (Rd ) thỏa mãn (F f ) = (F f ) với mọi f ∈ S.
Phép mở rộng F được gọi là biến đổi Fourier của f ∈ L2 (Rd ) và ký
hiệu (F f ) vẫn được dùng để thay thế cho (F f ). Nhờ tính duy nhất của
toán tử mở rộng F nên ta có thể phát biểu lại định lý Plancherel một
cách rõ ràng hơn như sau:
Hệ quả 1.1 ([47]). Giả sử f là hàm thực hoặc phức thuộc không gian
L2 (Rd ) và
1

Rd

Nhận xét 1.2. Từ đẳng thức Parseval suy ra F là toán tử unita. F có
trị riêng ảo (theo Tính chất 1.1) nên F là toán tử không đối xứng trong
không gian Hilbert L2 (Rd ).
15


1.1.2.

Phép biến đổi Fourier trên đoạn hữu hạn

Mục này sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất liên quan của biến
đổi Fourier trên đoạn hữu hạn. Đây là một công cụ để tìm nghiệm của
các bài toán biên ban đầu xác định trên miền hữu hạn. Biến đổi Fourier
sine hữu hạn được đưa ra bởi Doetsch (1935). Sau đó, một số tác giả
đã quan tâm và trình bày một cách tổng quát hơn như Kneitz (1938),
Koschmieder (1941), Brown (1944) và Roettinger (1947) (xem [15]).
Định nghĩa 1.2 (biến đổi Fourier hữu hạn, [3, 15, 43]). Biến đổi Fourier
hữu hạn của hàm f (x) được ký hiệu F{f (x)} và xác định bởi
1
F{f (x)}(n) =
2π

π

f (x)e−inx dx := fˆ(n), n ∈ Z,

(1.4)


theo công thức Euler thì chuỗi Fourier của hàm f được viết lại dưới dạng
∞

a0
(Ff )(x) =
+
[an cos(nx) + bn sin(nx)].
2
n=1
Điều kiện đủ để tích phân (1.4) tồn tại là f ∈ L1 [−π, π]. Theo bổ
đề Lebesgue - Riemann thì ảnh Fourier hữu hạn của hàm f được mô tả
thông qua định lý sau đây.
Định lý 1.6 (bổ đề Lebesgue - Riemann, [3, 15, 43]). Nếu f ∈ L1 [−π, π]
thì fˆ(n) ∈ c0 (Z).

16


Ta biết các hàm

1
√ e−inx : n ∈ Z ,
2π

là cơ sở trực chuẩn của L2 [−π, π] nên nếu f ∈ L2 [−π, π] thì chuỗi Fourier
của hàm f hội tụ về hàm f trong L2 [−π.π] ([3, 15, 43]). Nhưng khi
f ∈ L1 [−π, π] thì không phải lúc nào chuỗi Fourier của hàm f cũng hội
tụ và khi hội tụ cũng chưa hẳn hội tụ về hàm f .
Định lý 1.7 ([3, trang 88]). Cho f ∈ L1 [−π, π] và σn (f ) là tổng Cesàro
của chuỗi Fourier của hàm f . Khi đó

kỳ 2π và trơn từng khúc trên đoạn [−π, π] thì chuỗi Fourier của hàm f
hội tụ đến
1
[f (x+) + f (x−)].
2
Định lý 1.9 (chập Fourier hữu hạn, [3]). Giả sử hàm f, g xác định trên
R và tuần hoàn với chu kỳ 2π. Nếu f, g khả tích Lebesgue trên [−π, π]
thì biến đổi tích phân (1.5) là chập liên kết với biến đổi Fourier hữu hạn
cùng với bất đẳng thức chuẩn và đẳng thức nhân tử hóa
1
(f ∗ g)(x) =
F
2π
f ∗g
F

