ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THANH TRÀ
ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN
QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU
VECTƠ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỖ THANH TRÀ
ĐỊNH LÝ KKM VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN
QUAN TRONG LÝ THUYẾT TỐI ƯU
VECTƠ
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN
Thái Nguyên - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
MỞ ĐẦU 1
1 Kiến thức cơ bản. 4
1.1 Các không gian cần dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương . . . . . 9
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

một lĩnh vực tưởng chừng như không liên quan gì đến lý thuyết điểm bất
động. Một điều thú vị nữa là từ Nguyên lý điểm bất động Brouwer ta cũng
chứng minh được Bổ đề KKM, từ đó Nguyên lý điểm bất động Brouwer
và Bổ đề KKM là tương đương nhau. Từ đây Bổ đề KKM đã đặt nền tảng
và tạo bước ngoặt lớn cho sự phát triển của ”Lý thuyết KKM”.
Mặc dù Bổ đề KKM rất quan trọng, vì nó cho ta một chứng minh đơn
giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer nhưng lại hạn chế do chỉ áp dụng
được cho các không gian vectơ hữu hạn chiều. Để khắc phục điều này, năm
1961, nhà toán học nổi tiếng Ky Fan đã mở rộng bổ đề KKM cho trường
hợp không gian vectơ tôpô bất kỳ. Định lý của Ky Fan ngày nay được gọi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
là ”Nguyên lý ánh xạ KKM”.
Nguyên lý ánh xạ KKM.Giả sử E là không gian vectơ tôpô bất kì,
X là tập con khác rỗng của E và F : X → 2
E
là ánh xạ thỏa mãn
1. F(x) là tập đóng với mọi x ∈ X;
2. co {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂
n

i=1
F (x
i

Từ đây, Bất đẳng thức Ky Fan trở thành một công cụ quan trọng để
nghiên cứu các bài toán như: Tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất
động, điểm cân bằng Nash, điểm yên ngựa,
Đến năm 1984, Ky Fan tiếp tục mở rộng Nguyên lý ánh xạ KKM
và chứng minh một số kết quả quan trọng như: Các định lý ghép đôi
(matching) cho phủ đóng hay phủ mở của các tập lồi, các định lý điểm
trùng và các định lý tương giao cho các tập với thiết diện lồi.
Có thể nói, từ đây Nguyên lý ánh xạ KKM đã thu hút nhiều nhà toán
học trên thế giới quan tâm, nghiên cứu và suy ra được nhiều kết quả mới.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Những kết quả đó cùng rất nhiều dạng mở rộng và tương đương đã được
tập hợp lại dưới cái tên: Lý thuyết KKM. Lý thuyết này đã được sử dụng
rộng rãi như một công cụ hữu ích trong các lĩnh vực như: Lý thuyết điểm
bất động, lý thuyết minimax, toán kinh tế, tối ưu hóa,
Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả cơ bản về định lí
KKM và các vấn đề liên quan trong lý thuyết tối ưu vectơ và áp dụng vào
tìm nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II. Ngoài phần mở
đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về một số không gian
vectơ và về ánh xạ đa trị để tiện cho việc theo dõi luận văn.
Chương 2: Trình bày một số kiến thức về ánh xạ KKM và các ứng
dụng của nó.
Chương 3: Đề cập đến bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II, các
định lý về tồn tại nghiệm của nó và một số vấn đề liên quan.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn - Viện toán học Việt Nam. Nhân dịp
này, tôi xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Xin trân trọng cám ơn các thầy, cô giáo thuộc viện toán học và các
thầy, cô giáo của trường ĐHSP Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy và tạo

