ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THÀNH ĐỒN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CHÙM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THÀNH ĐỒN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
KIỂU TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI
CHÙM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG FOURIER
Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN MINH KHOA
Thái Ngun - 2013
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Mở đầu 1
Nội dung 5
1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier
cosine. 5
1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . 5

biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier cosine. . . . . . 32
2.3.1 Tích chập suy rộng có hàm trọng đối với các phép biến
đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine. . . . 32
2.3.2 Hệ phương trình tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận 36
Tài liệu tham khảo 38
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
ii
LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo:TS. Nguyễn Minh
Khoa - Trưởng khoa Khoa học cơ bản - Trưởng bộ mơn Tốn Trường Đại học
Điện Lực đã hướng dẫn và chỉ bảo tận tình trong suốt q trình làm luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo,
khoa Tốn - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Ngun đã tạo điều kiện thuận
lợi trong suốt q trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên
trong lớp cao học tốn K5B đã ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả trong
suốt thời gian học tập và q trình làm luận văn.
Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân
có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng
góp ý kiến của các thầy cơ cùng tồn thể bạn đọc.
Thái Ngun, tháng 05 năm 2013.
Tác giả
.
Nguyễn Thành Đồn
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
iii
LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và
khơng trùng lặp với các đề tài khác. Tơi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp

√
1 + x
2
, R) =

f (x) :
+∞

−∞
√
1 + x
2
. |f (x)|dx < +∞

Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
1
Mở đầu
Cùng với sự phát triển của lí thuyết các phép biến đổi tích phân, một
hướng phát triển mới của lí thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chập
của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ XX.
Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier F của hai hàm f và g
được xác định như sau [7,8]
(f
∗
F
g)(x) =
1
2
√
2π

F
c
g)(y) = (F
c
f)(y).(F
c
g)(y) , ∀y > 0 ; f, g ∈ L(R
+
) (0.4)
Tiếp đến là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace[7,8], Mellin, Hilbert
[7],Hankel và Stieltjes.
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
2
Các tích chập nói trên đều có cùng một thuộc tính đặc trưng đó là
trong đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến
đổi tích phân tham gia. Điều này hạn chế đến cấu trúc và việc ứng dụng
chúng vào giải các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập và
các bài tốn thực tế.
Năm 1958, lần đầu tiên tích chập với hàm trọng ra đời. Đó là tích
chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Mehler – Fox được
khám phá bởi Vilenkin .Y.Ya.
Sau đó năm 1967, trong một cơng trình cơng bố trên tạp chí D.A.N
[2] V.A Kakichev đã xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm
trọng γ (y) đối với phép biến đổi tích phân K bất kỳ, thỏa mãn đẳng thức
nhân tử hóa:
K(f
γ
∗
g)(y) = γ(y)(Kf)(y)(Kg)(y)
Nhờ phương pháp này mà một số tích chập với hàm trọng đã được xây

Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
3
Mellin, tích chập đối với phép biến đổi tích phân Kontorovich – Lebedev,
biến đổi G, biến đổi H.
Năm 1998, V.A. Kakichev và Nguyễn Xn Thảo đã đưa ra phương
pháp kiến thiết tích chập suy rộng của ba phép biến đổi tích phân bất kỳ
K
1
, K
2
, K
3
Với hàm trọng γ(y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa.
K
1
(f
γ
∗
g)(y) = γ(y)(K
2
f)(y)(K
3
g)(y)
Từ ý tưởng của bài báo này trong vòng một thập niên trở lại đây
Nguyễn Xn Thảo, Nguyễn Minh Khoa đã xây dựng và nghiên cứu hàng
chục tích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với chùm ba phép biến
đổi tích phân nổi tiếng Fourier, Fourier sine, Fourier cosine [4,5,6] chẳng
hạn như:
Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine [3]
được xác định bởi:

Tích chập suy rộng γ
1
(y) = sin y đối với các phép biến đổi Fourier cosine,
Fourier sine [4] được xác định bởi :
(f
γ
1
∗
3
g)(x) =
1
2
√
2π
∞