1

≤ f

1

π

f (x − u)g(u)du,
−π

g 1 ; F{(f ∗ g)(x)}(n) = fˆ(n)ˆ
g (n).
F


Tương tự, khi f là hàm lẻ thì chuỗi Fourier của hàm f được viết lại dưới
dạng
∞

fˆ(n) sin(nx),

(Ff )(x) = 2
n=1

trong đó
1
fˆ(n) =
π

π

f (x) sin(nx)dx.
0

Hai trường hợp trên của hàm f đã gợi ý cho việc đưa ra hai biến đổi
Fourier cosine và sine hữu hạn như sau:
Định nghĩa 1.3 ([15, trang 408]). Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên
[0, π]. Khi đó
(i) Biến đổi Fourier cosine hữu hạn của hàm f được ký hiệu Fc {f (x)}
và xác định bởi
π

2
Fc {f (x)}(n) =


(ii) Tổng vô hạn
∞

fˆs (n) sin(nx),
n=1

gọi là chuỗi Fourier sine của hàm f trên [0, π].
Mệnh đề 1.1 ([15, trang 410]). Cho hàm f có đạo hàm đến cấp hai khả
tích Lebesgue trên đoạn [0, π]. Khi đó
Fs {f (x)}(n) = −nfˆc (n),
Fs {f (x)}(n) = −n2 fˆs (n) +

2n
[f (0) + (−1)n+1 f (π)],
π

2
Fc {f (x)}(n) = nfˆs (n) + [(−1)n f (π) − f (0)],
π
2
Fc {f (x)}(n) = −n2 fˆc (n) + [(−1)n f (π) − f (0)].
π
Chập trong Định lý 1.9 xác định với f, g là hai hàm tuần hoàn với chu
kỳ 2π. Do đó, ta đưa ra hai mở rộng tuần hoàn với chu kỳ 2π cho một
hàm xác định trên 0 < x < π như sau:
Định nghĩa 1.5 ([15, trang 411]). Hàm f1 (x) gọi là mở rộng tuần hoàn
lẻ của hàm f (x) với chu kỳ 2π nếu
f1 (x) = f (x), 0 < x < π; f1 (−x) = −f1 (x),
và

Nhận xét 1.3. Hệ số Fourier của một hàm nhận giá trị thực có thể là
dãy số phức trong khi hệ số Fourier cosine, Fourier sine của một hàm
nhận giá trị thực là một dãy số thực. Do đó, khi cần tính toán số thì ta
sử dụng chuỗi Fourier cosine, Fourier sine sẽ thuận lợi hơn. Tuy nhiên,
khi sử dụng chập hữu hạn thì các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine
phải dựa trên các hàm mở rộng tuần hoàn. Nên việc sử dụng biến đổi
Fourier hữu hạn hoặc các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine hữu hạn là
tùy vào từng bài toán.

1.2.

Phép biến đổi Hartley

1.2.1.

Phép biến đổi Hartley trên Rd

Định nghĩa 1.6 ([6, 28]). Các biến đổi Hartley của hàm f được ký hiệu
(H1 f ), (H2 f ) và được xác định tương ứng bởi
(H1 f )(x) =
(H2 f )(x) =

1
d

(2π) 2
1

d


x+1
x−1
; (H1 f )(x) = 2
; (H2 f )(x) = 2
.
1 + ix
x +1
x +1

20

(1.8)


1.2

2.5

1
2

0.8
0.6

1.5
0.4
0.2

1


2

3

4

5

(H2f)(x)

x

Hình 1.1: f (x)

Hình 1.2: (H1 f )(x), (H2 f )(x)

Nhận xét 1.4. Khi f là hàm nhận giá trị thực thì ảnh Hartley của nó là
hàm nhận giá trị thực. Trong khi, ảnh Fourier của f có thể là hàm nhận
giá trị phức.
Cũng như biến đổi Fourier, điều kiện đủ để các tích phân (1.6), (1.7)
tồn tại là hàm f thuộc L1 (Rd ) và ta có kết quả tương tự với Định lý 1.1
như sau:
Định lý 1.11. Nếu f ∈ L1 (Rd ) thì (Hi f ) ∈ C0 (Rd ), (i = 1, 2) và
(Hi f ) ∞ ≤ f 1 .
√
Chứng minh. Từ | cas(xy)| ≤ 2, suy ra với mọi f ∈ L1 (Rd )
|(Hi f )(x)| ≤ f

1,



Từ Định lý 1.2 và (1.10) suy ra H1 , H2 là các ánh xạ tuyến tính, liên tục,
1 − 1 từ S vào S. Cuối cùng, ta đi chứng minh
H12 = I, H22 = I.