1.1.1 Không gian Banach
Toán học hiện đại được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp cùng với
các hệ tiên đề. Người ta không có định nghĩa chính xác, cụ thể tập hợp là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
gì mà coi chúng như những họ các đối tượng có cùng những tính chất nào
đó. Ví dụ như họ các số nguyên dương là tập hợp các số tự nhiên, họ các
hàm số được định nghĩa trên đoạn [a, b] tạo thành tập hợp các hàm số trên
đoạn thẳng ấy, họ những học sinh cùng học trong lớp học nào đó là tập
hợp các học sinh trong lớp ấy, Các tập hợp thường được kí hiệu bằng
những chữ cái in hoa như: A, X, Y, và các phần tử của chúng thường
được kí hiệu bởi các chữ: a, x, y, Nếu x là phần tử của tập hợp X, ta kí
hiệu x ∈ X. Ta có:
Định nghĩa 1.1.1. a) Với mỗi cặp phần tử x, y của tập hợp X (gọi tắt
là tập X), đều xác định một qui tắc nào đó, một số thực ρ(x, y), gọi là
khoảng cách giữa x và y.
b) Qui tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau:
i) ρ(x, y) > 0 nếu x = y; suy ra ρ(x, y) = 0 nếu x = y;
ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), với mọi x, y (tính đối xứng);
iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), với mọi x, y, z (bất đẳng thức tam giác);
Hàm số ρ(x, y) được gọi là metric của không gian X và cặp (X, ρ) được
gọi là không gian metric.
Ví dụ 1.1. a) Tập M bất kì của tập các số thực R với khoảng cách thông
thường ρ(x, y) = |x − y| là một không gian metric.
b) Không gian n chiều R
n
với khoảng cách ρ(x, y) =
n

i=1

kí hiệu x
n
→ x hay limx
n
= x, và điểm x được gọi là giới hạn của dãy
{x
n
}.
Nhận xét: Dãy con của một dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Từ định nghĩa dãy hội tụ, ta có tính chất sau:
1) Nếu x
n
→ x và x
n
→ x

thì x = x’;
2) Nếu x
n
→ x và y
n
→ y thì ρ(x
n
, y
n
) → ρ(x, y).
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là một tập hợp. Nếu trên X có hai phép tính:
phép cộng giữa hai phần tử của X và phép nhân một số (thực hoặc phức)

Định nghĩa 1.1.6. Không gian tuyến tính định chuẩn (X, .) đầy đủ với
metric xác định như trên gọi là một không gian Banach.
Ví dụ 1.2. a)Cho X = R
n
với chuẩn x =

n

i=1
(x
i
)
2
, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈
R
n
thì X là không gian Banach.
b) Cho X = C
[a,b]
với chuẩn f = max
x∈[a,b]
|f(x)| , f ∈ X thì X là không
gian Banach.
Định nghĩa 1.1.7. Cho dãy {x

i
 hội tụ thì ta nói chuỗi
∞

i=1
x
i
hội tụ tuyệt đối.
Định lý 1.1.8. Trong không gian Banach X, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối
đều hội tụ.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh {S
n
} là dãy cauchy. Thật vậy, với mọi
m > n, S
m
− S
n
 = x
n+1
+ + x
m
 ≤
m

i=n+1
x
i
 → 0 khi n → ∞.Vì
X đầy đủ, nên dãy {S
n


k=1
x
k
. Do đó, S ≤




∞

k=1
x
k




.
Chú ý 1.1. Điều ngược lại của định lý trên cũng đúng, tức là nếu trong
không gian tuyến tính định chuẩn X, mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ
thì X là một không gian Banach.
1.1.2 Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.9. Cho X là không gian tuyến tính. Nếu trên X có dạng
song tuyến tính ., . : X × X → R
(x, y) → x, y thỏa mãn:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
i) Với mỗi y ∈ X thì ., y : X → R là hàm tuyến tính. Tức là:
αx

|x, y|
2
≤ x, x y, y với mọi x, y ∈ X (Bất đẳng thức Schwarz).
Chứng minh. Với y = 0 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng.
Giả sử y = 0. Với mọi λ, ta có:
x + λy, x + λy ≥ 0 ⇔ x, x +
−
λ
x, y + λ y, x + |λ|
2
y, y ≥ 0.
Chọn λ = −
x,y
y,y
, thay vào trên, ta được:
x, x −
x,y
y,y
x, y −
x,y
y,y
y, x +
|x,y|
2
|y,y|
2
y, y ≥ 0
⇔ x, x −
|x,y|
2

x + y
2
≤ x
2
+ 2 x y + y
2
⇔ x + y
2
≤ (x + y)
2
⇔ x + y ≤ x + y .
Như vậy, không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn và mọi
tính chất của không gian định chuẩn đều đúng đối với không gian tiền
Hilbert.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Định nghĩa 1.1.12. Không gian tiền Hilbert đầy đủ đối với metric ρ (x, y) =
x − y =

x − y, x − y là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3. C
n
là một không gian Hilbert với tích vô hướng x, y =
n

