ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

NGUYỄN DUY TRƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
PHI TUYẾN CÓ CẤU TRÚC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————-

NGUYỄN DUY TRƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
PHI TUYẾN CÓ CẤU TRÚC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62460112

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TSKH. Vũ Hoàng Linh

nói chung. Những ý kiến quý báu của các thầy và các bạn ở các kỳ Xêmina bộ
môn cũng như sự tạo điều kiện của khoa và của bộ môn đã giúp tôi rất nhiều
trong việc hoàn thành luận án này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các anh chị em trong khoa Khoa học Tự nhiên,
Trường Sĩ Quan Lục Quân 1 và Phòng Quản lý Học viên, Đoàn 871, Tổng Cục
Chính Trị. Đơn vị đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi yên tâm học tập,
nghiên cứu và công tác. Sự quan tâm và những lời động viên, khích lệ của các
anh chị em và các đồng nghiệp đã giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thành
luận án của mình.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới "Quỹ phát triển khoa học và công nghệ quốc gia Nafosted". Quỹ đã dành nhiều sự hỗ trợ hết sức quý báu giúp tôi có điều kiện
tốt nhất để hoàn thành đề tài nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu như không có sự
động viên và hỗ trợ về mọi mặt của gia đình. Qua đây, tôi gửi lời cảm ơn tới
vợ, con tôi, những người luôn cho tôi động lực, tiếng cười và tạo điều kiện
thời gian cho tôi học tập và nghiên cứu. Luận án này, và những gì tôi đang cố
gắng thực hiện, là để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em và những người thân
trong gia đình, với tất cả lòng biết ơn sâu sắc nhất.

3


MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan

2

Lời cảm ơn



1.1.3 Sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu . . . . .
Phương pháp số cho phương trình vi phân thường . .
1.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . .
1.2.3 Phương pháp Runge-Kutta đầu ra liên tục . .
1.2.4 Phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Phương pháp Runge-Kutta với thác triển liên

.
.
.
.
.
.

25
28
28
31
33
36

phương trình vi phân có chậm . . . . . . . . . . . . . . .
Phương pháp số cho phương trình vi phân đại số dạng nửa hiện
chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.4 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp Runge-Kutta
2.2.5 Sự tích lũy của sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

49
49
52
58
60
62
67

2.3

Các phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Rời rạc hóa bằng phương pháp đa bước ẩn và bán hiện
2.3.2 Sự tích lũy của sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Sự hội tụ của phương pháp đa bước . . . . . . . . . . .
2.3.4 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp đa bước . . .
2.3.5 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
So sánh các phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3.2.1 Rời rạc hóa bằng phương pháp đa bước kết hợp với nội suy104
3.2.2 Sự hội tụ của phương pháp đa bước kết hợp với nội suy 106
Phương pháp Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục . . . 109
3.3.1 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta bán hiện
với thác triển liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.2 Sự hội tụ của phương pháp Runge-Kutta bán hiện với
thác triển liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Kết luận

127
5


Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án

128

Tài liệu tham khảo

129

6


BẢNG KÍ HIỆU

N


Ik

Ma trận đơn vị kích thước k × k

rank A

Hạng của ma trận A

⊗

Tích Kronecker

Const

Một hằng số nào đó

O(hk )

Vô cùng bé cùng bậc với hk

✷

Kết thúc chứng minh

7


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BTGTĐ


ERK

Runge-Kutta hiện (Explicit Runge-Kutta)

IRK

Runge-Kutta ẩn (Implicit Runge-Kutta)

CRK

Runge-Kutta liên tục (Continuous Runge-Kutta)

NCE

Thác triển liên tục tự nhiên (Natural Continuous Extension)

HEEL

Euler bán hiện (Half-explicit Euler)

HERK

Runge-Kutta bán hiện (Half-explicit Runge-Kutta)

HERK-CE

Runge-Kutta bán hiện với thác triển liên tục
(Half-explicit Runge-Kutta with Continuous Extension)



BDF

Công thức vi phân lùi (Backward Differentiation Formula)

8


MỞ ĐẦU

Rất nhiều bài toán thực tế trong các lĩnh vực khoa học kĩ thuật như cơ
học, hóa học, thiết kế mạch điện, điều khiển, v.v. được mô hình hóa dưới dạng
một hệ hỗn hợp các phương trình vi phân kết hợp với ràng buộc đại số. Các
hệ đó được gọi là phương trình vi phân đại số (PTVPĐS). PTVPĐS có dạng
tổng quát
F (t, x, x ) = 0,

