Chương 5
CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
ỨNG DỤNG
§1. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có
E(X), Var(X) hữu hạn. Khi đó ta có


Bất đẳng thức tương đương

( )
2
Var(X)
P X E(X) 1
− < ε ≥ −
ε
( )
2
Var(X)
P X E(X)
− ≥ ε ≤
ε
ε > 0
§2. LUẬT SỐ LỚN
1. ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV
2. HỆ QUẢ
3. ĐỊNH LÝ BERNOULLI
1. ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV

Dãy các đại lượng ngẫu nhiên X

lim 0
n
→∞
=
σ =
∑
1 2 n
n
X X X
X
n
+ + +
=
n
i
i=1
1
μ
n
∑
2. HỆ QUẢ

Giả sử dãy các đại lượng ngẫu
nhiên X
1
, X
2
, … độc lập, có cùng
phân phối, có kỳ vọng ,


xác suất khá lớn (gần 1)

Điều này có ý nghĩa quan trọng trong lý
thuyết mẫu (phần thống kê)
(μ)
n
n
i
i=1
1
X X
n
=
∑
μ
> 0
ε
3. ĐỊNH LÝ BERNOULLI
Giả sử là tần suất xuất hiện
biến cố A trong n phép thử độc
lập và p là xác suất xuất hiện
biến cố A trong mỗi phép thử.
Khi đó với mọi ta có:
A
n
n
> 0
ε
A
n

E(X ) =μ
1 2 n
n
X + X + + X - nμ
Z =
σ n
2
i
Var(X ) =σ
§3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
Khi đó với mọi ta có:
Trong đó đại lượng ngẫu nhiên Z có
phân phối chuẩn chuẩn hóa

Nói cách khác Z
n
hội tụ theo phân phối
đến Z.
x R
∈
n
n
lim P(Z x) P(Z x)
→∞
< = <
Ζ Ν(0,1)
:
2
x
t

i
không có phân phối
chuẩn (nhưng thỏa mãn các giả
thiết),
khi n đủ lớn thì có phân
phối xấp xỉ phân phối chuẩn.
n
i
i=1
1
X = X
n
∑
MỘT ÁP DỤNG KHÁC
Cho với n khá lớn ,
p không quá gần 0 và không quá
gần 1
(np ≥ 10 và n(1 – p) ≥ 10)
Ta có thể xấp xỉ
( )
( )
2
X N np, np(1- p):
X B(n, p):
VÍ DỤ
Một nhà hàng khách sạn phải phục vụ
buổi ăn trưa cho một đoàn có 900
khách. Nhà hàng phục vụ làm hai
đợt liên tiếp. Giả sử mỗi khách
hàng được chọn ngẫu nhiên theo

X N 450; 15:
1
p =
2
np(1- p) = 15
VÍ DỤ

Gọi k là số chỗ ngồi dành cho buổi
ăn trưa phục vụ cho đoàn khách.

Ta cần tìm k nhỏ nhất sao cho:
(Chú ý: không thỏa
mãn)
( )
P (X k) (900 X k) 98%
P(900 k X k) > 98%
≤ ∩ − ≤ >
⇔ − ≤ ≤
k < 900 - k
VÍ DỤ
Tra bảng tích phân Laplace, ta chọn k
sao cho:
Từ đó
k 450 450 k
> 98%
15 15
k 450