i=1
x
i
y
i

là không gian tôpô.
Định nghĩa 1.1.14. Cho X là không gian tuyến tính, X là không gian
tôpô mà hai phép toán cộng và nhân liên tục thì X được gọi là không gian
tôpô tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.15. Tập con A của không gian vectơ X được gọi là tập
lồi nếu với mọi x, y ∈ A đều có λx + µy ∈ A, với mọi λ ≥ 0, µ ≥ 0 và
λ + µ = 1.
Định nghĩa 1.1.16. Cho X là không gian tuyến tính, 0 ∈ X là điểm gốc.
Gọi U là họ các lân cận của 0 trong X.
a) Nếu U ∈ U thì tồn tại U
0
⊂ U sao cho U
0
là tập lồi.
b) Cho U
0
⊂ U là họ con của U gồm các tập lồi thì X được gọi là không
gian tôpô tuyến tính lồi địa phương.
Định nghĩa 1.1.17. Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương X được
gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff nếu, với mỗi
x, y ∈ X, x = y, tồn tại lân cận U
x
, V
y
thỏa mãn U
x
∩ V
y
= ∅.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

C là nón đúng.
Dễ thấy, {0} và Y là những nón tầm thường trong Y.
Ví dụ sau đây sẽ minh họa cho các khái niệm về nón ở trên:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Ví dụ 1.5. a) Cho Y = R
n
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) |x
j
∈ R, j = 1, 2, , n}
Khi đó, C = R
n
+
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
|x
j
≥ 0 , j = 1, 2, , n} là

) ∈ R
n
} = {0}.
b) Cho C = {(x, y, z) ∈ R
3
|x > 0, y > 0, z > 0}∪{(x, y, z) ∈ R
3
|x ≥ y ≥ 0, z = 0 }.
Dễ thấy, C là nón lồi, sắc nhưng không đúng.
Định nghĩa 1.2.3. a) Cho C là nón trong không gian tuyến tính Y.
B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu C = cone(B) nếu
C = {tb |b ∈ B, t ≥ 0}. Trường hợp B không chứa điểm gốc của Y thì
B được gọi là cơ sở của nón C, nếu với mọi c ∈ C, c = 0 đều tồn tại duy
nhất phần tử b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb. Hơn nữa, nếu B có hữu hạn
phần tử và C = cone(conv(B)) thì C được gọi là nón đa diện.
b) Cho C là nón trong không gian tôpô tuyến tính Y. Gọi Y
∗
là không
gian tôpô đối ngẫu của Y. Nón cực C

của C được định nghĩa như sau:
C

= {ξ ∈ Y
∗
|ξ, c ≥ 0} , với mọi c ∈ C;
và
C
+
= {ξ ∈ Y

Y
. Ánh xạ ngược của G,
kí hiệu là G
−1
được xác định:
y ∈ Y → G
−1
(y) = {x ∈ D |y ∈ G(x)}.
Cho B ⊂ Y , nghịch ảnh của tập B qua ánh xạ G là:
G
−1
(B) =
∪
y∈B
G
−1
(y) = {x ∈ D |G(x) ∩ B = ∅}.
Từ định nghĩa ánh xạ đa trị, ta có các phép tính về ánh xạ đa trị như
sau:
Định nghĩa 1.2.6. Cho G
1
, G
2
: D → 2
Y
là hai ánh xạ đa trị từ D vào
Y. Ta gọi ánh xạ giao (hợp) của G
1
và G
2

: D → 2
Y
i
là các ánh xạ đa trị từ D vào Y
i
(i = 1,2, ,n). Ánh xạ tích đề các của các G
i
, i = 1,2, ,n, kí hiệu là
G =
n

i=1
G
i
, là một ánh xạ đa trị từ D vào
n

i=1
Y
i
, được xác định:
x ∈ D → G(x) =
n

i=1
G
i
(x).
Định nghĩa 1.2.8. Cho X, Y, Z là các không gian, D là tập con của X,
K là tập con của Y và các ánh xạ đa trị G : D → 2