(0.1)

trong đó t ∈ I = [0, T ], F : I × Rm × Rm → Rn , n, m ∈ N. Nếu ma trận
Jacobian của F theo x không suy biến thì từ phương trình (0.1) ta có thể giải
được x theo t, x, do đó chúng ta thu được một phương trình vi phân thường
(PTVPT). Trong trường hợp tổng quát, ma trận Jacobian của F theo x có thể
suy biến. Khi đó chúng ta có một PTVPĐS, còn gọi là phương trình vi phân
ẩn hay phương trình vi phân suy biến.
Ví dụ 0.1. [38, Example 1.2] Bài toán mô tả sự tiêu hao điện năng trong một
mạch điện gồm một điện trở và một tụ điện (xem Hình 0.1). Chúng ta sẽ ký hiệu
xi , i = 1, 2, 3 là điện năng tại mỗi nút của mạch điện, U (t) là hiệu điện thế, R, C lần
lượt là trở kháng của điện trở và điện dung của tụ điện.


(0.4)

mz2 + 2λy + mg = 0,
x2 + y2 − l 2 = 0.
Đây chính là một PTVPĐS chỉ số 3 với các biến x, y, z1 , z2 , λ.
Một số ví dụ khác như phương trình Van der Pol hay bài toán bán rời rạc
phương trình đạo hàm riêng Navier-Stokes, v.v. cũng dẫn đến các PTVPĐS.
Khi nghiên cứu các PTVPT cũng như các PTVPĐS, chúng ta thường quan
tâm tới hai bài toán là bài toán giá trị ban đầu (BTGTĐ) và bài toán giá trị biên.
10


Ở đây chúng tôi tập trung nghiên cứu BTGTĐ của PTVPĐS, khi đó nghiệm
của bài toán (0.1) thỏa mãn điều kiện đầu
x (0) = x0 ,

(0.5)

với x0 ∈ Rm . Khác với PTVPT, sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của
BTGTĐ (0.1), (0.5) cũng phụ thuộc vào giá trị ban đầu x0 , trong khi PTVPT
luôn có nghiệm với bất kì một điều kiện đầu cho trước. Trong Ví dụ 0.1, điều
kiện đầu ( x1 (0), x2 (0), x3 (0)) thỏa mãn
x1 (0) − x3 (0) − U (0) = 0,
x3 (0) − α(0) = 0,
thì bài toán mới có nghiệm. Trong Ví dụ 0.2, để hệ (0.4) có nghiệm thì điều
kiện đầu ( x0 , y0 ) ít nhất phải thỏa mãn
x02 + y20 − l 2 = 0.
Không những thế, điều kiện ban đầu của PTVPĐS có thể liên quan tới cả đạo
hàm của các ràng buộc tại thời điểm ban đầu, xem [8].
Các PTVPĐS xuất hiện từ các bài toán thực tế thường là các hệ rất phức tạp,

Trong những năm cuối thế kỉ 20 và đầu của thế kỉ 21, các nghiên cứu tập
trung vào lớp PTVPĐS dạng ẩn. Đầu tiên là các nghiên cứu của nhóm tác
giả I. Higueras, B. Garcia Celayeta, R. M¨arz và C. Tischendorf [34, 35]. Ở đây,
các tác giả đã nghiên cứu lớp PTVPĐS tuyến tính chỉ số 1 có cấu trúc theo
hướng tiếp cận bằng phép chiếu để biến đổi lại bài toán, sau đó áp dụng các
phương pháp BDF để thu được nghiệm số. Cùng thời gian này, P. Kunkel và
V. Mehrmann [36, 37, 39] đã có những nghiên cứu một cách tương đối có hệ
thống về PTVPĐS ẩn có dạng (0.1) có chỉ số tùy ý. Các tác giả nghiên cứu chỉ
số lạ của bài toán và đề xuất thuật toán đưa bài toán PTVPĐS (0.1) về dạng
chính tắc không có tính lạ, sau đó áp dụng các công thức rời rạc để thu được
nghiệm số của bài toán (0.1). Ngoài ra, các tác giả cũng nghiên cứu tính ổn
định của PTVPĐS (0.1), giới thiệu bài toán thử và định nghĩa hàm ổn định
tuyệt đối (OĐTĐ) của các phương pháp số cho PTVPĐS.
Gần đây, lớp các PTVPĐS đang thu hút sự quan tâm của các nhà toán học
là các PTVPĐS ẩn không có tính lạ có dạng
f (t, x, x ) = 0,
g(t, x ) = 0,

∀ t ∈ [ t0 , T ].

