Chương 2: Các phép biến đổi tích phân
CHƯƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
GIỚI THIỆU

54
}
Trong chương I chúng ta đã sử dụng tính duy nhất của khai triển Laurent của hàm giải tích
trong hình vành khăn để xây dựng phép biến đổi Z. Nhờ phép biến đổi Z ta có thể biểu diễn tín
hiệu số bởi hàm giải tích . Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu hai phép biến
đổi tích phân là biến đổi Laplace và biến đổi Fourier.
{
)(nx
)(zX
 Nhiều vấn đề trong kỹ thuật, trong điện tử viễn thông, trong lý thuyết mạch…, đưa về giải
các phương trình, hệ phương trình chứa đạo hàm, tích phân của các hàm nào đó, nghĩa là phải giải
các phương trình vi phân, tích phân hay phương trình đạo hàm riêng. Việc giải trực tiếp các
phương trình này nói chung rất khó. Kỹ sư Heaviside là người đầu tiên đã vận dụng phép biến đổi
Laplace để giải quyết các bài toán liên quan đến mạch điện.
Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm gốc theo biến thành hàm ảnh theo biến . Với phép
biến đổi này việc tìm hàm gốc thoả mãn các biểu thức chứa đạo hàm, tích phân (nghiệm của
phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng…) được quy về tính
toán các biểu thức đại số trên các hàm ảnh. Khi biết hàm ảnh, ta sử dụng phép biến đổi ngược để
tìm hàm gốc cần tìm.
t
s
Trong mục ta này giải quyết hai bài toán cơ bản của phép biến đổi Laplace là tìm biến đổi
thuận, biến đổi nghịch và một vài ứng dụng của nó.
Các hàm số trong chương này được ký hiệu là thay cho vì
được ký hiệu cho các tín hiệu phụ thuộc vào thời gian
...),(),(
tytx

)(
tx
0>t
)(
tx
(2.1)
{}
∫
∞
−
==
0
)()()( dttxesXtx
st
L
Phép biến đổi Laplace của hàm số gọi là tồn tại nếu tích phân (2.1) hội tụ với giá trị
thuộc miền nào đó. Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace của hàm số không
tồn tại. Phép biến đổi Laplace là thực hay phức nếu biến số của hàm ảnh là thực hay
phức.
)(
tx
s
)(
tx
s
)(
sX
Theo thói quen người ta thường ký hiệu các hàm gốc bằng các chữ thường còn
các biến đổi của nó bằng các chữ in hoa . Đôi khi cũng được ký hiệu bởi
.

0,0
0
≥α>M

0,)(
0
>∀≤
α
tMetx
t
. (2.2)
0
α
được gọi là chỉ số tăng của .
)(
tx
Rõ ràng
0
α
là chỉ số tăng thì mọi số
10
α α
>
cũng là chỉ số tăng.
Ví dụ 2.1: Hàm bước nhảy đơn vị (Unit step function)
(2.3)
⎩
⎨
⎧
≥

⎧
≥
<
=η
0)(
00
)()(
ttx
t
ttx
nÕu
nÕu
là một hàm gốc.
Định lý 2.1: Nếu là hàm gốc với chỉ số tăng
)(
tx
0
α
thì tồn tại biến đổi Laplace

{}
∫
∞
−
==
0
)()()( dttxesXtx
st
L
xác định với mọi số phức sao cho

sao cho
0
α α
>
, ta có:
0
(
()
t
st
xte Me
)
α α
−
−
≤
mà
hội tụ, do đó tích phân hội tụ tuyệt đối. Vì vậy tồn tại biến đổi Laplace
và
0
()
0
t
e
αα
∞
−
∫
dt
dtetx

Me dt
αα
αα
α αα
∞
∞
−
−
≤==
−−
∫
α
.
Ngoài ra
Re( )
0
lim 0 lim ( ) 0
s
M
Xs
α
αα
→∞ →∞
=⇒ =
−
.
Tích phân hội tụ và tích phân
dtetx
st
∫

α α
>
(theo định lý Weierstrass), suy ra hàm ảnh có
đạo hàm
(
dtetx
s
sX
st
∫
∞
−
∂
∂
=
0
)()('
)
tại mọi thuộc các miền trên. Vì vậy giải tích trong
miền
s
)(
sX
0
Re( )s
α
>
.
thay cho
{ }
tt sin)(
η
L
,
{ }
1
L
thay cho
{}
)(t
η
L
.
3. Ta quy ước các hàm gốc liên tục phải tại 0. Nghĩa là
)0()(lim
0
xtx
t
=
+
→
.
Ví dụ 2.3: Vì hàm có chỉ số tăng
)(
t
η
0
0

{}
∫
∞
−
==
0
sin)(sin dttesXt
st
L
tồn tại với mọi .
0)Re(, >
ss
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được:
(
)
2
00
00
() cos cos 1 sin sin
st st st st
X s te se t dt se t s e t dt
∞∞
∞∞
−− − −
=− − = − −
∫∫

()
2
2

LLL
.
2.1.3.2. Tính đồng dạng
Định lý 2.3: Nếu
{
)()( txsX
}
L
=
thì với mọi ,
0>a
{}
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
a
s
X
a
atx
1
)(
L
. (2.7)
Ví dụ 2.6:
{}

,
{ }
( )
asXtxe
at
−=)(
L
. (2.8)
Ví dụ 2.7:
{ }{ }
as
ee
atat
−
=⋅=
1
1
LL
.
{}
22
2
ch
ω−
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫

⎧
−
=ω
ω−ω
s
ee
t
tt
LL
.
{ }
22
)(
sin
ω+−
ω
=ω
as
te
at
L
.
2.1.3.4. Tính trễ
Định lý 2.5: Nếu
{
)()( txsX
}
L
=
thì với mọi

t

O

x

t

O

x

a

Ví dụ 2.8:
{}
s
e
at
as−
=−η )(
L
.
Ví dụ 2.9: Hàm xung (Impulse) là hàm chỉ khác không trong một khoảng thời gian nào đó.
(2.10)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

ba
−η−−η=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
<<
<
=η
nÕu
nÕu
nÕu
(2.11)
Hàm xung bất kỳ (2.10) có thể biểu diễn qua hàm xung đơn vị

,
() ( ) () ( ) () () ()
ab
x ttattbt tt
η ϕη ϕη ϕ
=− −− =
(2.12)
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân

{}
{}{}
,
() () ()

a

a

b

b

)(
t
ϕ

1

59
Ví dụ 2.10: Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang
x
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<<
<<
<<


1

2

3

O

t)1()1(24)1()(2
−η−−− −η+ − η − + ηη−η=
tttt tt
)3()2(3)1(2)(2 −η−−η−−η+η= tttt
.
Do đó
{}
s
eee
tx
sss 32
322
)(
−−−
−−+
=
L
.

)(
222
+
+
=
+
+
+
=
π−π−
s
e
s
e
s
tx
ss
L
.
2.1.3.5. Biến đổi của đạo hàm
Định lý 2.6: Giả sử hàm gốc có đạo hàm cũng là hàm gốc. Nếu
)(tx )(' tx
{ }
)()( txsX
L
=

thì
{ } ( )
)0()(' xssXtx

=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
ω
=ω
s
s
s
s
t
t
LL
.
Hệ quả: Với giả thiết của định lý 2.6 thì
)0()(lim

s
sX
duux
t
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∫
0
)(
L
. (2.15)
2.1.3.7. Đạo hàm ảnh
Định lý 2.8: Giả sử là một hàm gốc có
)(tx
{ }
)()( txsX
L
=
thì
{ }
() ()

s
n
s
ds
d
t
L
.
t

x

a

O

1

Ví dụ 2.14: Hàm dốc

0
0
0
()
1
t
ta
ta
t
xt

a
t
t
a
t
−η
−
−η=−η+−η−η=
.
t

x

1

O

1

2

{}
222
11
)(
as
e
as
e
as

t
t
nÕu
nÕu
nÕu
nÕu

[]
()
[ ]
)2()1(2)1()()(
−η−−η−+−η−η=Λ
ttttttt)2()2()1()1(2)( −η−+−η−−η= tttttt
.
{}
( )
2
2
2
2
22
121
)(
s
e
s
e

∫
∞
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
s
duuX
t
tx
)(
)(
L
. (2.17)
Ví dụ 2.16: Vì
1
sin
lim
0
=
+
→
t
t
t
và
{}

⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⇒
∞
∞
∫
L
.
Hàm tích phân sin:
0,
sin
Si
0
>=
∫
tdu
u
u
t
t
có biến đổi Laplace
ss
du
u
u
t

−
−
==
∫
1
)(
)()(
0
L
. (2.18)
Ví dụ 2.17: Tìm biến đổi Laplace của hàm gốc tuần hoàn chu kỳ sau:
02 >a

t

1−

1

a

a2

a3

a4


.
()
()
2
22
2
22
2
2
2
sh
1
11 1 1 1
() th
1
1
ch
as as
as
as
as as as
as
as
as
as
e
eee
Xs
ss ss
e

(tích chập có tính giao hoán)
♦ Nếu là hai hàm gốc thì tích chập của chúng
)(),( tytx
() ()x tyt∗
cũng là hàm gốc.
Định lý 2.11: Nếu
{}
)()( txsX
L
=
,
{ }
)()( tysY
L
=
thì

{ }
() () ( ) ()x tyt XsYs∗=
L
(2.20)
Ngoài ra nếu cũng là hàm gốc thì ta có công thức Duhamel:
)('),(' tytx

{ } { }
(0) () '() () () (0) () '() () ( )x yt x t yt xt y xt y t sX sY s+∗ = +∗ =
LL
(2.21)
Ví dụ 2.17:
{}{}{}

Từ ví dụ 2.17 cho thấy cần thiết phải giải bài toán ngược: Cho hàm ảnh, tìm hàm gốc.
Trong mục này ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một hàm nào đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm
gốc của nó, đồng thời cũng chỉ ra rằng hàm gốc nếu tồn tại là duy nhất.
Định nghĩa 2.4: Cho hàm , nếu tồn tại sao cho
)(sX )(tx
{ }
)()( sXtx
=
L
thì ta nói
là biến đổi ngược của , ký hiệu
)(tx
)(sX
{ }
)()(
1
sXtx
−
=
L
.
2.1.4.1. Tính duy nhất của biến đổi ngược
Định lý 2.12: Nếu là một hàm gốc với chỉ số tăng
)(tx
0
α
và
{ }
)()( sXtx
=

là số thực bất kỳ lớn hơn
0
α
.
Công thức (2.22) được gọi là công thức tích phân Bromwich.
Công thức Bromwich cho thấy biến đổi Laplace ngược nếu tồn tại thì duy nhất.
2.1.4.2. Điều kiện đủ để một hàm có biến đổi ngược
Định lý 2.1 cho thấy không phải mọi hàm phức giải tích nào cũng có biến đổi ngược. Chẳng
hạn hàm không thể là ảnh của hàm gốc nào vì
2
)( ssX =
∞=
∞→
)(lim
)Re(
sX
s
.
Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi ngược
Định lý 2.13: Giả sử hàm phức thoả mãn 3 điều kiện sau:
)(sX
i. giải tích trong nửa mặt phẳng
)(sX
0
)Re( α>s
,
ii.
R
MsX ≤)(
với mọi thuộc đường tròn

!5
1
4
1
5
4
6
14
6
1
t
e
s
e
s
tt −−−−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪

⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
⇒
−−
−
−
−
−
t
t
ee
s
e

a
s
a
sX
thì

63
Chương 2: Các phép biến đổi tích phân
{}
"
+++++==
−
!4!3!2
)()(
4
4
3
3
2
2
10
1
ta
ta
ta
taasXtx
L
(2.23)
Ví dụ 2.19:
1

⇒= =−+−+−
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
"
L()()()( )
()
246 8
0
2222222222
222 2
12
2242462468
ttt t
Jt=− + − + − ="

trong đó là hàm Bessel bậc 0 (xem chương III).
0
J
c.
Sử dụng thặng dư của tích phân phức

Với điều kiện của định lý 2.13 thì có biến
đổi ngược xác định bởi công thức Bromwich
(2.22).
)(sX
)(tx

O

Mặt khác giả sử hàm chỉ có một số hữu
hạn các điểm bất thường cô lập trong
nửa mặt phẳng
)(sX
n
aaa ,...,,
21
α<
)Re(s
với
α
nào đó
0
α>
.
Chọn R đủ lớn sao cho các điểm bất thường này
đều nằm trong phần của mặt phẳng được giới hạn bởi
đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng
. Khi đó
R
C
α=
)Re(s

{}
[ ]
∑
=

1
()
()
()
() '( )
k
n
at
k
k
k
Pa
Ps
x t
Qs Q a
−
=
⎧⎫
==
⎨⎬
⎩⎭
∑
L
e
(2.25)
Ví dụ 2.20: Tìm hàm gốc
⎪
⎭
⎪
⎬

