LT XSTK - 1 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 1 -
Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê

I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ ñiển
• Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
• A
1
, A
2
,…, A
n
xung khắc từng ñôi
⇔
P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
).
• Ta có
o A, B xung khắc
⇔

ñộc lập với nhau
⇔
P(A
1
.A
2.
….A
n
)=P(A
1
).P(A
2
).….P( A
n
).
• Ta có
o A, B ñộc lập
⇔
P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C ñộc lập với nhau
⇔
P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
• Công thức Bernoulli: ( ; ; )
k k n k
n
B k n p C p q
−
= , với p=P(A): xác suất ñể biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
• Công thức xác suất ñầy ñủ - Công thức Bayes

n
i i n n
i
P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A
=
= = + + +
∑

o Công thức Bayes:
( ). ( / )
( / )
( )
i i
i
P A P B A
P A B
P B
=

với
1 1 2 2
( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )
n n
P B P A P B A P A P B A P A P B A
= + + +

2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
•
Luật phân phối xác suất

1
x
2
… x
n

P p
1
p
2
… p
n

LT XSTK - 2 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 2 -
•

Hàm phân phối xác suất
( ) ( )
≤
= ≤ =
∑
i
X i
x x
F x P X x p

•

Mode

i k
i
x x
k
k
k
i
x x
p
P X x
x
P X x
p

•

Kỳ vọng
1 1 2 2
1
( . ) . . .
n
i i n n
i
EX x p x p x p x p
=
= = + + +
∑

1 1 2 2
1


b.

Biến ngẫu nhiên liên tục.
•

f(x) là hàm mật ñộ xác suất của X
( ) 1
+∞
−∞
⇒ =
∫
f x dx
,
{a X b} ( ).
b
a
P f x dx
≤ ≤ =
∫

•

Hàm phân phối xác suất
( ) ( ) ( )
−∞
= ≤ =
∫
x
X

+∞
−∞
=
∫
.
( ( )) ( ). ( )
E X x f x dx
ϕ ϕ
+∞
−∞
=
∫

LT XSTK - 3 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 3 -
•

Phương sai
2 2
( ) ( )
VarX E X EX
= −
với
2 2
EX . ( )
x f x dx
+∞
−∞
=
∫


( )
X VarX
σ
= : ðộ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3.

Luật phân phối xác suất
a.

Phân phối Chuẩn (Normal Distribution)
2
( ~ ( ; ))
X N
µ σ

•

( )X
Ω =
ℝ
, EX=ModX=MedX=
µ
,
2
VarX
σ
=

•

2
−
=
x
f x e
π
(Hàm Gauss)
•
(a X b) ( ) ( )
b a
P
−µ − µ
≤ ≤ = ϕ − ϕ
σ σ
với
2
2
0
1
( )
2
t
x
x e dt
π
−
ϕ =
∫
(Hàm Laplace)
•

1
( )
2
π
−
−∞
=
∫
x
z
F z e dx
Shift 3 2 z ) =
Shift 3 1 z ) = Shift 1 7 2 z ) =
Shift 1 7 1 z ) = Shift 1 5 2 z ) =


or is or is or is or is
or or S
−
ϕ = ≤ ≤ = − = −
≤ ≤ = − = −
ϕ = + = +b.

Phân phối Poisson (Poisson Distribution)
( ~ ( ))
X P
λ

•

( )
X
Ω =
ℕ
,
EX . odX=k -1 kVarX M
λ λ λ
= = ⇔ ≤ ≤

•

(X=k)=e ,
!

Ω =
, EX=np, VarX=npq, ModX=k
( 1) 1 ( 1)
n p k n p
⇔ + − ≤ ≤ +

•

(X=k)=C . . ,q p 0 ,
k k n k
n
P p q k n k
−
= 1− , ≤ ≤ ∈
ℕ

•

Nếu
( 30; 0,1 0,9; 5, 5)
≥ < < ≥ ≥
n p np nq
thì
2
~ ( ; ) ( ; )
≈ µ σ
X B n p N
với
. ,
n p npq

với
np
λ =


(X=k) e ,
!
k
P k
k
−λ
λ
≈ ∈
ℕ

•

Nếu
( 30, 0,9, 5)
≥ ≥ <
n p nq

(X=k) e ,
( )!
n k
P k
n k
−
−λ
λ

A A
X n N N
Ω = − −
LT XSTK - 5 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 5 -
•

EX=np, VarX=npq
1
N n
N
−
−
với
A
N
p
N
= , q=1-p.
•

( 1)( 1) 2 ( 1)( 1) 2
1
2 2
A A
N n N n
ModX k k
N N
+ + + + + +
= ⇔ − ≤ ≤

N
p
N
= .
(X=k) C . . , ( ), 1
k k n k
n
P p q k X q p
−
≈ ∈ Ω = −
.
Excel:

A
P(X k) HypGeom t(k,n, N, N )
Dis
= =

LT XSTK - 6 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 6 -
ðặt
X
Y
µ
σ
−
=Sơ ñồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông

N
, q=1-p
n 30
0,1 p 0,9
np 5
nq 5
≥


< <




≥






≥



1
( ) ( )
−
⇒ = ≈
k

C C
P X k
C
−
−
= =

Poisson: X~
λ
( )
P

( )
!
k
P X k e
k
λ
λ
−
= =

Binomial: X~B(n;p)

( ) . .
k k n k
n
P X k C p q
−
= =

f y e
π
−
=
LT XSTK - 7 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 7 - II.

