Đề cơng ôn tập học kỳ I môn toán
Phần đại số
CHủ đề 1: Căn thức rút gọn biểu thức
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa

0

A
2. Hằng đẳng thức:
AA
=
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA ..
=

)0;0(

BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=

)0;0(

B
A .
=

)0(
>
B
8. Trục căn thức ở mẫu:
BA
BAC
BA
C

=

)(
Bài tập:
Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32
+
x
2)
2
2
x
3)
3
4
+

+
2)
4532055
+
3)
18584322
+
4)
485274123
+
5)
277512
+
6)
16227182
+
7)
54452203
+
8)
222)22(
+
9)
15
1
15
1
+



2

16)
24362)2332(
2
++
17)
22
)32()21(
++
18)
22
)13()23(
+
19)
22
)25()35(
+
20)
)319)(319(
+
21)
)2()12(4
2
+
xxx
22)
57
57
57

1528
+
-
1528

5)
(
)
625
+
+
1528

6)
83
5
223
5
324324
+


++
Gii phng trỡnh:
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
1
1)
512
=
x

=
x
9)
64
2
=
x
10)
06)1(4
2
=
x
11)
21
3
=+
x
12)
223
3
=
x
II. các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:
+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.

1) Rỳt gn biu thc P.
2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1.
Bi 3: Cho biu thc A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha
2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A = (1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x
xx


+
4
52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
2
Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+


+


a


112
1
2
a
aa
a
aa
a
a

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K

4. Tìm gía trị lớn nhất của G
5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
2
1x
:
x1
1
1xx
x
1xx
2x










+
++
+

+
Với x 0 ; x 1

1
a22
1
2
2
a. Tìm a dể Q tồn tại
b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
x
x
xxyxy
x
yxy
x


+
+

1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
Bài 14:Xét biểu thức: P=

a
4a
a3
(Với a 0 ; a 16)
1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
----------------------------------
CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. hàm số:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng
ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
3
II. hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng:
baxy
+=
Trong đó a; b là các hệ số
0

a
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng:
baxy
+=
là hàm số bậc nhất là:
0


><
mm
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng b.
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
a
b

.
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
:
+ Cắt nhau: (d
1
) cắt (d

2
)
',
; bbaa
==
.
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 m) x + 2 (d
1
)
V y = 2 x m (d
2
)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
a/ (d
1
)//(d
2
)

{
1
2
1
2
23
=


) tại một điểm trên trục tung

22 == mm
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a.
+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác
atg
=

Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù (


0
180
)
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox
Giải:
Ta có:
.63632
00
===

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là:
.63
0
=

Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.
Ta có:

0

y
1
thì điểm M không
thuộc đồ thị.
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:
Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x
0
; y
0
) và điểm Q(x
1
; y
1
).
Ph ơng pháp: + Thay x
0
; y
0
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
0
= ax
0
+ b (1)
+ Thay x
1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y

ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực
tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
5
Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d
1
) : y = (m
2
-1) x + m
2
-5 ( Với m

1; m

-1 )
(d
2
) : y = x +1
(d
3
) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d
1
luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d
1
//d

2
-5 Với mọi m
=> m
2
(x
0
+1) -(x
0
+y
0
+5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x
0
+ 1 =0
x
0
+y
0
+5 = 0 suy ra : x
0
=-1
Y
0
= - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d
2
) và (d
3
)

)

ct nhau .
2) Vi m = 1 , v (d
1
) v (d
2
)

trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao im ca hai ng
thng (d
1
) v (d
2
)

bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng bin hay
nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch bin ? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0

v y = (2 - m)x + 4 ;
)2(

m
. Tỡm iu kin ca m hai ng
thng trờn:
a) Song song.

) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1
) v (d
2
) Tớnh chu vi v
din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 9: Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2

+ by
0
= c
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c. Nếu
0;0

ba
thì đờng thẳng (d) là đồ thị của
hàm số bậc nhất:
b
c
x
b
a
y
+=
.
Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
+ Dạng:



=+
=+
)2.(
)1.(
,,,
cybxa
cbyax

Thay
.(*)21 yx
+=
vào phơng trình (2) ta đợc:
.(**)32)21(3
=++
yy
+ Bớc 2: Thế phơng trình
(**)
vào phơng trình hai của hệ ta có:
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
7



=++
+=
32)21(3
21
yy
yx
b) Giải hệ :





=
=


yx
yy
yx
Vậy hệ phơng trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp cộng đại số :
a)Quy tắc cộng đại số :
+ Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để đợc một phơng trình mới.
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hai phơng trình của hệ (và giữ nguyên phơng trình
kia)
L u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để
đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)
bài tập:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.






