CHUYÊN ĐỀ 2:
NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
• Các phương pháp chính để tính nguyên hàm, tích phân.
1. Phương pháp bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm tích phân.
2. Phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm, tích phân.
3. Phương pháp tích phân từng phần trong các bài toán nguyên hàm tích phân.
• Định nghĩa nguyên hàm:
- Giả sử f(x) là một hàm số liên tục / (a;b). Khi đó hàm số F(x) được gọi là một nguyên
hàm của f(x) /(a;b) khi và chỉ khi F’(x)=f(x) ,
( )
;x a b∀ ∈
.
- Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) / (a;b) thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) là
tập hợp
{ }
( ) ;I F x C C R= + ∈
. Và họ các nguyên hàm của f(x) được kí hiệu:
( ) ( ) ;f x dx F x C C R= + ∈
∫
.
• Vi phân:
( ) '( )df x f x dx
=
• Các công thức cơ bản của nguyên hàm:
1. Nếu f(x) có nguyên hàm thì
( ) ( )
( ) ' ( ); ( ) ( )f x dx f x d f x dx f x dx= =
∫ ∫
2. Nếu f(x) có nguyên hàm thì:
( )
( )dF x F x C= +

2.
( )
. . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
3.
( )
( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
4.
( )
( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
5. Nếu
( ) ( )
[ ]
; ;f x g x x a b≤ ∀ ∈
và f(x) và g(x) đều…..
[ ]
/ ;a b
thì:
( ) ( )

2 2 2
0 0 0
. 1
1 1 2 1
x x x x
dx dx dx
x x x
= =
+ + +
∫ ∫ ∫
4
2 2
3
sinx
os x cos 1
dx
c x
π
π
+
∫
2
1
tan
os
dx d x
c x
=
2
1

d
d
t t
π
π
π π
π π
+
= =
+ +
+
+
= =
+ +
∫
∫ ∫
∫ ∫
1
x
0
1
dx
e+
∫
x x
e dx de=
( )
x x
1 1
x x

c
π
+
∫
sinx x osxd dc
= −
( )
( )
2 2
0 0
2
0
2 2
0 0
2 2
0 0
sin2x sinx.cosx
2
osx 1 osx 1
sinx cosx+1 -sinx
2
osx 1
sinx
2 sinxdx-2
osx 1
d cosx+1
2 sinxdx-2
osx 1
dx dx
c c

 
= + +
 
+ +
∫
( ) ( )
( ) ( )
ln ln
ln ln
x a x b
dx
x b x a
d x a x b
+ + 
+
 
+ +
 
= + +
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ln ln
ln ln
ln ln
x a x b
I dx
x b x a

số:
( )
x t
ϕ
=
loại 1:
Khi hàm dưới dấu tích
phân có biểu thức dạng:
( )
f x
lúc đó, trong nhiều
trường hợp (chứ không phải
mọi trường hợp) ta có thể
sử dụng phép thay biến:
( )
t f x=
VD1:
(
)
ln3
3
x
0
1
x
e dx
y
e
=
+

VD3:
4
7
3
3 4
0
1 1
x dx
y
x
=
+ +
∫
Phương pháp dùng bảng nguyên hàm
không thích hợp trong VD này.
VD4:
3
5 3
2
0
2
1
x x
y dx
x
+
=
+
∫
VD5:

−
∫
ta sử
dụng kết quả sau đây:
- f(x) là hàm lẻ /[-a;a]
thì
( )
f x 0
a
a
dx
−
=
∫
- f(x) là hàm chẵn/[-a;a]
thì
( ) ( )
0
f x 2 f x
a a
a
dx dx
−
=
∫ ∫
VD1:
(
)
1
2

là
hàm lẻ.
Tvậy:
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
2
2 2
2
2
2
( ) ln 1
1 1
ln
1
1
ln
1
ln 1
f x x x
x x x x
x x
x x
x x

(
)
(
)
0
2
1
1
1
2
2
0
ln 1
ln 1
I x x dx
I x x dx
−
= + +
= + +
∫
∫
có: đổi biến: t=-x suy ra dt=-dx
(
)
(
)
(
)
(
)

+ +
= = − + +
+ +
= −
∫
∫
∫ ∫
1 2 2 2
0I I I I I⇒ = + = − + =
VD2:
2
2
2
osx
4-sin
x c
dx
x
π
π
−
+
∫
2
2
2
0
4-sin
x
dx

x x
π π
π
−
=
∫ ∫
Vì là tích phân của hàm
chẵn.
VD3:
1
4
x
1
x
2 1
dx
−
+
∫
Phép đổi biến x=-t còn áp
dụng cho trường hợp biểu
thức tích phân dạng:
( )
a
x
f x
k 1
a
dx
−

= +
+ + +
= +
∫ ∫ ∫
Thực hiện đổi biến x=-t trên một nửa với
I
1
ta có:
( )
0 0
4 4
1
x -t
1 1
1 1
4 t 4
-t t
0 0
t 4 4
1
t
0
1 1 1
4
4 4
2
t
0 0 0
x t
2 1 2 1

x
d
π
π
−
+
∫
2
2
x
0
sin
sin x
3 1
x
d dx
π π
π
−
=
+
∫ ∫
3.Phương pháp đổi biến
số:
( )
x t
ϕ
=
loại 3:
đổi biến: x=a-t

π
∫
đổi biến:
x t
π
= −
VD2:
3
2
3 3
0
sin x
sin x+cos
dx
x
π
∫
đổi biến:
2
x t
π
= −
VD3:
2
0
1 sinx
ln
1+cos
dx
x