(0.6)

Không mất tính tổng quát ta giả thiết t0 = 0 và f : I × Rm × Rm → Rm1 ,
g : I × Rm → Rm2 , (m = m1 + m2 ) là các hàm đủ trơn và có các đạo hàm
12


riêng bị chặn thỏa mãn
f x (t, x, x )
gx (t, x )


không suy biến

(0.9)

dọc theo quỹ đạo của nghiệm x (t). Đây là một lớp nằm trong lớp các PTVPĐS
có dạng (0.6). Khác với cách tiếp cận bằng phép chiếu trong [35, 40], chúng tôi
đề xuất một phép biến đổi đơn giản để đưa bài toán (0.8) về dạng
f t, x (t), ( Ex ) (t) − E (t) x (t) = 0,
g t, x (t) = 0.
13

(0.10)


Sau đó áp dụng các phương pháp RK hay phương pháp đa bước (ẩn và bán
hiện) cho bài toán (0.10) để thu được nghiệm số cho bài toán (0.8).
Việc nghiên cứu các phương pháp số giải hiệu quả các PTVPĐS dạng (0.8)
xuất phát từ việc nghiên cứu các phương pháp số giải một lớp đặc biệt các
PTVPĐS ma trận nửa tuyến tính có dạng
E1 (t) X (t) = F t, X (t) ,
A2 (t) X (t) = 0,

∀t ∈ I,

(0.11)

trong đó X : I → Rm,m3 , F : I × Rm,m3 → Rm1 ,m3 , và các ma trận E1 : I →
Rm1 ,m , A2 : I → Rm2 ,m , thỏa mãn E(t) = [ E1 (t) T A2 (t) T ] T không suy biến
trên I. Việc giải số các PTVPĐS dạng (0.11) phát sinh trong quá trình phân

không suy biến
14

(0.14)


dọc theo nghiệm x (t).
Việc nghiên cứu mở rộng các phương pháp số cho PTVPC, PTVPĐSC nói
chung và lớp các PTVPĐSC (0.12) nói riêng là một yêu cầu hết sức tự nhiên
và cần thiết. Các phương pháp số giải PTVPC đã được nghiên cứu một cách
tương đối trọn vẹn và được trình bày đầy đủ trong [12]. Tuy nhiên vẫn chưa
có một nghiên cứu hệ thống và đầy đủ về PTVPĐSC và các phương pháp
số cho PTVPĐSC. Năm 1995, U. Ascher và L.R. Petzold [7] đã nghiên cứu về
PTVPĐSC nửa hiện chỉ số 1 dạng
y ( t ) = f y ( t ), y ( t − τ ), z ( t ), z ( t − τ ) ,
0 = g y ( t ), y ( t − τ ), z ( t ), z ( t − τ ) ,

(0.15)

và PTVPĐSC nửa hiện chỉ số 2 dạng
y ( t ) = f y ( t ), y ( t − τ ), z ( t ) ,
0 = g y ( t ), y ( t − τ ) ,

(0.16)

với trễ hằng τ > 0. Các tác giả đã phân loại bài toán, phân tích cách áp dụng
và khảo sát sự hội tụ của nghiệm số các bài toán này bằng các phương pháp
BDF và phương pháp RK ẩn. R. Hauber [33] đã nghiên cứu các PTVPĐS nửa
hiện chỉ số 1, 2 loại trễ với trễ phụ thuộc vào biến thời gian và biến trạng
thái. Với lớp bài toán này, tác giả đã khảo sát sự hội tụ của các phương pháp

