ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THẾ

DẠY HỌC THEO HƯỚNG
TIẾP CẬN NĂNG LỰC NỘI DUNG "NGUYÊN HÀM"
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Vũ Lương

HÀ NỘI – 2014


LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong bản luận văn này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến
ban lãnh đạo trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội cùng các
thầy cô giáo tham gia giảng dạy tại trường đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu.
Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn
Vũ Lương- người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trong
quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trường

Học sinh

KHTN

Khoa học tự nhiên

MĐ

Mức độ

THPT

Trung học phổ thông

ii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ..........................................................................................................i
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................ii
MỤC LỤC ............................................................................................................ iii
LỜI MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................. 5
1.1. Khái niệm năng lực........................................................................................... 5
1.2. Mô hình cấu trúc năng lực ................................................................................ 5
1.2.1. Mô hình cấu trúc năng lực chung ................................................................... 5
1.3. Sự hình thành và tiếp cận năng lực ................................................................. 10
1.4. Năng lực toán (Mathematical competence) ..................................................... 11
1.4.1. Khái niệm .................................................................................................... 11
1.4.2. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và tiếp cận năng lực toán: ............. 11

3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm .......................................................................... 79
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ...................................................................... 79
3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ........................................................................ 79
3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm............................................................. 79
3.3.2. Phương pháp và tiến trình thực nghiệm ........................................................ 80
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm......................................................................... 84
3.4.1. Đánh giá định tính ....................................................................................... 84
3.4.2. Đánh giá định lượng .................................................................................... 85
3.5. Kết luận chung về thực nghiệm....................................................................... 88
KẾT LUẬN ........................................................................................................... 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 91
PHỤ LỤC

iv


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Dạy học tiếp cận năng lực (approach to competency) là một xu hướng dạy học
mới phù hợp với sự phát triển của khoa học kỹ thuật. Hàng năm có hàng nghìn phát
minh mới để phục vụ cho đời sống con người cho nên mỗi công dân trong thời đại
mới ít quan tâm hoặc không cần trả lời câu hỏi “sáng tạo ra công cụ này bằng cách
nào?” mà mong muốn sử dụng hiệu quả nhất những công cụ được phát minh đó.
Nên trong các bài giảng, giáo trình dạy học ngày nay luôn hướng tới sự thực hành
thành công các kết quả lí thuyết. Hơn nữa một học sinh sau khi tốt nghiệp ra trường
ngoài khả năng thực hành còn phải có đầy đủ các năng lực cá nhân để có thể làm
việc tốt. Hiện nay, trong hoạt động dạy học người ta quan tâm đến kết quả cuối
cùng và thế là công đoạn kiểm tra, đánh giá được quan tâm nhiều hơn và được phát
triển thành một nghệ thuật toàn cầu. Đó mới là sự thống nhất và ý tưởng nhưng thực
hiện như thế nào để hiệu quả nhất đang rất cần sự đóng góp của nhiều người làm


Nâng cao khả năng tự học

Đồng thời chú ý đến các năng lực khác như: Làm việc theo nhóm, hợp tác và
trình bày, thuyết phục.
Nói tóm lại dạy và học theo hướng tiếp cận năng lực giàu tính thực tiễn và
hướng tới thành công được đánh giá cụ thể là năng lực cho mỗi người học. Một
cách tất nhiên là mô hình này dễ thành công đối với số ít học sinh (số cá nhân được
chăm sóc) hoặc tại các trường chuyên Việt Nam vì hội tụ đủ các điều kiện đòi hỏi
cuả dạy học tiếp cận năng lực. Tuy nhiên mô hình này lại không dễ áp dụng cho
giáo dục đại trà, để đạt được hiệu quả cần sự hỗ trợ và đồng tình của mọi người.
Kiến thức nguyên hàm có nhiều cách tiếp cận và trình bày trong các sách giáo
khoa môn toán. Trong những năm qua đó có những ý kiến khác nhau trong việc
trình bày nội dung nguyên hàm trong các sách giáo khoa môn toán THPT. Thực tế
đó có những cách trình bày khác nhau về nội dung này. Mỗi cách trình bày có
những ưu điểm và hạn chế riêng. Việc nghiên cứu một cách toàn diện các cách tiếp
cận nội dung dạy học về chủ đề nguyên hàm cùng những định hướng dạy học là một
việc nên làm.
Có một số chương trình nghiên cứu về nội dung nguyên hàm. Tuy nhiên chưa
có công trình nào đề cập đến vấn đề dạy học theo hướng tiếp cận nội dung nguyên
hàm. Với những lý do trên, tác giả chọn đề tài luận văn thạc sĩ là: “Dạy học theo
hướng tiếp cận năng lực nội dung “nguyên hàm” ở trường trung học phổ thông”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn về phương pháp dạy học theo
hướng tiếp cận năng lực nội dung nguyên hàm từ đó đề xuất một số biện pháp vào
dạy học nội dung nguyên hàm nhằm rèn luyện năng lực tư duy, năng lực giải quyết
vấn đề và năng lực tự học cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn về hướng tiếp cận năng lực.
- Nghiên cứu về nhiệm vụ và bản chất của việc dạy học theo hướng tiếp cận