i=1
G
i
(x).
Định nghĩa 1.2.10. Cho ánh xạ đa trị G : D → 2
Y
. Ánh xạ tích của ánh
xạ G với một số α là một ánh xạ đa trị từ D vào Y, kí hiệu αG, được xác
định:
x ∈ D → (αG) (x) = αG(x).
Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính. D là tập con khác rỗng
của X. Cho G : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị từ D vào Y, ta có:
Định nghĩa 1.2.11. Ta gọi ánh xạ bao lồi của G, kí hiệu coG, là một ánh
xạ đa trị từ D vào Y, được xác định như sau:
x ∈ D → (coG) (x) = co(G(x)) .
Định nghĩa 1.2.12. Ánh xạ bao đóng của G, kí hiệu G, là một ánh xạ đa
trị từ D vào Y được định nghĩa:
x ∈ D → G(x) = G(x).
Định nghĩa 1.2.13. G được gọi là ánh xạ đóng, nếu GrG là đóng trong
không gian tích X × Y .
Cho (p) là một tính chất nào đó của một tập con (ví dụ: tính đóng, lồi,
compact, ). Nếu mọi giá trị G(x) của ánh xạ đa trị G đều có tính chất
(p) trong Y, thì ta nói rằng G nhận giá trị có tính chất (p). Chẳng hạn,
ánh xạ đa trị G được gọi là có giá trị đóng(t.ư mở, lồi, compact, ) nếu
và chỉ nếu với mỗi x ∈ D, ta đều có G(x) là một tập đóng (t.ư mở, lồi,
compact, ) trong Y.
Nhận xét: Một ánh xạ đa trị đóng luôn luôn có giá trị đóng. Tuy nhiên,
chiều ngược lại không đúng. Ta xét ví dụ sau đây:

Định nghĩa 1.2.14. G được gọi là ánh xạ compact nếu G(D) là tập com-
pact trong Y.
Nhận xét: Nếu G
1
, G
2
: D → 2
Y
là hai ánh xạ đa trị compact thì
các ánh xạ G
1
+ G
2
, λG
1
(λ ∈ R) và G
1
∩ G
2
cũng là những ánh xạ đa trị
compact.
Tiếp theo, ta nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ đa trị.
Cho X, Y là hai không gian tôpô, D ⊂ X, G : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị.
Trước hết, ta nhắc lại các định nghĩa nửa liên tục trên và dưới của ánh xạ
đa trị theo nghĩa của Berge [7].
Định nghĩa 1.2.15. G được gọi là nửa liên tục trên (kí hiệu: u.s.c) tại
x
0

), x = 0;
[0, 1], x = 0.
Dễ thấy, G là nửa liên tục trên tại 0 và G không nửa liên tục dưới tại 0.
Thật vậy:
Ta chứng minh G nửa liên tục trên tại 0.
Gọi V là tập mở bất kì sao cho G(0) = [0, 1] ⊂ V . Lấy U là lân cận bất kì
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
của 0, với mọi x ∈ U, suy ra x = 0, do đó G(x) =

0,
1
2

⊂ [0, 1] ⊂ V .
Vậy G là nửa liên tục trên tại 0.
Ta chứng minh G không là nửa liên tục dưới tại 0.
Lấy V =

3
4
, 2

, ta có G(0) = [0, 1] nên G(0) ∩ V =

3
4
, 1

= ∅. Gọi U

Chứng minh. Ta lấy ánh xạ G : D → 2
Y
như sau:
G(x) = H(D), x ∈ D.
Dễ thấy, G là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và H = G ∩ H. Theo Mệnh
đề 1.2.17, H là nửa liên tục trên.
Như ta đã biết, hàm g : X → R được gọi là nửa liên tục trên (hoặc
dưới) tại x
0
nếu với bất kì ε > 0, đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho
g(x) ≤ g(x
0
) + ε (hoặc g(x) ≥ g(x
0
) − ε), với mọi x ∈ U.
Định nghĩa 1.2.19. Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,
D ⊂ X là tập khác rỗng và I là tập các chỉ số. Họ hàm số

g
α
: D → R, α ∈ I

được gọi là nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) đồng bậc tại x
0
∈ D,
nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x
0
trong X sao cho: g

(hoặc G(x
0
) ⊂ G(x) + V − C), với mọi x ∈ U ∩ domG.
b) G gọi là C - liên tục tại x
0
nếu G vừa là C - liên tục trên, vừa là C
- liên tục dưới tại x
0
.
G là C - liên tục trên (C - liên tục dưới hoặc C - liên tục) trong D nếu
nó là C - liên tục trên (C - liên tục dưới hoặc C - liên tục) tại mọi x ∈ D.
Nếu C = {0}, ta nói G là liên tục trên (liên tục dưới, liên tục) thay vì
nói G là {0} - liên tục trên ({0} - liên tục dưới, {0} - liên tục).
Ta có mệnh đề sau tương đương với định nghĩa liên tục theo nón của
ánh xạ đa trị G.
Mệnh đề 1.2.21. a) Giả thiết rằng G(x
0
) là tập compact trong Y. Điều
kiện cần và đủ để G là C - liên tục trên tại x
0
là: với mọi tập mở W,
G(x
0
) ⊂ W + C, đều tồn tại lân cận U của x
0
sao cho G(x) ⊂ W + C,
với mọi x ∈ U ∩ domG.
b) Giả thiết rằng G(x
0
) compact trong Y. Điều kiện cần và đủ để G là