Luận án sẽ nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp hiệu quả giải
một lớp PTVPĐS phi tuyến có cấu trúc. Ngoài ra, chúng tôi mở rộng áp
dụng các phương pháp đa bước, các phương pháp RK bán hiện cho một lớp
các PTVPĐSC có cấu trúc. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, luận án được chia thành ba chương. Kết quả chính tập chung trong các
Chương 2 và 3.
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị và kết quả
bổ trợ được sử dụng trong luận án. Cụ thể, chương này giới thiệu lại các khái
niệm cơ bản về PTVPĐS, PTVPC và PTVPĐSC. Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại
các khái niệm cấp chính xác, cấp hội tụ, tính ổn định tuyệt đối,.v.v. Đồng thời
chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ sử dụng ở các chương tiếp
theo. Giữa các bài toán và một số kết quả được nêu ra, chúng tôi sẽ chỉ ra mối
quan hệ của chúng với các bài toán được nghiên cứu trong luận án.
Chương 2 đề cập tới các PTVPĐS dạng không có tính lạ có cấu trúc (0.8).
Với PTVPĐS này, chúng tôi đề xuất biến đổi bài toán (0.8) về dạng (0.10) sau
đó rời rạc hóa bằng các phương pháp RK hoặc phương pháp đa bước. Bằng
cách tiếp cận này, chúng tôi xây dựng thuật toán, phân tích tính ổn định,
sự hội tụ của các phương pháp RK và phương pháp đa bước áp dụng cho
PTVPĐS đã biến đổi (0.10).
16


Trong chương cuối của luận án, chúng tôi xét một lớp các PTVPĐSC dạng
(0.12). Các phương pháp đa bước, phương pháp RK bán hiện đã được mở
rộng áp dụng cho lớp các bài toán này. Khi cài đặt, các giá trị trong quá khứ
được xấp xỉ bằng công thức nội suy hoặc bằng công thức thác triển liên tục.
Cuối mỗi phần, chúng tôi đưa ra một số thử nghiệm số để minh họa cho
các kết quả lý thuyết đồng thời cũng so sánh với cách tiếp cận thông thường.
Các kết quả trong luận án này đã được công bố trong 4 bài báo [1–4] (Danh
mục các công trình khoa học của tác giả, trang 124) và cũng được báo cáo tại:

1.1

Giới thiệu phương trình vi phân đại số và phương trình vi phân
đại số có chậm

1.1.1

Khái niệm và phân loại phương trình vi phân đại số

Định nghĩa 1.1. [38, Definition 1.1]
i. Một hàm x ∈ C1 (I, Rm ) là một nghiệm của PTVPĐS (0.1) nếu x thỏa mãn
(0.1) tại từng điểm.
ii. Một nghiệm x của PTVPĐS (0.1) thỏa mãn điều kiện đầu (0.5) được gọi
là nghiệm của BTGTĐ (0.1), (0.5).
iii. Một điều kiện đầu (0.5) gọi là tương thích với PTVPĐS (0.1) nếu BTGTĐ
có ít nhất một nghiệm. Khi đó, BTGTĐ (0.1) (0.5) gọi là giải được.
Cơ sở lý thuyết để nghiên cứu tính tương thích và sự tồn tại duy nhất
nghiệm của PTVPĐS đều bắt nguồn từ PTVPT. Tuy vậy, PTVPĐS cũng rất
khác với PTVPT cả về điều kiện đầu tương thích và các tính chất của nghiệm,
như đã được chỉ ra trong các ví dụ ở phần Mở đầu và trong các tài liệu [16,38].
18


Để phân loại các PTVPĐS, thì một cách thô nhất là phân loại theo cấu trúc
ẩn hay bán hiện. Một cách phân loại khác phản ánh được tính chất động
lực của bài toán hay mức độ phức tạp của bài toán là phân loại theo chỉ số.
Trong lý thuyết phương trình vi phân đại số có nhiều cách định nghĩa chỉ số
của PTVPĐS khác nhau như chỉ số vi phân (differentiation index) bởi C.W.
Gear, B. Leimkuhler và G. Gupta [24, 25], chỉ số nhiễu (perturbation index)
bởi Hairer và các cộng sự [30], chỉ số lạ (strangeness index) bởi P. Kunkel và


F (t, x, x , . . . , x

( +1)



)=





F (t, x, x )
d
dt F ( t, x, x


) 

..

.

d
( dt ) F (t, x, x )



F (t, x, x )


) = − F ;x (t, x, x , . . . , x (

+1)

+1)

),

), 0, . . . , 0 .