- Ý nghĩa lý luận của đề tài: Cung cấp một cách rõ ràng và hệ thống cơ sở lí
luận những vấn đề cơ bản về dạy học theo hướng tiếp cận năng lực.
- Ý nghĩa thực tiễn của đề tài: Kết quả nghiên cứu góp phần đưa ra phương
pháp dạy học nội dung nguyên hàm theo hướng tiếp cận năng lực tạo cơ hội cho học
sinh rèn luyện năng lực thực hành, phân tích, tổng hợp, năng lực giải quyết vấn đề
và năng lực tự học.

3


9. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
+ Nghiên cứu lý luận:Nghiên cứu sách báo, tư liệu, các công trình có liên quan
đến đề tài.
+ Điều tra – Quan sát:Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học
tập của học sinh trong quá trình dạy học nội dung nguyên hàm nhằm rèn luyện các
năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tự học cho học sinh.
+ Tổng kết kinh nghiệm:Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế dạy học
và quá trình nghiên cứu của bản thân qua trao đổi với những đồng nghiệp có kinh
nghiệm ở các trường phổ thông.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Dạy học thực nghiệm cho học sinh lớp
12 trung học phổ thông, để bước đầu kiểm tra tính khả thi, hiệu quả của đề tài.
10. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục,
luận văn dự kiến được trình bày trong 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học theo hướng tiếp cận năng lực
nội dung nguyên hàm cho học sinh trung học phổ thông
Chương 2: Thiết kế một số giáo án dạy học theo hướng tiếp cận nội dung
nguyên hàm ở trường trung học phổ thông
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

mà nó được hình thành và phát triển trong quá trình hoạt động và giao tiếp.
1.2. Mô hình cấu trúc năng lực
1.2.1. Mô hình cấu trúc năng lực chung
Năng lực được định nghĩa theo rất nhiều cách khác nhau, tùy thuộc vào bối
cảnh và mục đích sử dụng những năng lực đó. Các năng lực còn là những đòi hỏi

5


của các công việc, các nhiệm vụ, và các vai trò vị trí công việc. Vì vậy, các năng lực
được xem như là những phẩm chất tiềm tàng của một cá nhân và những đòi hỏi của
công việc. Nhóm năng lực chung bao gồm:
1.2.1.1. Nhóm năng lực làm chủ và phát triển bản thân
*Năng lực tư duy
Theo Từ điển tiếng Việt phổ thông: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình
nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những
hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lí”
Theo Từ điến triết học: “Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ
chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan
trong các khái niệm, phán đoán , lý luận….Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt
động sản xuất của con người và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián tiếp phát
hiện những mối liên hệ hợp với quy luật của thực tại”.
Theo quan điểm của Tâm lý học: “Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận
thức lý tính, là một mức độ nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư
duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy
luật của sự vật, hiện tượng mà trước đó ta chưa biết.
Mục tiêu của năng lực tư duy cần đạt được ở bậc THPT
Đặt câu hỏi để làm rõ các tình huống và những ý tưởng trừu tượng, làm rõ
thông tin và ý tưởng phức tạp từ các nguồn thông tin khác nhau, phân tích các
nguồn thông tin độc lập để thấy được khuynh hướng và độ tin cậy.

Năng lực tự học là nội lực phát triển bản thân của người học.Trong bất cứ con
người Việt Nam nào, đều tiềm ẩn một tiềm lực, một tài nguyên quốc gia vô cùng
quý giá: Đó là năng lực tự tìm tòi, tự nghiên cứu, tự giải quyết vấn đề thực tiễn, tự
đổi mới sáng tạo trong công việc hàng ngày.
Năng lực tự học của người học có nhiều mức độ khác nhau:
- Tự học hoàn toàn (học với sách vở, với trang thông tin đại chúng không có thầy
bên cạnh)
- Tự học có người hướng dẫn (đây cũng là hình thức hoạt động tự lực của
người học để chiễm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng tương ứng dưới sự hướng
dẫn, tổ chức, chỉ đạo của giáo viên thông qua tài liệu hướng dẫn tự học)
Theo Lê Công Triêm, các nhóm năng lực tự học của người học gồm:
+ Năng lực nhận biết, tìm tòi, phát hiện vấn đề.
+ Năng lực giải quyết vấn đề.

7


+ Năng lực xác định kết luận đúng (kiến thức, cách thức, giải pháp, biện
pháp,…) từ quá trình giải quyết vấn đề.
+ Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn hoặc nhận thức kiến thức mới.
+ Năng lực đánh giá và tự đánh giá.
Mục tiêu của năng lực tự học cần đạt được ở bậc THPT
Xác định nhiệm vụ học tập cso tính đến kết quả học tập trước đây và định
hướng phấn đấu tiếp, mục tiêu học được đặt ra chị tiết, cụ thể, đặc biệt tập chung
nâng cao hơn những khía cạnh còn yếu kém.
1.2.1.2. Nhóm năng lực về quan hệ xã hội
*Năng lực tự quản lí
Đánh giá được ảnh hưởng của các yếu tố tác động đến hành động, việc làm
của mình, trong hoạt động và cuộc sống hàng ngày, làm chủ được cảm xúc của bản
thân trong học tập và cuộc sống.

1.2.1.3. Nhóm năng lực công cụ
*Năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông
Lựa chọn và sử dụng hiệu quả các thiết bị ICT để hoàn thành nhiệm vụ cụ thể,
hiểu được các thành phần của hệ thống mạng để kết nối, điều khiển và khai thác các
dịch vụ trên mạng, tổ chức và lưu trữ dữ liệu an toàn và bảo mật trên các bộ nhớ
khác nhau và nơi những định dạng khác nhau.
Xác định được thông tin cần thiết và xây dựng được tiêu chí lựa chọn, sử dụng
kĩ thuật tìm kiếm nâng cao để tìm kiếm, tổ chức lưu trữ để hỗ trợ nghiên cứu kiến
thức mới, đánh giá được độ tin cậy của các thông tin, dữ liệu đã tìm được. Xử lý
thông tin hỗ trợ giải quyết vấn đề, sử dụng ICT để hỗ trợ quá trình tư duy, hình
thành ý tưởng mới cũng như lập kế hoạch giải quyết vấn đề, sử dụng công cụ ICT
để chia sẻ, trao đổi thông tin và hợp tác với người khác một cách an toàn, hiệu quả.
*Năng lực sử dụng ngôn ngữ
Nghe và chắt lọc được thông tin bổ ích từ các bài đối thoại, chuyện kể, lời giải
thích, cuộc thảo luận, nói với cấu trúc logic, biết cách lập luận chặt chẽ và có dẫn
chứng xác thực, thuyết trình được nội dung chủ đề thuộc chương trình học tập, đọc
và lựa chọn được các thông tin quan trọng từ các văn bản, tài liệu, viết đúng các
dạng văn bản, tài liệu, viết đúng các dạng văn bản với cấu trúc hợp lí, logic, thuật
ngữ đa dạng đúng chính tả, đúng cấu trúc câu, rõ ý.
Phát âm được tổ hợp phụ âm, tỉnh lược âm, đồng hóa, nối âm, nhịp điệu, ngữ
điệu, sử dụng hợp lí từ vựng và mẫu câu trong hai lĩnh vực khẩu ngữ và bút ngữ, có
từ vựng dùng cho các kĩ năng đối thoại và độc thoại, phát triển kĩ năng phân tích

9


của mình, làm quen với các cấu trúc ngôn ngữ khác nhau thông qua các cụm từ có
nghĩa trong các bối cảnh tự nhiên trên cơ sở hệ thống ngữ pháp.
*Năng lực tính toán
Vận dụng thành thạo các phép tín trong học tập và cuộc sống, sử dụng hiệu


1.4. Năng lực toán (Mathematical competence)
1.4.1. Khái niệm
Năng lực toán là tổ hợp các kỹ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện các hoạt
động toán học. Các kỹ năng của cá nhân vừa là sản phẩm của sinh lý (có sẵn) vừa là
sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có). Các hoạt động toán học đó là các thao
tác đặc trưng (phân tích, suy luận, lập luận, chứng minh,…) với các đối tượng, nội
dung toán học.
Theo V.A.Krutetxki cấu trúc năng lực toán gồm 4 thành phần:
1) Khả năng thu nhận thông tin toán
2) Khả năng chế biến thông tin toán
3) Khả năng lưu trữ thông tin toán
4) Khuynh hướng chung về toán
1.4.2. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành và tiếp cận năng lực toán:
1.4.2.1. Yếu tố tự nhiên – sinh học
Năng lực toán của học sinh được di truyền từ cha mẹ, mà chúng ta hay gọi là
năng khiếu toán. Thực tế có nhiều học sinh được thừa hưởng những thuộc tính sinh
học (gen), những phẩm chất toán học từ cha mẹ là những người có năng lực toán
học tốt. Di truyền tạo ra những điều kiện ban đầu để học sinh có triển vọng phát
triển năng lực toán tốt. Tuy nhiên, điều đó chỉ tạo nên những tiền đề vật chất cho sự
hình thành và phát triển năng lực toán sau này.
1.4.2.2. Yếu tố môi trường xã hội và giáo dục
Mỗi học sinh đều sống (hoạt động) trong một môi trường xã hội nhất định.
Môi trường góp phần tạo nên động cơ, mục đích, phương tiện, hành động của cá
nhân, trong đó giáo dục đóng vai trò chủ đạo. Chính vì thế, trên thế giới có những
nước toán học rất phát triển, là môi trường ươm mầm cho những tài năng toán học
xuất chúng. Hay trong một quốc gia, có những địa phương có phong trào học toán
vượt trội so với những nơi khác, mà người ta hay gọi là đất học toán.
1.4.2.3. Yếu tố nội dung của toán học
Chính trong bản thân môn toán học với nội dung có đặc tính trừu tượng, logic


12


CHƯƠNG 2
MỘT SỐ BÀI GIẢNG TIẾP CẬN NĂNG LỰC VỀ NỘI DUNG
NGUYÊN HÀM

Trong chương này tác giả trình bày các bài giảng về nguyên hàm theo hướng
tiếp cận năng lực. Các nội dung thực hành được sắp xếp lại, các nội dung lí thuyết
và thực hành được kết hợp lại theo từng bài giảng mà vẫn bao được khá đầy đủ các
dạng toán về nguyên hàm.
Trong chương này tác giả đi xây dựng các bài giảng cụ thể hướng tới sự phát
triển năng lực của học sinh. Mục tiêu mà các bài giảng cần đạt được là tạo ra nhiều
cơ hội để học sinh vượt qua thách thức, phát triển năng lực. Mặt khác các bài giảng
tác giả nêu dưới đây là các ví dụ minh họa trả lời cho câu hỏi “Xây dựng các bài
giảng cụ thể như thế nào để dạy học phát triển năng lực hiệu quả nhất?”.
2.1. Dạy học tiếp cận năng lực thực hành nội dung“phương pháp tích phân
từng phần”
Theo phương pháp dạy học truyền thống, trong quá trình giảng dạy người giáo
viên truyền thụ kiến thức dưới hình thức một chiều, chỉ quan tâm học sinh học được
những nội dung nào mà chưa quan tâm tới việc học sinh sẽ làm được những gì sau
khi kết thúc bài học. Hiện nay giáo dục Việt Nam đang hướng tới dạy học theo
phương pháp tiếp cận năng lực (phát triển năng lực người học). Với phương pháp
giảng dạy này giáo viên chỉ dạy rất ít, nhưng đưa ra được nhiều câu hỏi thách thức,
và có các hình thức kiểm tra đánh giá năng lực người học sau mỗi bài học. Chính vì
vậy cần đòi hỏi người giáo viên phải soạn bài rất công phu.
Năng lực của học sinh được hình thành và phát triển từ thấp đến cao, do vậy
chúng ta nên chọn các nội dung cơ bản, đơn giản trước để bước đầu học sinh có thể
rèn luyện và phát triển năng lực thực hành một cách thuần thục và hiệu quả. Chính