0
⊂ W + C. Lấy V là
lân cận bất kì của 0 trong Y, thì V ∩ V
0
là lân cận của 0. Do G là C - liên
tục trên tại x
0
, nên tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
G(x) ⊂ G(x
0
) + V ∩ V
0
+ C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Ta có:
G(x
0
) + V ∩ V
0
+ C ⊂ G (x
0
) + V
0
+ C ⊂ W + C + C = W + C.
Từ đó suy ra:
G(x) ⊂ W + C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Ngược lại, lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y. Không mất tính tổng
quát, ta có thể giả thiết rằng V mở. Đặt W = G(x
0

0
) ⊂ G(x) + V − C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Do y ∈ G(x
0
) nên theo trên, ta có y ∈ G(x) + V − C. Vì vậy, ta có thể
viết y = y
∗
+ v − c, với y
∗
∈ G(x), v ∈ V và c ∈ C.
Từ đó suy ra y
∗
= y − v + c ∈ y + V + C = V
0
+ C.
Vậy, ta có:
G(x) ∩ (V
0
+ C) = ∅, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Đảo lại, lấy V là lân cận bất kì của 0 trong Y, ta có:
G(x
0
) ⊂

y∈G(x
0
)

y+
V

V
2
là lân cận của y
i
và y
i
∈ G(x
0
) nên theo giả thiết, tồn tại
các lân cận U
i
(i = 1,2, ,n) của x
0
sao cho:
G(x) ∩

y
i
+
V
2
+ C

= ∅ , với mọi x ∈ U
i
∩ domG.
Đặt U =
n

i=1

nên tồn tại v
0
∈
V
2
để y
0
= y
i
0
+ v
0
. Theo trên, với x ∈ U ∩ domG,
G(x) ∩

y
i
0
+
V
2
+ C

= ∅, nên tồn tại y ∈ G(x) ∩

y
i
0
+
V

) ∩ (W + C) = ∅. Lấy y
0
∈ G(x
0
) và
y
0
= y
1
+ c, với y
1
∈ W, c ∈ C. Do y
1
∈ W và W mở nên tồn tại lân cận
V của 0 để y
1
+ V ⊂ W .
Do đó, y
1
+ c + V ⊂ W + C hay y
0
+ V ⊂ W + C. Vì y
0
+ V là lân cận
của y
0
nên theo giả thiết, tồn tại lân cận U của x
0
sao cho:
G(x) ∩ (y

+
= {x ∈ R |x ≥ 0} và ánh xạ đơn trị G
là C - liên tục tại x
0
, ta suy ra G là nửa liên tục dưới tại x
0
theo nghĩa
thông thường. Trong trường hợp ngược lại, lấy C = R
−
= {x ∈ R |x ≤ 0}
và G là C - liên tục tại x
0
thì G là nửa liên tục trên tại x
0
;
d) Nếu G là liên tục trên và G(x) đóng với mọi x ∈ D thì G là đóng;
e) Theo Hệ quả 1.2.18 và chú ý ở phần a) ta thấy, nếu G là đóng,
compact thì G là liên tục trên.
Nhận xét a) Nếu hai ánh xạ đa trị G
1
, G
2
: D → 2
Y
đồng thời là C -
liên tục trên (hoặc C - liên tục dưới), thì ánh xạ đa trị G
1
∪ G
2
cũng là C

0
) + C là tập đóng,
với mọi dãy suy rộng {x
β
} ⊂ D, x
β
→ x
0
, y
β
∈ G(x
β
) + C, y
β
→ y
0
, ta
suy ra y
0
∈ G(x
0
) + C.
Ngược lại, nếu G là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng {x
β
} ⊂ D,
x
β
→ x
0
, y

β
}, y
β
∈ G(x
β
), có dãy suy rộng con

y
β
γ

thỏa mãn y
β
γ
− y
0
→ c ∈ C.
Ngược lại, nếu G(x
0
) là tập compact và với mọi dãy suy rộng {x
β
},
x
β
→ x
0
, y
0
∈ G(x
0