(1.3)

Giả thiết 1.1. [38, Hypothesis 4.2] Tồn tại các số nguyên µ, a và d sao cho tập
nghiệm
Lµ = {(t, x, x , . . . , x (µ+1) ) ∈ R(µ+2)n+1 | Fµ (t, x, x , . . . , x (µ+1) ) = 0}
( µ +1)

khác rỗng và tại mỗi điểm (t0 , x0 , x 0 , . . . , x0

(1.4)

) ∈ Lµ đều tồn tại một lân cận đủ

nhỏ sao cho trong lân cận đó các tính chất sau được thỏa mãn.
1. Trên tập Lµ , rank Mµ (t, x, x , . . . , x (µ+1) ) = (µ + 1)n − a sao cho tồn tại một
hàm ma trận trơn Z2 có cỡ (µ + 1)n × a có hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa
mãn Z2T Mµ = 0.
2. Ta có rank Aˆ 2 (t, x, x , . . . , x (µ+1) ) = a sao cho tồn tại một hàm ma trận trơn T2
có cỡ n × d, d = n − a có hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa mãn Aˆ 2 T2 = 0,

PTVPĐS mà không nói gì thêm thì đó là chỉ số vi phân của bài toán. Tiếp
theo, chúng ta sẽ giới thiệu thêm hai lớp PTVPĐS thường gặp sau:
(1) PTVPĐS chỉ số 1 dạng nửa hiện (Hessenberg index-1)
y = F (t, y, z),
0 = G (t, y, z),

∀ t ∈ I,

(1.5)

với một điều kiện đầu (0, y0 , z0 ) tương thích thỏa mãn
G (0, y0 , z0 ) = 0.

(1.6)

Giả thiết rằng, đạo hàm riêng Gz có nghịch đảo bị chặn trong một lân cận của
nghiệm chính xác. Từ phương trình thứ 2 của (1.5) và theo Định lí hàm ẩn, ta
có thể giải được z = R(t, y) trong một lân cận của nghiệm, thế vào phương
trình thứ nhất của (1.5) ta thu được một PTVPT
y = F t, y, R(t, y) .

(1.7)

Như vậy, có thể thấy PTVPĐS (1.5) có chỉ số vi phân bằng 1 nhưng có chỉ số
lạ bằng 0 hay dạng không có tính lạ.
21


(2) PTVPĐS chỉ số 2 dạng nửa hiện (Hessenberg index-2)
y = F (t, y, z),

số cho phương trình vi phân đại số có chậm (PTVPĐSC) đều được mở rộng
từ PTVPC. Đến nay vẫn chưa có một tài liệu nghiên cứu một cách hệ thống
về PTVPĐSC và các phương pháp số cho PTVPĐSC. Không những thế, có
rất ít nghiên cứu về phương pháp số giải PTVPĐSC, trong đó chủ yếu là các
phương pháp ẩn và cho lớp các PTVPĐSC nửa hiện.
Dạng tổng quát các PTVPC và PTVPĐSC là
f (t, y (t), y(t), y (t − τ ), y(t − τ )) = 0,

∀ t ∈ I,

(1.10)

trong đó hàm f đủ trơn với các đạo hàm riêng bị chặn, trễ τ > 0 có thể là hằng
số hoặc phụ thuộc vào thời gian t và biến trạng thái y. Nếu f y =
22

∂f
∂y

không


suy biến, ta có trường hợp đơn giản hơn khi phương trình (1.10) có thể được
biến đổi thành một PTVPC dạng
y (t) = ϕ¯ (t, y(t), y (t − τ ), y(t − τ )).

(1.11)

Trường hợp đạo hàm riêng f y suy biến ta gọi phương trình (1.10) là dạng
tổng quát của PTVPĐSC.

23


trễ hằng
a1 y (t) + a2 y (t − τ ) + b1 y(t) + b2 y(t − τ ) = f (t),

(1.13)

với các hằng số a1 , a2 , b1 , b2 .
Định nghĩa 1.5. PTVPC (1.13) được gọi là loại trễ (retarded type) nếu a1 = 0
và a2 = 0. Nó được gọi là loại trung tính (neutral type) nếu a1 = 0 và a2 = 0.
Nó được gọi là loại sớm (advanced type) nếu a1 = 0 và a2 = 0.
Với PTVPĐSC, luận án của H. Phi [54] đã đưa ra định nghĩa để từ đó phân
loại cho PTVPĐSC tuyến tính có dạng
E ( t ) y ( t ) = A ( t ) y ( t ) + B ( t ) y ( t − τ ) + γ ( t ).

(1.14)

Đến nay, vẫn chưa có một cách phân loại cho PTVPĐSC tổng quát (1.10). Vì
vậy, chúng ta sẽ chấp nhận cách phân loại này.
Định nghĩa 1.6. [54, Definition 3.6] PTVPĐSC (1.14) được gọi là
i. thuộc loại trễ nếu tất cả các ràng buộc của (1.14) được viết dưới dạng ràng
buộc vô hướng
K+

∑

β =0

( β)