Ta có: d (uv )  udv  vdu
  d  uv    udv   vdu
 uv   udv   vdu
  udv uv   vdu

2.1.1.2. Xây dựng các ví dụ mẫu
Bài toán 1 (Dạng tích 2 hàm số sơ cấp khác nhau): Tính nguyên hàm
I1 

 x ln x d x
Bài giải

14


 x 2  x 2 ln x
x2
x 2 ln x 1
x 2 ln x x 2
I1   ln xd   
  d  ln x  
  xdx 
 C
2
2
2
2
2
4
 2

Bài toán 3: Tính nguyên hàm I 3   x 2 sin xdx
Bài giải
I 3   x 2 d   cos x    x 2 cos x  2  x cos xdx   x 2 cos x  2  xd (sin x)
  x 2 cos x  2 x sin x  2 sin xdx   x 2 cos x  2 x sin x  2cos x  C

Nhận xét 3:
+) Tính được nguyên hàm sau I   x  sin xdx hoặc I   x  cos xdx
+) Có thể tính được các nguyên hàm sau bằng cách khử phép nhân của các biểu
thức lượng giác A   x.

sin 5 x
dx ;
sin x

B   x sin 4 xdx ;

C   x sin 3 x cos 2 xdx

Hướng dẫn
*sin 5 x   sin 5 x  sin 3 x    sin 3x  sin x   sin x  2 cos 4 x sin x  2 cos 2 x sin x  sin x


sin 5 x
 2 cos 4 x  2 cos 2 x  1
sin x
2

1
1
1  cos4 x 


Bài giải
x
x
 3x 
 3x 
3x
2
2 3
2 3
I 4   x2d 

x
.

2
x
.
dx

x
.

xd



ln 3  ln 3
ln 3 ln 3   ln 3 
 ln 3 


Nhận xét 4: Dạng nguyên hàm I n   x n .a x dx tính được bằng phương pháp tích phân
từng phần.
Bài toán 5: (hàm mũ và hàm lượng giác). Tính nguyên hàm I 5   e x sin xdx
Bài giải
I 5   sin xd (e x )  e x sin x   e x d (sin x)  e x sin x   cos xd (e x )





 e x sin x  e x cos x   e x sin xdx  e x sin x  e x cos x  I 5
 2 I 5  e x sin x  e x cos x
 I5 

ex
 sin x  cos x   C
2

Nhận xét 5:
+) Tính được nguyên hàm sau I   m ax  b .sin nxdx; I   m ax  b .cosn xdx
+) Các dạng nguyên hàm sau đây tính được bằng cách đưa về các dạng nguyên hàm
đơn giản A   e x sin 3 xdx ; B   e x .

cos5 x
dx
cos x

Hướng dẫn
*sin 3 x 

 g ( x) dx

là một nguyên


Bài giải
I6   xd  tan x dx  x tan x   tan xdx  x tan x  

sin x
d (cos x)
dx x tan x  
 x tan x  ln cos x  C
cos x
cos x

Bài toán 7: Tính nguyên hàm I 7   x tan 4 xdx
Bài giải
1
 1

I 7   x tan 2 x 
 1 dx   x tan 2 x.
dx   x tan 2 xdx
2
cos 2 x
 cos x 
1
 1

  x tan 2 xd  tan x    x 

 cos x 2
3
3
 cos x 




1
1
1
1
sin x
x2
x tan 3 x   tan x.
dx

tan
xdx

x
tan
x

dx

 cos x 2
3
3
cos 2 x

1
; f ( x) 
; f ( x)  tan 2 n x; f ( x)  cot 2 n x
2
2
cos x
sin x

Bài toán 8: Tính nguyên hàm I 8   x

cos x
dx
sin 2 x

Bài giải
1

cos x


Ta có: d 
   2 dx nên
sin x
 sin x 

d  cos x 
1 
x
1
x

1  cos x 1  cos x  sin x 2  1  cos x 1  cos x 


x
1 1  cos x
 ln
C
sin x 2 1  cos x

Bài toán 9: Tính nguyên hàm I 9   x 2

1  cos 2 x
dx
sin 3 x

Bài giải

17


3
2
sin 2 x  2cos2 x
1  cos 2 x
 cos x   sin x  2sin x cos x
dx


dx



Nhận xét 7: Nếu f ( x) có nguyên hàm thì mọi nguyên hàm dạng I   x n f ( n )  x dx
đều tính được bằng cách sử dụng tích phân từng phần.
Hướng dẫn
I n =  x α f (n) (x)dx=  x α d  f (n-1) (x) =x α f (n-1) (x)-α  x α-1f (n-1) (x)dx =x α f (n-1) (x)-αI n-1

2.1.2. Hướng dẫn học sinh thực hành
2.1.2.1. Làm các bài tập từ đơn giản đến phức tạp
Đầu tiên giáo viên đưa ra các bài tập đơn giản để học sinh bắt chước, tức là
các loại bài tập mang tính thách thức đơn giản. Sau đó đưa ra các bài tập thách thức
cao hơn để phát triển năng lực tư duy của học sinh, đồng thời tạo tính tò mò cho học
sinh.
Các bài tập thách thức đơn giản (bắt chước):
Tính các nguyên hàm sau
2

A1    ln x  dx

A3   e x .

A2   x 2 cos3 x.sin xdx

A4   x

sin 3 x
dx
sin x

sin x
dx

2
2
8
4
1
1
1
1
  x 2 cos4 x   xcos4 xdx  x 2 cos2 x   x cos 2 xdx
8
4
4
2
1 2
1
1 2
1
  x cos4 x   xd  sin 4 x   x cos2 x   xd  sin 2 x 
8
16
4
4
1
1
1
1
1
1
  x 2 cos4 x  x sin 4 x   sin 4 xdx  x 2 cos2 x  x sin 2 x   sin 2xdx
8


sin 3 x
 2 cos 2 x  1
sin x

A3   e x  2 cos 2 x  1 dx  2 e x cos2 xdx   e x dx  2 A3'  e x

 A   e cos2 xdx 
x

'
3

A3'   e x cos2 xdx  2  c os2 xd ( e x )  2 e x c os2 x  4  e x sin 2 xdx  2 e x cos2 x  4  sin 2 xd ( e x )

 2e x cos2 x  4e x sin 2 x  8 e x cos2 xdx  2e x cos2 x  4e x sin 2 x  8 A3'
 9 A3'  2e x cos2 x  4e x sin 2 x
1
2
 A3'   2e x cos2 x  4e x sin 2 x   A3   2e x cos2 x  4e x sin 2 x   e x
9
9
sin x
1
x
1
x
cosx



cos x 2 1  sin x
1
x2
x2
 1

A5   x  2  1dx   x. 2 dx   xdx    xd  cot x     x cot x   cot xdx 
sin x
2
2
 sin x 
d  sin x  x 2
cos x
x2
x2
  x cot x  
dx    x cot x  
   x cot x  ln sin x   C
sin x
2
sin x
2
2
x
x
x
x
 5x 
3
3 5

5x
3 2 5x
6
5x
x 3 .5 x 3 x 2 .5 x
6

x .

x
.
dx



xd


ln 5 ln 5 ln 5 ln 5  ln 5
ln 5
ln 2 5 ln 2 5   ln 5 

x3 .5 x 3 x 2 .5x
6
5x
6
5x
x 3 .5 x 3 x 2 .5x 6.x.5x 6.5 x
 2  2 .x.
 2 

dx
cos 2 x

B3  

B5  

cos2 xdx
1  sin x  cos x

B6   cos x sin 3 x ln 1  sin 2 x dx

4

ln 3 x 4 1  ln 2 x
B8  
dx
x

Bài giải

19

4

1  x 1

B9    x  3  .2 x dx
x 


1
3
3
  xcos3 x   cos3 xdx  x sin x   sin xdx  x tan x  
12
12
4
4
cos x


1
1
3
3
xcos3 x  sin 3 x  x sin x  cos x  x tan x  ln cos x  C
12
36
4
4

1  sin 3 x
xdx
sin 3 x
1  cos 2 x
dx


x
dx

cos x
cos
x
cos
x

 


 x tan x  

d  cos x 
1
 1

 x
 cos x   
dx   cos xdx
cos x
cos x
 cos x


d  sin x 
 1

 x tan x  ln cos x  x 
 cos x   
 sin x
2


3
3
3
3
8
8
8
8
 sin x 1  sin x  4   1  sin x  4 cos xdx  sin x 1  sin x  4   1  sin x  4 d 1  sin x 
3
3
3
3
3
7
8
8
 sin x 1  sin x  4  1  sin x  4  C
3
3

20