β
→ x
0
, y
β
∈ G(x
β
) + C, y
β
→ y
0
. Lấy V
là lân cận lồi, đóng tùy ý của 0 trong Y. do G là C - liên tục trên tại x
0
và y
β
→ y
0
, nên tồn tại chỉ số β
∗
≥ 0 sao cho G(x
β
) ⊂ G(x
0
) +
V
2
+ C và
y
β

+ C

⊂ G(x
0
) + V + C. Theo giả thiết, G(x
0
) + C là tập
đóng nên y
0
∈ G(x
0
) + C.
Ngược lại, cho G là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng {x
β
} ⊂
D, x
β
→ x
0
, y
β
∈ G (x
β
) + C, y
β
→ y
0
đều suy ra y
0
∈ G (x

∈ G (x
β
) ⊂ G(D).
Vì G(D) là tập compact, nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết
rằng y
β
→ y
0
. Theo giả thiết, y
0
∈ G(x
0
) + C. Mặt khác, từ y
β
→ y
0
suy
ra tồn tại β
∗
≥ 0 để y
β
− y
0
∈ V , với mọi β ≥ β
∗
. Từ đó suy ra:
y
β
∈ y
0

≥ 0 thỏa mãn
G(x
0
) ⊂ G(x
β
) + V − C, với mọi β ≥ β
0
.
Theo giả thiết y
0
∈ G(x
0
), nên với mỗi β ≥ β
0
, tồn tại y
β
∈ G(x
β
) ⊂
G(D), v
β
∈ V, c
β
∈ C sao cho:
y
0
= y
β
+ v
β

− y
0
→ c ∈ C, với c = y
∗
− y
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Ngược lại, Cho G(x
0
) là tập compact và với mọi dãy suy rộng {x
β
} ⊂
D, x
β
→ x
0
và y
0
∈ G(x
0
), đều tồn tại dãy suy rộng {y
β
} , y
β
∈ G(x
β
), có
dãy suy rộng con

∈ G(x
0
) mà z
β
/∈ G(x
β
) + V − C. Vì G(x
0
) là tập
compact, không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng z
β
→ z
0
∈
G(x
0
). Ta cũng có thể giả thiết rằng x
β
→ x
0
. Do đó, tồn tại dãy suy rộng
{y
β
} , y
β
∈ G(x
β
) có dãy suy rộng con

y

V
2
và z
0
∈ y
β
+
V
2
− C,
với mọi β ≥ β
1
. Vì vậy,
z
β
∈ y
β
+
V
2
+
V
2
− C ⊂ G(x
β
) + V − C, với mọi β ≥ β
1
.
Điều này mâu thuẫn.
Đơn giản hơn, ta có thể sử dụng phép vô hướng hóa hàm đa trị để

∈
domG, thì với mỗi ξ ∈ C

cố định, G
ξ
(tương ứng g
ξ
) là hàm số nửa liên
tục trên tại x
0
.
b) Nếu G là C - liên tục trên (hoặc dưới) tại x
0
∈ domG, thì với mỗi
ξ ∈ C

cố định, g
ξ
(tương ứng G
ξ
) là hàm số nửa liên tục dưới tại x
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
Chứng minh. a) Giả sử G là (-C) - liên tục trên tại x
0
. Lấy ε > 0 tùy ý.
Do ξ ∈ C


ξ, v = ε. Mặt khác, theo định nghĩa của C’,
ta ssuy ra sup
c∈−C
ξ, c = 0. Từ đó suy ra G
ξ
(x) ≤ G
ξ
(x
0
) + ε, với mọi
x ∈ U ∩ domG hay G
ξ
là nửa liên tục trên tại x
0
.
Bây giờ,giả sử G là (-C) - liên tục dưới tại x
0
. Theo định nghĩa tồn tại
lân cận U của x
0
sao cho:
G(x
0
) ⊂ G(x) + V + C, với mọi x ∈ U ∩ domG.
Theo định nghĩa của g
ξ
, ta có:
inf
y∈G(x
0

các hàm g
ξ
, G
ξ
. Trong các định lý này, ta luôn giả thiết rằng X là không
gian lồi địa phương, Y là không gian Banach, D ⊂ X là tập lồi, đóng,
khác rỗng và C là nón lồi trong Y.
Định lý 1.2.24. Giả sử G : D → 2
Y
là ánh xạ đa trị thỏa mãn G(x) − C
là tập lồi với mọi x ∈ D. Khi đó, G là C - liên tục dưới tại x
0
khi và chỉ
khi họ {G
ξ
|ξ ∈ C

, ξ = 1} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x
0
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên