BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kettavong Chinnalone

BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH
Chun ngành : Tốn giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Các ký hiệu

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................... 3
1.1. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính .......................... 3
1.2. Phương pháp biến thiên hằng số, cơng thức Cauchy ............................... 12
1.3. Tính xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi
phân tuyến tính .......................................................................................... 13
1.4. Một liên hệ giữa ởn định và xấp xỉ .......................................................... 18
Chương 2. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT

CHO HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................... 26
2.1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát .............. 26
2.2. Định lý xấp xỉ nghiệm của bài tốn biên tởng qt .................................. 40
Chương 3.

BÀI TỐN BIÊN HAI ĐIỂM

CHO HỆ PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ............................................. 46
3.1. Các tiêu chuẩn cho sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài tốn
(3.1), (3.2) ................................................................................................. 46


x   x i i1 là vectơ cột n - chiều,
n





R n  x   x i i1 x i  R, i  1,n ,
n

x   xi



n
i 1

.

Trên R n ta trang bị các chuẩn
n

x   xi ,
i 1

x  max x i .
i 1,n






mn

.




Cho I  R . Ta gọi mỗi ánh xạ

X : I  R mn
X  t    x ik  t  mn

t


là một ma trận hàm cấp m  n.

Ma trận hàm X  t    xik  t  mn gọi là liên tục, bị chặn, liên tục tuyệt đối,
khả tích, khả vi trên I nếu tất cả các hàm x ik  t  , i  1,m; k  1,n có các tính
chất đó trên I.



Cho ma trận hàm X  t    xik  t  mn .
Đặt X  t  

dx



C





 sup X  t  : t  I .

Nếu I  a,b, C a,b,R mn  là không gian các ma trận hàm

X  t    x ik  t   liên tục trên a,b với chuẩn
X





C

 max X  t  : t   a, b 

C

 max x ik  t  C , i  1, m, k  1, n .

hoặc
X


X


L




   X  t  dt 
I


1



với 1    .

Lloc  I, R mn  là không gian các ma trận hàm cấp m  n khả tích bậc  trên

mỗi tập con compắc của I.


E – ma trận đơn vị.



 – ma trận không.





2

Mục đích chính của chương 3 là áp dụng các kết quả của chương 1 và
chương 2 để xây dựng các điều kiện cần và đủ cho việc tồn tại nghiệm cho bài
toán biên hai điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Ngồi ra, chúng ta
cũng nghiên cứu một số tính chất đại số cho nghiệm của bài toán biên hai điểm
khi bài toán biên thuần nhất tương ứng có nghiệm khác tầm thường.


3

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính
Giả sử I  R là một khoảng (đoạn, bán đoạn, khoảng hữu hạn hay vô hạn)
P  Lloc  I, R nn  ,q  Lloc  I, R n  .

Xét hệ phương trình vi phân thường tuyến tính:

dx
 P  t  x  q  t .
dt

(1.1)

Véctơ hàm x : I  R n được gọi là nghiệm của hệ (1.1) , nếu hầu khắp nơi
trên I có:
dx

x  t   exp  p  s  ds  .C0   exp  p  s  ds  .q  τ  dτ , t  I.
t

t0
τ

0


Xem chứng minh trong [1].

(1.5)


4

Bổ đề 1.2
Giả sử p,q  Lloc  I, R   , t 0  I, C0  R  , x  Cloc  I, R  
t

x  t   C0    p  τ  .x  τ   q  τ  dτ , t  I.

(1.6)

t0

Khi đó

t  I


x  t   C0    P  τ  .x  τ   q  τ   dτ , t  I.

(1.8)

t0

Phương trình (1.8) là phương trình tích phân dạng Volter.
 Ta chứng minh tồn tại nghiệm của (1.8) bằng xấp xỉ Picard.
Xét dãy vectơ hàm x k  t k 1 xác định như sau:


x 0  t   C0 ,
t

x k  t   C0    P  τ  .x k 1  τ   q  τ   dτ ,  k  1,2,.
t0

(1.9)


5

Dễ thấy
x k  Cloc  I, R n  , k  N.