(1.11)

Sử dụng F 4 = I, F −1 = F 3 và (1.10), ta thu được (1.11).
Định lý 1.13 (định lý ngược, [7, 49]). Nếu f ∈ L1 (Rd ), (Hi f ) ∈ L1 (Rd ),
(i = 1, 2) và
f1 (x) :=
f2 (x) :=

1

(H1 f )(y) cas(xy)dy,

d

(2π) 2
1

Rd

(H2 f )(y) cas(−xy)dy,

d

(2π) 2



d

(2π) 2
1

Rd

(H1 g)(x)dx

d

(2π) 2

=

Rd

Rd

(H1 f )(y) cas(xy)dy
Rd

f1 (x)(H1 g)(x)dx.
Rd

22


Từ Định lý 1.12, ta có


H1 ,H2 ,H2

g)(x) =

1

f (x + y) − f (x − y)

d

2(2π) 2

Rd

+ f (−x + y) + f (−x − y) g(y)dy, (1.14)
H1 (f

(f

∗

H1 ,H2 ,H1

g)(x) =

∗

H1 ,H2 ,H2



f (x + y) + f (x − y)

d

2(2π) 2

Rd

− f (−x + y) + f (−x − y) g(y)dy, (1.16)
H1 (f

∗

H1 ,H1 ,H2

g)(x) = (H1 f )(x)(H2 g)(x).
23


Chứng minh. Trước tiên, ta đi chứng minh chập (1.13). Ta chỉ ra
(f ∗ g)(x) ∈ L1 (Rd ).
H1

Thật vậy
|(f ∗ g)(x)|dx
Rd

H1



|f (−x + y)|dx +

+
Rd

≤

2

|f (−x − y)|dx
Rd

|g(y)|dy

d

(2π) 2

|f (x + y)|dx
Rd

|f (x)|dx < +∞.

Rd

Rd

Bây giờ ta đi chứng minh đẳng thức nhân tử hóa. Ta có
(H1 f )(x)(H1 g)(x)

=

1

cas(xt)(f ∗ g)(t)dt

d

(2π) 2

H1

Rd

=H1 (f ∗ g)(x).
H1

Chứng minh phần đầu của các chập (1.14), (1.15), (1.16) tương tự với
phép chứng minh chập (1.13). Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức nhân tử
hóa.
Chứng minh chập (1.14). Ta có
(H2 f )(x)(H2 g)(x)
24


1
(2π)d
1
=
2(2π)d

cas(xt)(f

d

(2π) 2

=H1 (f

Rd

∗

H1 ,H2 ,H2

∗

H1 ,H2 ,H2

g)(t)dt

g)(x).

Chứng minh chập (1.15). Ta có
(H2 f )(x)(H1 g)(x)
1
(2π)d
1
=
2(2π)d
=


(2π) 2

=H1 (f

Rd

∗

H1 ,H2 ,H1

∗

H1 ,H2 ,H1

g)(t)dt

g)(x).

Chứng minh chập (1.16). Ta có
(H1 f )(x)(H2 g)(x)
1
(2π)d
1
=
2(2π)d
=

cas(xu) cas(−xv)f (u)g(v)dudv
Rd


(2π) 2

=H1 (f

Rd

∗

H1 ,H1 ,H2

∗

H1 ,H1 ,H2

g)(t)dt

g)(x).

Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 1.3. Xét các hàm

e−x nếu x > 0,
f (x) =
0
nếu x ≤ 0,
Ta có


e−2x


0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

0

-4

-2

0

2

-4

26