RÈN GIẢI BT LIÊN QUAN ĐỊNH LÝ LAGĂNG
Nhớ chuyện Ông chấm thi vấn đáp
Thường những thầy giỏi rất thu hút sự chú ý của học sinh khi giảng bài. Học sinh rất thích
thú khi dược tin thầy lên lớp. Những thầy giỏi cũng thừơng đặt ra yêu cầu cao đối với học
sinh, nhất là đói với những học sinh giỏi.
Giai đoạn cùng với thầy Lagrăng thì ông được xếp vào hạng một trong những nhà toán học
bậc nhất thế giới thời bấy gìờ, ông đã hoàn thành nhiều công trình,công trình lớn nhất
thuộc về lĩnh vực giải tích cổ điển và giải tích hiện đại. Vua Napoleon đã nhận xét: “
Lagrănglà một hình chóp cao của khoa học toán học”.có một định lý chúng ta sẽ nêu lên
dưới đây. Bây giờ chúng ta hãy nghe chuyện ông chấm thi vấn đáp dã:
Việc bổ nhiệm một giáo sư đang giảng dạy tại một trường đại học ở thủ đô nước Pháp làm
người khảo hạch cuối cùng để tuyển chọn thí sinh đủ điều kiện vào học bậc đại học đòi hỏi
nhiều tiêu chuẩn. Ông là một trong nhũng người được bổ nhịêm làm việc đó.
Trong phòng thi do ông phu trách hôm nay có 25 thí sinh, trong đó có ba học sinh giỏi,
trong số thí sinh đổ thi viết vừa rồi, cả ba cậu đều đổ hạng ưu ( như loại giỏi bây giờ ), ba
học sinh nầy đã có giải trong đợt thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia mà thầy Lagrăng làm
chủ tịch hội đông coi thi và chấm thi. Chính thầy đã xem lại và cân nhắc bài của từng em
trước khi công bố kết quả. Thi viết mà đậu được hạng ưu là rất hiếm,thầy cho ba học sinh
nầy thi sau cùng.
Buổi thi gần kết thúc.Trong phòng còn lại ba thí sinh loại ưu và một thầy giáo có tiếng.
Các bạn thi xong chưa chịu về mà đứng lại vừa xem các bạn khác thi, và cũng đợi nhau
nghe ngóng thông tin.
Một trong ba thí sinh còn lại nghe thầy đọc số báo danh, tên, nhanh nhẹn bước lên
Trong mỗi câu, thầy thu hẹp giả thiết, mở rông đề toán, câu hỏi nào cũng đều hóc búa,
khác với loại câu hỏi dành cho những thí sinh trước. Xong câu thứ tư, thí sinh nầy toát mồ
hôi, ướt hết cả áo, vừa bước ra khỏi phòng thì ngất xĩu .
Thí sinh còn lại tiếp theo cũng rơi vào trường hợp tương tự, nhưng có nặng hơn là mọi
người phải dìu cậu ta vào phòng y tế của nhà trường để nhờ y tá chăm sóc.. Thí sinh cuối
cùng bước lên. Thầy đưa mắt lướt qua thí sinh,rồi nhìn tiếp vào bảng ghi tên ghi điểm:
- Cậu là người Ý ?
- Dạ không, em là người Pháp.

- Thưa thầy, đúng là thầy em ở trường đã dạy giải bài toán dạng nầy theo một cách
khác, nhưng cách trên bảng hay hơn.
Giáo sư nghiêm nét mặt, nói tiếp:
- Vậy anh hãy trình bày điểm hay đó. Nếu không tôi sẽ đánh rớt anh ít nhất là về mặt
vi phạm đạo đức: anh đã tìm cách mị giám khảo
Người học trò cẩn thận nêu rõ những điểm hay một cách tuần tự mà chỉ có con đường này
mới có. Người coi thi tươi nét mặt, nhún vai, rồi ngúc nhẹ mái đầu, tóc đã điểm muối tiêu,
miệng cười và nói lên câu mà sau khi nghe xong câu này người thi cuối cùng cũng bị ngất
xĩu, mọi người phải đưa anh vào phòng cấp cứu:
- Tên anh, tôi sẽ ghi lên đầu bảng.
*************
Một định lý có trước, đó là Định lý giá trị trung gian
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và
f(b), tồn tại ít nhất một điểm c
∈
(a;b) sao cho f(c) = M
Chương trình trung học không đi vào phần chứng minh vì lý do sư phạm, mà chỉ nêu ý
nghĩa hình học của định lý và những vận dụng địmh lý để giái một số dạng bài tập
, *** Đồ thị của hàm số f(x) cắt đường thẳng y= M tại ít nhất một điểm có hoành độ bằng
c, ở đây đ/t y = M cắt đồ thị của h/s nêu trên tại 3 điểm thuộc khoảng (a; b)
Từ định lý đó, chúng ta có một hệ quả rất quan trọng, nó là
HỆ QUẢ : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và f(a). f(b) < 0
Thì tồn tại ít nhất một điểm c
∈
(a; b) sao cho f(c) =0
một công cụ để chứng minh sự tồn tại nghiêm của một phương trình trong một khoảng
nào đó
Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA HỆ QUẢ
Được minh hoạ bằng vẽ đồ thị lên hệ toạ độ vuông góc Oxy
*** Đồ thị của hàm số y= f(x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hònh độ
+∞=
+∞→
x
xf )(lim
nên với một số dương b đủ lớn, ta có f(b) > 0
Xét f(o).f(b) <0 nên theo hệ quả Đ/lý Lagarange của hàm số liên tục, thì tồn tại
một số thực dương c
∈
(0;b) sao cho f(c) = 0
Vậy c là một nghiệm thực dương của p/t đã cho
2/ C/m p/t: x
3
+ x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1
3/ C/m p/t: x
3
+ ax
2
+bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm. Với mọi số thực a,
b, c.
ĐỊNH LÝ LAGARANGE
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trong khoảng (a; b), thì tồn tại ít
nhất một điểm
c
∈
(a;b) sao cho f
‘
(c) =
ab