Ta chứng minh rằng dãy x k  t k 1 là hội tụ đều trên I bằng cách chứng


minh rằng chuỗi:



0

 q  τ  dτ =ξ 0  t  , t  I,

(1.11)

t0

với ξ 0  t  

t

 P  τ .C

0

 q  τ  dτ .

t0

Với k > 1 thì:
t

x k  t   x k 1  t   P  τ   x k 1  τ   x k 2  τ   dτ.
t0

Do (1.11) ta có:
x 2  t   x1  t  


, t  I.

(1.13)

Giả sử (1.13) đúng với số tự nhiên k nào đó. Ta chứng minh nó đúng với
k+1.
Từ (1.12) ta có:

x k 1  t   x k  t  

t

 P  τ  . x  τ   x  τ  dτ
k 1

k

t0
k 1

ξ  τ  
 ξ   τ  
ξ  τ  dτ
 k  1! 0
t0
t

(Do ξ 0  t   0 và đơn điệu tăng theo t  t 0 )
k 1



Chuyển (1.9) qua giới hạn ta có:
t

x  t   C0  lim   P  τ  x k 1  τ   q  τ   dτ
k 
t0


7
t

 C0    lim P  τ  x k 1  τ   q  τ   dτ
 k 

t
0

t

 C0    P  τ  x  t   q  τ   dτ ,

t  I.

t0

Vậy x(t) – nghiệm của (1.8) và do đó nó là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).
 Ta chứng minh bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm duy nhất.
Giả sử x(t), y(t) – nghiệm của (1.1), (1.2). Theo (1.8) ta có:
t


(1.1)



với P  Lloc I,R nn , q  Lloc I,R n .
Khi q  t   θ thì (1.1) thành:

dx
 P  t .x
dt
(1.15) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất của (1.1).
Ta biết tập các nghiệm của hệ (1.15) làm thành một không gian vectơ.

(1.15)


8

Hệ quả 1.1
Giả sử X(t) là một ma trận cơ bản (là một hệ nghiệm cơ bản) của hệ (1.15).
Khi đó mọi nghiệm x của hệ (1.15) đều có thể viết dưới dạng:

x  t   X  t  .C,

(1.16)

với C  R n và ngược lại, với mọi C  R n , vectơ x(t) cho bởi công thức (1.16) là
nghiệm của hệ (1.15).
Trong đại số tuyến tính ta định nghĩa: nếu z  R nn thì


t0

là ma trận cơ bản của hệ (1.15).
Chứng minh
Do (1.17) nên theo kết quả trong đại số tuyến tính ta có:
k

t

t

d
 P  s  ds   k.P  t   P  s  ds 

t

dt  t 0

0


k 1

và do đó tích phân 2 vế ta có:
k

t
t


1

X  t   lim E    P  s  ds  
m  

 
k 1 k!  t 0
 


hội tụ trên là hội tụ đều trên I (nên ta có thể chuyển qua dấu tích phân).
Ta có:
k

m
τ
 
1
E  P  τ  X  τ  dτ  E  P  τ . lim E    P  s  ds   dτ
m 

 
k 1 k!  t 0
t0
t0
 

t

t

t
 
k 1 k! t 0
0
 
 t0
k+1

t
m
t
 
1
 lim  E  P  τ  dτ  
 P  τ  dτ  
m 

 
k 1  k+1!  t 0
t0
 

k

t
m 1
t
 
1
 lim  E  P  s  ds    P  s  ds  

det  X  t    det  X  t 0   exp  tr  P  s   ds  .
t

0


(1.21)

Định nghĩa 1.1
Ma trận hàm C: I2  R nn gọi là ma trận Cauchy của hệ (1.15) nếu với mỗi
τ  I ma trận hàm C  , τ  : I  R nn là ma trận cơ bản của hệ (1.15) thỏa điều

kiện đầu:

C  τ, τ   E.

(1.22)

Định lý 1.4
Ma trận Cauchy của hệ (1.15) tồn tại và duy nhất. Hơn nữa nó có dạng:
C  t, τ   X  t  .X1  τ  .

(1.23)

Trong đó X(t) – ma trận cơ bản tùy ý của hệ (1.15).
Chứng minh
 Tồn tại là hiển nhiên.
 Ta chứng minh tính duy nhất:
Giả sử C  t, τ  – ma trận Cauchy của hệ (1.15).
Giả sử X0  t  – ma trận cơ bản tùy ý của hệ (1.15).


(1.26)

 x  t 0   E.C0

 C0  x  t 0  .