0
f(t) [g(|x + t − 1|) + g(|x −t + 1|) −
−g(x + t + 1) − g(|x −t −1|)] dt , x > 0 (0.9)
Khi f , g là các hàm thuộc L (R
+
) thì tích chập (f
γ
1
∗
3
g) cũng thuộc L (R
+
)
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/

0
f (y) [g(|x + y − 1|) + g(|x − y −1|)−
− g(x + y + 1) −g(|x −y + 1|)] dy , x > 0 (0.11)
Khi f và g là các hàm thuộc L (R
+
) thì tích chập (f
γ
1
∗
4
g) cũng thuộc
L (R
+
) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:
F
s
(f
γ
1
∗
4
g)(y) = sin y(F
c
f)(y)(F
c
g)(y) , ∀y > 0 . (0.12)
Nghiên cứu về tích chập suy rộng có ý nghĩa trong lí thuyết về các
phép biến đổi tích phân và phương trình tích phân. Trên cơ sở các tích
chập đã nêu, luận văn chủ yếu đề cập, nghiên cứu các lớp hệ phương trình
tích phân dạng chập. Phần đầu của luận văn là nghiên cứu về các phép

e
−iyx
f(x)dx , y ∈ R (1.1.1)
Được gọi là biến đổi Fourier của hàm f
Định nghĩa 2:(Biến đổi Fourier ngược) .
Nếu F(y) ∈ L(R) thì hàm F
−1
(F (y)) xác định bởi:
F
−1
(F (y))(x) = f (x) =
1
√
2π
+∞

−∞
e
iyx
F (y)dy , x ∈ R (1.1.2)
Được gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm F .
Ví dụ 1: Tìm biến đổi Fourier của hàm f(x) = e
−a|x|
, a > 0
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
6
Giải:
Cách 1:

f(y) =

d sin yx
=
1
y

2
π

e
−ax
. sin yx|
+∞
0
+ a
∞

0
e
−ax
sin yxdx

=
1
y

2
π

−a
y

y
2

2
π

−1 + a

2
π
.

f(y)

Từ đây ta nhận được:

f(y) =

2
π

a
y
2
+ a
2

Cách 2:

f(y) = (F f)(y) =

2π

1
a+iy
+
1
a−iy

=

2
π
.
a
a
2
+y
2
1.1.2 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi tích phân Fourier.
Tính chất 1:
Giả sử f ∈ L(R) thì

f ∈ C
0
với C
0
là khơng gian các hàm số liên tục tiến
dần về 0 tại vơ cực . Hơn nữa



≤
1
√
2π
∞

−∞
|f(x)|


e
−iy
n
x
− e
−iyx


dx
Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2 |f (x)| và hội tụ từng điểm
tới 0 khi n → ∞ . Vì vậy

f(t
n
) →

f(t) do định lí hội tụ bị chặn.
Vậy

f liên tục





f(y)



=






∞

−∞

f(x) − f
π
y
(x)

e
−iyx
dx





y
r

Chứng minh:

f
r
(y) =
1
√
2π
+∞

−∞
f(rx)e
−iyx
dx =
1
y
√
2π
+∞

−∞
f(t)e
−iyt
r
dt =
1

−∞
f(x + u)e
−iyx
dx =
1
√
2π
+∞

−∞
f(t)e
−iy(t−u)
dt = e
iyu

f(y)
Tính chất 4:
Cho f ∈ L(R) thỏa mãn sup f ⊂ [−a, a] .
Ta có

f là hàm giải tích trên C .
Chứng minh:

f(y) =
1
√
2π
a

−a

f
n
(y)



≤
1
√
2π
∞

−∞
|f
m
(x) −f
n
(x)|.