Phần Thống Kê.
1.

Lý thuyết mẫu.
a.

Các công thức cơ bản.
Các giá trị ñặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
1

n
X X
X
n
+ +
=
1

n

s
n

Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1
( ) ( )
1
− + + −
=
−
n
X
X X X X
S
n

2 2
2
1
( ) ( )
1
− + + −
=
−
n
x
x x x x
s

x x n x x n
s
n

Phương sai hiệu chỉnh
2 2
2
1 1
( ) ( )
1
− + + −
=
−
k k
x
x x n x x n
s
nc.

Phân tổ thống kê
- Việc phân tổ thống kê chủ yếu dựa vào phân tích và kinh nghiệm. Tuy nhiên
thông nếu kích thước mẫu khảo sát là n thì ta có thể phân làm k tổ với
3
2 1
k n
 
= +


i
x

1
x

2
x

…
k
x

i
n

1
n

2
n

…
k
n

LT XSTK - 8 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 8 -


i
x
M+ X FREQ
1
x
=
⋮

k
x
=
1
n
=
⋮

k
n
=
Xóa màn hình hiển thị AC AC
Xác ñịnh:
•

Kích thước mẫu (n)
•

Giá trị trung bình


Shift 1 5 3 =

Shift 1 5 4 =
Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1

2.

Khoảng tin cậy.
a)

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của tổng thể.
Trường hợp 1. (
σ
ñã biết)
•

Khoảng tin cậy ñối xứng.
2 2 2
1
( ) . ; )
2
z z z x x
n
α
ϕ
α α
− α σ
= → ⇒ ε = ⇒ ( − ε +ε


)
•

Khoảng tin cậy ñối xứng.
2 2 2
1
( ) . ; )
2
s
z z z x x
n
α
ϕ
α α
− α
= → ⇒ ε = ⇒ ( − ε +ε

LT XSTK - 9 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 9 -
•

Khoảng tin cậy bên trái.
( ) 0,5 . ; )
s
z z z x
n
α
ϕ
α α
= − α → ⇒ ε = ⇒ (−∞ + ε

− α → → ⇒ ε = ⇒ ( − ε + ε

•

Khoảng tin cậy bên trái.
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n
− α − α
− α → α → ⇒ ε = ⇒ (−∞ + ε

•

Khoảng tin cậy bên phải.
( 1; ) ( 1; )
1 . ; )
n n
s
t t x
n
− α − α
− α → α → ⇒ ε = ⇒ ( − ε + ∞

b)

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ của tổng thể.
•

(1 )
( ) 0,5 . )
f f
z z z f
n
α
ϕ
α α
−
= − α → ⇒ ε = ⇒ ( − ε;1

c) Khoảng tin cậy cho phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. (
µ
chưa biết)
- Nếu ñề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác ñịnh s
2
(bằng máy
tính bỏ túi).
• Khoảng tin cậy 2 phía.
2 2
1
( 1;1 )
2
α
− −
α → χ = χ
n
,
2 2

n
n s

LT XSTK - 10 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 10 -
• Khoảng tin cậy bên phải.
2
2 2
2 ( 1; )
2
2
( 1)
( ; )
− α
−
α → χ = χ ⇒ +∞
χ
n
n s

Trường hợp 2. (
µ
ñã biết)
- Tính
2 2
1
( 1) .( )
k
i i
i

χ χ
n s n s

• Khoảng tin cậy bên trái.
2
2 2
1 ( ;1 )
2
1
( 1)
(0; )
−α
−
α → χ = χ ⇒
χ
n
n s

• Khoảng tin cậy bên phải.
2
2 2
2 ( ; )
2
2
( 1)
( ; )
α
−
α → χ = χ ⇒ +∞
χ


- Nếu
2
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
2
z z
α
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ < µ

( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
α
ϕ

z z z n
α
ϕ
α
− µ
= − α → =
σ

- Nếu
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
LT XSTK - 11 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 11 -
Trường hợp 2. (
σ
chưa biết,
30
n

.

- Nếu
2
z z
α
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ < µ

( ) 0,5 , .
o
x
z z z n
s
α
ϕ
α
− µ
= − α → =
- Nếu
z z
α
< −

α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
Trường hợp 3. (
σ
chưa biết, n<30)
•
1
: , :
o o o
H H
µ = µ µ ≠ µ

( 1; )
2
, .
2
o
n
x

: , :
o o o
H H
µ = µ µ < µ

( 1; )
, .
o
n
x
t t n
s
− α
− µ
α → =
- Nếu
( 1; )
n
t t
− α
< −
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
( 1; )
n
t t
− α


- Nếu
( 1; )
n
t t
− α
≤
: Chấp nhận H
o
.
b) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về tỉ lệ của tổng thể.
LT XSTK - 12 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 12 -
•
1
: , :
o o o
H p p H p p
= ≠

2 2
1
( ) , , .
2
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n

H p p H p p
= <

( ) 0,5 , , .
(1 )
o
o o
f p
k
z z f z n
n
p p
α
ϕ
α
−
= − α → = =
−

- Nếu
z z
α
< −
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α

>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
c) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê về phương sai của tổng thể.
Trường hợp 1. (
µ
chưa biết)
- Nếu ñề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính ñể xác
ñịnh s.
•
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
σ = σ σ ≠ σ

2 2
1
( 1;1 )
2


χ > χ


χ < χ

: Bác bỏ H
0
.