++
=
sss
ss
sQ
sP
có các cực điểm đơn là .
3,2,1
−−
4
3
)('
)(
1
=
=s
sQ
sP
,
1
)('
)(
2
−=
−=s
sQ
sP
,
4
5

−
⎧ ⎫
++
⎪ ⎪
=
⎨ ⎬
−++
⎪ ⎪
⎩⎭
L
.
Giải: Hàm ảnh
()
2
2
() 3 3 2
()
(2) 48
Ps s s
Qs
sss
++
=
−++
có các cực điểm đơn là
ii 22,22,2
−−+−
.
1
)('

iP
sQ
sP
is
−=+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
=
−−=
.
ittittt
e
i
e
i
etx
22222
4
1
4
1)(
−−+−

1
2cos2
4
222222222
.
d.
Tìm hàm gốc của các phân thức hữu tỉ

Mọi phân thức hữu tỉ có dạng
)(
)(
)(
sQ
sP
sX =
, trong đó bậc của lớn hơn bậc của
đều có thể phân tích thành tổng của các phân thức tối giản loại I và loại II.
)(sQ )(sP
♦ Các phân thức hữu tỉ loại I:
as −
1
hay
n
as )(
1
−
,

∈a
có hàm gốc:

⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
−
n
t
e
as
n
at
n
L
. (2.26)
♦ Các phân thức hữu tỉ loại II:
()
22
()
n
Ms N
sa
ω
+
++
,

∈ω
,,, aNM

⎩
⎨
⎧
ω+
−
cos
22
1
L
,
ω
ω
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
ω+
−
t
s
sin1
22
1
L
(2.28)

65

1sincos
2
tt t
s
ω ωω
ω
ω
−
⎧⎫
−
⎪⎪
=
⎨⎬
+
⎪⎪
⎩⎭
L
(2.29)
♦ Trường hợp :
3=n
()
2
1
23
22
sin cos
8
sttt
s
t

⎧⎫
−−
⎪⎪
=
⎨⎬
+
⎪⎪
⎩⎭
L
(2.30)
Ví dụ 2.22: Hàm ảnh ở ví dụ 2.21.
()
2
2
332
()
(2) 48
ss
Xs
sss
++
=
− ++
có thể phân tích thành tổng
các phân thức tối giản

4)2(
1
4)2(
)2(2

122
2
332 1
() 2 cos2 sin2
2
(2) 48
tt t
ss
2
x tee
sss
−−
⎧⎫
++
⎪⎪
==+
⎨⎬
−++
⎪⎪
⎩⎭
L
tet
−
−
.
Ví dụ 2.25: Tìm hàm gốc của
3
2
)2)(1(
11155

+
−
+
+
−
=
−+
−−
=
ss
ss
ss
ss
sX

tttt
etteee
ss
ss
tx
2222
3
2
1
2
7
4
3
1
3

dt
dx
a
dt
xd
a
dt
xd
a
n
n
n
n
n
n
=++++
−
−
−
"
(2.31)
thỏa mãn điều kiện đầu
1
)1(
10
)0(,...,)0(',)0(
−
−
===
n

{ } ( )
() 1
02
() ()
nnn
nn n
ax t a sX s s x sx x
−
1n
− −
=−−−−
"
L
. (2.33)
Thay vào (2.31) ta được
()( )
11
110 0 1
() ()
nn n n
nn n n
as a s as a X s Y s x as a s a
−−
−−
++++ =+ +++
""
2
1
−


L
}
Ví dụ 2.27: Tìm nghiệm của phương trình: thỏa mãn điều kiện đầu
.
txxx sin"2
)4(
=++
0)0()0(")0(')0(
)3(
==== xxxx
Giải: Phương trình ảnh:
()
()
42
23
2
11
21() ()
1
1
s s Xs Xs
s
s
++ = ⇒ =
+
+
.
Áp dụng công thức (2.30) ta có nghiệm
{}
( )

dt
dt
dx
du
dx
du
dy
=⋅==
, tương tự
2
2
2
2
dt
xd
du
yd
=
.
Do đó phương trình đã cho có thể viết lại tương ứng: với điều kiện
đầu .
1
)()("
+
=+
u
euyuy
0)0(',1)0( == yy
Đặt .
{} { }