e
−iyt


dx ≤
≤
∞

−∞
|f

f(y) =
1
√
2π
b

a
e
−iyx
dx =
1
√
2π
.
e
−iya
− e
−iyb
iy
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
9
Và là hàm liên tục tiến về 0 khi |y| → ∞.
Nếu f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng.
Từ đó, do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có

f liên tục
và tiến về 0 khi |y| → ∞.
Cuối cùng , nếu f ∈ L(R) , do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong
L(R) , ta tìm được dãy các hàm bậc thang {f
n

f(x) = f(0) +
x

0
f

(t)dt
Hơn nữa , f

∈ L(R) nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi
x → ±∞. Ngồi ra giới hạn đó phải bằng 0 vì f ∈ L(R)
Do đó:
(f

)(y) =
1
√
2π
+∞

−∞
f

(x)e
−iyx
dx =
1
√
2π
+∞

Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
10
khi |y| → ∞ và




f(y)



=
|
(f
(n)
)(y)
|
|y|
n
Chứng minh:
Nhờ tính chất 7 , dễ dàng chứng minh được tính chất này.
Tính chất 9:
Cho f ∈ L(R) . Nếu f

tồn tại và f

∈ L(R) thì

f ∈ L(R).
Chứng minh:


−∞
f(x)e
−iyx
dx


=
−i
√
2π
+∞

−∞
x.f(x)e
−iyx
dx
Tính chất 11:
Với f, g ∈ L(R) nhắc lại tích chập của f, g như sau:
(f ∗g) (x) =
+∞

−∞
f (x −y)g (x) dy và f ∗ g ∈ L(R).
Khi đó ta có:
(f ∗g) = 2π.

f.

g

−∞
g(x −t)e
−iyx
dx

dt
=
+∞

−∞
f(t)

+∞

−∞
g(u)e
−iyu

e
−iyt
dt = 2π

f (y) .

g (y)
Tính chất 12:
Gọi S là tập hợp các hàm khả vi vơ hạn và giảm nhanh tức là:
f ∈ C
∞
và ∀p, q ∈ N, ∃M > 0, ∀x ,

(q)
(x)


≤
M
x
2
Điều này có nghĩa là: x
p
f
(q)
∈ L(R) .
Theo tính chất 10 thì

f ∈ S .
Lại có: f
(q)
∈ L(R) với mọi q ∈ N nên áp dụng tính chất 8, ta có

f giảm
nhanh hơn
1
|y|
q
khi |y| → ∞ , với mọi q ∈ N .
Do đó:




(x
p
f)
(q)
(x)


Suy ra:

f ∈ S vì



(x
p
f)
(q)
(x)



≤ M và (x
p
f)
(q)
∈ L(R)
Nhận xét:
Tính chất này cho ta thấy phép biến đổi Fourier là ánh xạ từ S vào S.
Tính chất 13:
Phép biến đổi Fourier là tốn tử tuyến tính.

e
−iyx
g (x)dx
= α (F f) (y) + β (F g) (y) .
Tính chất 14: (Bổ đề Riemann - Lebesgue)
Nếu f ∈ L(R) thì lim
|y|→∞




f (y)



= 0
Chứng minh:
Từ e
−iyx
= −e
−iyx−iπ
.
Ta có:

f (y) =
1
√
2π
+∞


x −
π
y

dx
Do đó :

f (y) =
1
2
.
1
√
2π

+∞

−∞
e
−iyx
f (x)dx −
+∞

−∞
e
−iyx
f

x −
π




≤
1
2
√
2π
+∞

−∞




f (x) −f

x −
π
y





dx
lim
|y|→∞



dx = 0
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
13
1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine.
1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier Cosine.
Định nghĩa 1:
Cho f ∈ L(R) , hàm F
c
f xác định bởi:

f (y) = (F
c
f) (y) =

2
π
+∞

0
f (x) cos xydx (1.2.1)
Được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f
Ta có cơng thức biến đổi ngược là:
f (x) =