=+
=+
538
24
yx
yx




yx
yx



2 3 5
5 4 1
x y
x y
+ =


=




3 7
2 0
x y
x y
=


+ =




Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số





=+
=
311110
7112
yx
yx






=
=+
72
33
yx
yx






yx





=+
=
564
1132
yx
yx




=
=+
32
123
yx
yx





=
=+
6156




=
=+
5
111
5
411
yx
yx










=



=

+

1

20510
152
yx
yx
c)



=
=+
432
3
yx
yx
d)



=+
=+
975
432
yx
yx
e)



=++
=+




=
=+
8
311
8
511
yx
yx
b)







=

+
=


01
2y
1
x
3

4
yxyx
yxyx
Bài 3 : Cho hệ phơng trình
( )



=
=+
7
53
yx
yxm
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
9
Bài 4 : Cho hệ phơng trình



=+
=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1

a)
558
=++
xx
b)
482
22
=++
xx

Phần hình học: hình học

I. hệ thức trong tam giác vuông:
Hệ thức giữa cạnh và đ ờng cao:
+
,2,2
.;. cacbab
==
+
222
cba
+=

+
,,2
.cbh
=
+
,,
cba

10
Hệ thức giữa cạnh và góc:
Tỷ số l ợng giác:
D
K
Cotg
K
D
Tg
H
K
Cos
H
D
Sin
====
;;;
Tính chất của tỷ số l ợng giác:
1/ Nếu
0
90
=+

Thì:


SinCos
CosSin
=
=

= cos

/sin

*tg

. cotg

=1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:

SinCacSinBab ..;.
==

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:

CosBacCosCab ..;.
==
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:

TgCbcTgBcb ..;.
==
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề:

CotgBbcCotgCcb ..;.
==
Bài Tập áp dụng:
Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Bit b = 4 cm, c = 3 cm. Gii tam giỏc ABC
Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b

0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 12: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, cú trung tuyn ng vi cnh huyn m
a
= 5, h = 4.
Gii tam giỏc ABC?
Bi13: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, trung tuyn ng vi cnh huyn m
a
= 5, mt gúc nhn bng 47
0
. Gii tam
giỏc ABC?
Bi14: Tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g
a
= 5.
Gii tam giỏc ABC?
Bi15: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g
a
= 5. Gúc C = 30
0
. Gii tam
giỏc ABC?
II. Đ ờng tròn:
.Sự xác định đ

ờng tròn:


⇔
D©y gÇn t©m h¬n.

VÞ trÝ t

¬ng ®èi cđa ®

êng th¼ng víi ®

êng trßn:

+ §êng th¼ng kh«ng c¾t ®êng trßn
⇔
Kh«ng cã ®iĨm chung
⇔
d > R (dlµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn ®êng
th¼ng; R lµ b¸n kÝnh cđa ®êng trßn)
+ §êng th¼ng c¾t ®êng trßn
⇔
Cã 1 ®iĨm chung
⇔
d < R.
+ §êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn
⇔
Cã 2 ®iĨm chung
⇔
d = R.

CN NB
AC BD
=
b/ MN
⊥
AB
c/ gãc COD = 90º
Bµi 5 : Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN
cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a)CMR: NE
⊥
AB
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA).
d/ Chứng minh : BM.BF = BF
2
– FN
2
S¸ch vë h«m nay cc sèng ngµy mai
12
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn
( M ≠ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax và
By tại C và D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 90
0
b) Chứng minh: AC.BD = R
2
c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R.
d) Tìm vò trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường tròn

1,2
=
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ..
3)Giải phơng trình: 2x
2
-2007x +2005= 0
(a=..;b=..;c=)
Ta có:a+b+c== 0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ; ..
??:Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình bày ngắn gọn chính xác.
4) Giải phơng trình: 2x
2
+7x -5= 0
(a=..;b=..;c=)
Ta có: =.=..>0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm . ; ..
5) Giải phơng trình: x
4
- 7x
2
+10 = 0(*)
Đặt x
2
= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
- 7y +10 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y

= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
+5y -6 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.=..>0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==..
Với y
1
=;. thoả mãn điều kiện của bài toán => y
1
=(loại)
y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
2
==>
x
=..<=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;..
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2x
2

d) x
2
- 4x + 4= 0
e) x
2
+ 3x - 1 = 0
f) x
2
- x +
22

= 0
Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ
1) x
4
- 5x
2
- 6 = 0
2) x
4
+ 7x
2
- 8 = 0
3) x
4
+ 9x
2
+ 2 = 0
4)
1

=
yy
9)
0224
22
=++
xx
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
15