- Nếu
2 2 2
1 2
χ ≤ χ ≤ χ
: Chấp nhận H
o
.
•
2 2 2 2
1
: , :
o o o
H H
σ = σ σ < σ

2 2
1 ( 1;1 )
− −α
α → χ = χ
n

o o o
H H
σ = σ σ > σ

2 2
2 ( 1; )
n
− α
α → χ = χ
,
2
2
2
( 1)
o
n s
−
χ =
σ

LT XSTK - 13 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 13 -
- Nếu
2 2
2
χ > χ
: Bác bỏ H
0
.


z z z
n n
α
ϕ
α
−
− α
= → =
σ σ
+

- Nếu
2
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
2
z z
α
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :

α
≥ −
: Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ > µ

1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z
n n
α
ϕ
α
−
= − α → =
σ σ
+

- Nếu
z z

1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1
( ) ,
2
x x
z z z
s s
n n
α
ϕ
α
−
− α
= → =
+

- Nếu
2
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu


- Nếu
z z
α
< −
: Bác bỏ H
o
.

- Nếu
z z
α
≥ −
: Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ > µ

1 2
2 2
1 2
1 2
( ) 0,5 ,
x x
z z z

n n
<
)
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ ≠ µ

1 2
1 2
( 2; )
2
2
1 2
,
2
1 1
( )
n n
x x
t t
s
n n
α
+ −
−
α
α → → =

2
n n
t t
α
+ −
≤ : Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ < µ

1 2
1 2
( 2; )
2
1 2
,
1 1
( )
n n
x x
t t
s
n n
+ − α
−

( 2; )
2
n n
t t
α
+ −
≥ − : Chấp nhận H
o
.
•
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
µ = µ µ > µ

1 2
1 2
( 2; )
2
1 2
,
1 1
( )
n n
x x
t t
s
n n
+ − α

( 2; )
2
n n
t t
α
+ −
≤ : Chấp nhận H
o
.
LT XSTK - 15 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 15 -
b) Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh tỉ lệ của 2 tổng thể.
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
, ,
k k k k
f f f
n n n n
+
= = =
+

•
1 2 1 1 2
: , :
o
H p p H p p
= ≠


z z
α
≤ : Chấp nhận H
o.

•
1 2 1 1 2
: , :
o
H p p H p p
= <

1 2
1 2
( ) 0,5 ,
1 1
(1 ).( )
f f
z z z
f f
n n
α
ϕ
α
−
= − α → =
− +

- Nếu
z z

α
−
= − α → =
− +

- Nếu
z z
α
>
: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
z z
α
≤
: Chấp nhận H
o
.
c. Kiểm ñịnh giả thuyết thống kê: So sánh phương sai của 2 tổng thể.
-
1 2
,
µ µ
chưa biết nên tính s
1
và s
2
từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu ñề bài chưa
cho.

F F
F F
: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
1 2
≤ ≤
F F F
: Chấp nhận H
o
.
•
2 2 2 2
1 2 1 1 2
: , :
o
H H
σ = σ σ < σ

-
2
1
1 1 2
2
2
, ( 1; 1;1 )
= = − − − α
s
F F F n n

2
2
, ( 1; 1; )
= = − −
α
s
F F F n n
s

- Nếu
2
>
F F
: Bác bỏ H
o
.
- Nếu
2
≤
F F
: Chấp nhận H
o
.
5. Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu.

a. Hệ số tương quan mẫu:
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
( ) ( )

i i i i
i i i
n n
i i
i i
n x y x y
B
n x x
= = =
= =
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
và
1 1
.
n n
i i
i i
y B x
A
n
= =
−
=
∑ ∑
.



Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:
ɵ
x
y A B
= +
với
1 1 1
2 2
1 1
( )
k k k
i i i i i i i
i i i
k k
i i i i
i i
n n x y n x n y
B
n n x n x
= = =
= =
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
và
1 1
.


2
y

…
k
y

i
n

1
n

2
n

…
k
n

LT XSTK - 17 - Tóm tắt công thức
ðHNH TPHCM - 17 -
c. Sử dụng máy tính bỏ túi ñể tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy
tuyến tính mẫu:

Tác vụ CASIO 570MS CASIO 570ES
Bật chế ñộ nhập tần số Không cần
Shift Mode
↓

=
thì chỉ cần nhấn
i
x
,
i
y
M+ X Y FREQ
1
x
=
⋮

k
x
=
1
y
=

⋮

k
y
=
1
n