Vậy
x  t   C  t, t 0  .x  t 0 .

Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.6
Giả sử t 0  I và khắp nơi trên I thỏa:

t
 t

P  t  . P  s  ds    P  s  ds  .P  t .
t
 t

0
 0


(1.27)

Khi đó ma trận

t

Hệ quả 1.2
Nếu P  R nn thì ma trận Cauchy của hệ phương trình vi phân

dx
 P.x
dt

(1.29)

C  t, τ   exp  P  t  τ   .

(1.30)

có dạng:

1.2. Phương pháp biến thiên hằng số, cơng thức Cauchy
Xét bài toán Cauchy:



dx
 P  t  .x  q  t 
dt

(1.1)

x  t 0   C0

(1.2)


 P  t .X  t .y  t   X  t .y  t 

hay
dy  t 
 X 1  t  .q  t  .
dt

(1.33)

Vậy y(t) – nghiệm của hệ (1.33) thỏa điều kiện đầu:

y0  t 0   X 1  t 0 .x  t 0 

(1.34)

 X1  t 0  .C0 .

Lấy tích phân ta có:
t

y  t   X 1  t 0  .C 0  X 1  τ  .q  τ  .dτ.
t0

Thay vào (1.31) ta có:
x  t   X  t  .X

1

t




14

y  t 0   C0 .

(1.37)

Định nghĩa 1.2

Bài toán (1.1), (1.2) được gọi là xấp xỉ được nếu với mỗi ε  0 (đủ bé), ξ  0
(đủ lớn) đều tồn tại δ  0 sao cho:







Với mọi t0  I,C0  R n ,P  Lloc I,R nn ,q  Lloc I,R n



và thỏa các điều

kiện:

t 0  t0  
(1.38)


x  t   y  t    , t  I.

(1.41)

P  L  I,R nn  , q  L  I,R n 

(1.42)

Định lý 1.8

Nếu

thì bài toán (1.1), (1.2) là xấp xỉ được.
Chứng minh





Do (1.42) nên nghiệm x của bài tốn (1.1), (1.2) thuộc khơng gian C I,R n .
Đặt:

ρ0  x

C

 x

C



(1.45)

Xét bài toán (1.36), (1.37) với t0  I, C0  R n , P  Lloc  I,R nn  , q  Lloc  I, R n 
thỏa các điều kiện (1.38), (1.39), (1.40).
Giả sử y(t) là nghiệm của bài toán (1.36), (1.37) và

z  t   y  t   x  t .
Khi đó:

z  t   y  t   x  t 
 P  t  .y  t   q  t    P  t .x  t   q  t  
 P  t  . y  t   x  t     P  t   P  t  .x  t    q  t   q  t  .

(1.46)

Mặt khác theo (1.38) ta có:

z  t0   y  t0   x  t0 
 C0  C0  C0  x  t0 
 C0  C0  x  t0   x  t 0 

 δ  ω  δ .
Do

(1.47)


16


Lấy chuẩn 2 vế ta có:
t

t

  P  τ   P  τ  .x  τ .dτ

z  t   z  t 0   P  τ  .z  τ  .dτ 
t0

t0

t



  q  τ   q  τ   dτ

t0

t

 3δ  ω  δ   P  τ  .z  τ  .dτ 
t0

t

  P  τ   P  τ .x  τ .dτ , t  I .

(1.48)

t


P
s

P
s
.x
s
.ds

P
τ

P
τ
dτ
.x
t

P
τ

P
τ
dτ




0


t

Mặt khác do (1.39) ta có:
t

  P s   P s  .ds

t0

t



  P s   P s .ds



t0

t0

  P s   P s  .ds

 2δ.

t0


C



t  I.

Thay vào (1.48) ta có:
t

z  t    3  2ρ0  δ  ω  δ   P  τ  .z  τ  .dτ
t0

  3  20  δ  ω  δ  

t

 P  τ  . z  τ  .dτ .

t0

Áp dụng bổ đề 1.2 ta có:


z  t    3  20  δ  ω  δ   .exp 



t









Với mọi dãy t 0k  I, C0k  R n , Pk  Lloc I,R nn , q k  Lloc I,R n ,  k  1,
thỏa các điều kiện:

lim t 0k  t 0

k 

lim C0k  C0

k 

(1.49)