F
c

f

(x) =

π
+∞

0

e
−(a−iy)x
+ e
−(a+iy)x

dx
=
1
2

2
π

1
a−iy
+
1
a+iy

=

2
π

a

0
f (x) cos yxdx + β

2
π
+∞

0
g (x) cos yxdx
= α (F
c
f) (y) + β (F
c
g) (y)
Hay : F
c
[αf + βg] = α (F
c
f) + β (F
c
g)
Tính chất 2:
Với a > 0 , đặt f
a
(x) = f (ax) .
Khi đó ta có:
(F
c
f
a


0
f (ax) cos

y
a
ax

d (ax)
=
1
a

2
π
+∞

0
f (t) cos

y
a
t

d (t) , t = ax
=
1
a
(F
c

F
c

f
∗
F
c
g

(y) = (F
c
f) (y) . (F
c
g) (y) , ∀y > 0 (1.2.4)
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
15
1.2.3 Định nghĩa phép biến đổi Fourier sine.
Định nghĩa:
Cho f ∈ L(R) , hàm (F
s
f) xác định bởi:

f (y) = (F
s
f) (y) =

2
π
+∞


p
a

0
sin yxdx =

2
π
p
1 −cos ay
y
1.2.4 Tính chất của phép biến đổi Fourier sine.
Tính chất 1:
Phép biến đổi Fourier sine là tốn tử tuyến tính .
Chứng minh:
∀f, g ∈ L(R
+
) và ∀α, β ∈ R ta có :
F
s
[αf (x) + βg (x)] (y) =

2
π
+∞

0
[αf (x) + βg (x)] sin yxdx
= α


(x) = f (ax). Khi đó ta có:
(F
s
f
a
) (y) =
1
a
(F
s
f)

y
a

Chứng minh: Ta có:
(F
s
f
a
) (y) =

2
π
+∞

0
f (ax) sin (yx) dx
=
1

=
1
a
(F
s
f)

y
a

.
Ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 3:(Biến đổi sine của đạo hàm)
Giả sử f (x) liên tục và khả tích tuyệt đối trên (−∞, +∞), f

(x) liên tục
từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn và f (x) → 0 khi x → +∞ . Khi đó:
F
s
(f

(x)) = −yF
c
(f (x))
Chứng minh:
F
s
Lấy tích phân từng phần ta có:
(F
s

Giả sử các biến đổi Fourier tồn tại. Khi đó ta có mối liên hệ sau:
(F
s
f

) (y) = −y
2
(F
s
f) (y) +

2
π
y.f (0)
Số hóa bởi Trung tâm học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/
17
Chứng minh:
Áp dụng cơng thức ở tính chất 3 ta có:
(F
s
f

) = −y (F
c
f

) (y) = −y

y (F
s

0
(x) (1.3.2)
Và thỏa mãn các điều kiện:
(i) u, u
x
, u
xx
liên tục, khả tích trên R theo biến x với mọi t ≥ 0 cố định.
(ii) ∀T > 0 , ∃ϕ ∈ L
1
(R) , |u
t
(x, t)| ≤ ϕ (x) , ∀t ∈ [0, T ] , ∀x.
1.3.2 Thuật tốn giải bằng cách sử dụng biến đổi Fourier.
Biến đổi Fourier vế trái của (1.3.1) như là hàm của biến x (xem t là
tham số), dùng tính chất (ii) để có thể lấy đạo hàm dưới dấu tích phân,
ta có:
1
√
2π
+∞

−∞
u
t
(x, t) e
−iλx
dx =
∂
∂t

Như vậy, biến đổi Fourier hai vế của (1.3.2) cho ta phương trình vi phân
theo biến t ( λ là tham số) như sau:

u
t
(λ, t) = −λ
2

u (λ, t) (1.3.3)
Điều kiện ban đầu của phương trình vi phân (1.3.3) có được bằng cách
biến đổi Fourier hai vế của (1.3.2).
Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 , ta được nghiệm
của (1.3.3) là :

u (λ, t) = e
−λ
2
t

u
0
(λ, t)
Mặt khác ta có:
e
−λ
2
t
=

1


1
√
2t
e
−x
2
4t
∗
F
u
0


=

1
2
√
πt
e
−x
2
4t
∗
F
u
0

Vậy: