§ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 20002001 - Pdf 71

(1)<div class='page_container' data-page=1>

§Ị thi häc sinh giái líp 9 năm học 2000-2001

Câu1: Cho hàm số y = mx2 +2(m-2)x- 3m + 2

CMR đồ thị của hàm số luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.

Câu2: Giả sử a,b,c,x,y,z là những số khác 0 thỏa m·n:

a b c

x y z  vµ 1

x y z

a b c  .

Chøng minh r»ng:

2 2 2

2 2 2 1

x y z

a b c

Câu3: Cho x > y và xy = 1. CMR:

2 2 2

y x x

  


 




 


Câu5: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm

M bất kỳ trên d và nằm ở miền ngồi đờng trịn (O) kẻ các đờng tiếp tuyến MP và MN(P và N
là các tiếp điểm)

a) CMR: khi M di động trên d thì đờng trịn ngoại tiếp MNP ln đi qua hai điểm cố định.

b) Tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp MNP khi M di động trên d.

c) Xác định vị trí của M MNP u.

Bài làm
Câu1:

Gi s th của hàm số y = mx2 +2(m-2)x- 3m + 2 luôn đi qua điểm M(x0;y0) với mọi giá 
trị của m mx02 + 2(m- 2)x0 – 3m + 2 = y0 với mọi giá trị của m

2 4

x
x

y

x x

x

x y x

y x

y

 

  



   

     

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2( )

x y z x y z xy xz yz x y z xyc xzb yza

a b c a b c ab ac bc a b c abc

   

            






 12 =

2 2 2

2 2 2 0

x y z

a b c  

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( )

8 ( ) 8( ) ( ) 8( ) 0

( )

x y

x y x y x y x y

x y



         



2 2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 0

x y x y x y x y

           

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

  

2 2

2 2 0

x y x y



      

 Luôn đúng

C©u5

a) Gọi H là hình chiếu của O lên đờng thẳng d.
Vì O và d cố định nên H cố định

Ta cã: ONM  900(gt)
OPM  900(gt)

 OPMN nội tiếp đờng tròn

Ta lại có: OHM OPM 900  OHPM nội tiếp đờng tròn

b) Đặt A = 2(x12 + x22)- 5x1x2.

CM: A = 8m2- 18m + 9

Câu2: a) Tìm nghiệm nguyên dơng của pt:

1 1 1
1

x yz 

b) Cho ba sè d¬ng a,b,c tháa m·n: a2 + b2 + c2 =

5 . CM:

1 1 1 1

. .

a b c  a b c

C©u3: Gi¶i hƯ pt:

2 2

7
12

Ta cã: ( 1 x 1)( 1 x1) 2 x 1 x 1  1 x 1  1 x12x 1 x 1

x 1 x 1 2x 1 x 1 0 x  1 x 1 2 1 x 1 0

 

             

 



1 1 2 1 2(*)

x

x x



 

    

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

(*) 1 x 2 1  x 1 1- x = 4 + 4x + 4 1 x + 1 4 1 x = - 4- 5x






 

 

   

 

     

  



         

   




2. x2- 2mx + 2m – 1 = 0 (1)

a) Ta cã: /= (-m)2- 1.(2m- 1) = m2- 2m + 1 = (m- 1)2

Vì (m- 1)2 0 với mọi m nên pt (1) lu«n cã nghiƯm x1, x2 víi mäi m.

Vì z nguyên dơng z = 2;3.

* NÕu z = 2 ta cã:

1 1 1
2

x y = 1

1 1

x y=

2  x,y > 2

V× xy
1 1

x y 

y 

1
2 

1 1 1
3

x y = 1

1 1

x y=

3  x,y>
3
2

V× xy
1 1

x y 

y 

2
3 

y  y3

0 1 0 1 0

. .

bc ac ab

bc ac ab ab ac bc

a b c  a b c  abc abc abc abc             

2 2 2

7 3 3

2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0

5 5 5

ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc

                  

2 3

( ) 0

xy x y

xy x y x y

II
xy

  





     

  

 

  

 

     



 

 



Vậy hệ pt đã cho cú nghim

1
3

x
y

hoặc 
3
1

x
y

Câu4:

SH = SK (1)

MỈt kh¸c AB = CD  AH = CK (2)
Tõ (1) vµ (2)  SA = SC

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2003-2004

Câu1: a) T×m xN biÕt:

1 1 1 2 2002

1 ... 1

3 6 10 x x( 1) 2004

     



b) T×m giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =

6 6 6

3 3 3 3 3 3

x y z

x y y z z x

Trong đó x,y,z là các số dơng thỏa mãn: xy xyyz yz zx zx 1

x xy y x y

    




 

Câu4: Giả sử x,y,z là các số nguyên không ©m tháa m·n diỊu kiƯn sau:

36
2 3 72

x by

x z

 




 

1 ... ...

3 6 10 x x( 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 x x( 1)

          

 

1 1 1 1 1

2 ...

1.2 2.3 3.4 4.5 x x( 1)

 

       

 


Ta l¹i cã:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 ; ; ; ;...;

1.2  2 2.3 2 3 3.4 3 4 4.5 4 5 x x( 1) x x1

         

  

 4008x4006x4006 2x4006 x2003
VËy víi x = 2003 th×

1 1 1 2 2002

1 ... 1

3 6 10 x x( 1) 2004

     



b) *Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số

3 3

x

x y vµ

3 3

3 3 4 2 3 3. 4

y y z y y z

y

y z y z

 

  

 

6 3 3 6 3 3

3 3 4 2 3 3. 4

z z x z z x

z

z x z x

3 3 3 3 3 3

x y z

x y  y z z x 

3 3 3

x y z

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Mặt khác:   

2 2 2

3 3 3 3 3 3 0

x y y z z x

   

     

   

 

 

x y y z z x 

1
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =

1
2

DÊu “ = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3

1
3

*C¸ch 2: Ta chøng minh B§T:



 2

2 2

1 2

1 2 1 2



2 2

1 2 1 2

1 2

. . ... n . ... n ...

n n

n
n

a a

a a a a

b b b b b b

n n

n

a

a a

a a a b b b

b b b

  

         

  



 







 2

   đpcm

áp dụng BĐT (*) ta cã:

6 6 6

3 3 3 3 3 3

x y z

x y y z z x 



 3 3 3 2

3 3 3

2( ) 2

x y z x y z

x y z

   



3 3

x y + y z3 3

+ z x3 3 ) x3 + y3 + z3 

3 3

x y + y z3 3

+ z x3 3
 x3 + y3 + z3 xy xy yz yz zx zx  1 (2)

Tõ (1) vµ (2) 

6 6 6

3 3 3 3 3 3

x y z

x y y z z x 

1
2

VËy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =

1
2

Câu3:a) Giải pt:

3
3
1 1
78( )
y y
y y
  

víi ®iỊu kiƯn y0.

Ta cã:

3 2 2

1 1 1 1 1 1 1

78( ) 1 78 79 0

y y y y y y y

       
                  
      

9 0( )

y I
y
y II
y
y III
y

 



    


  



(I) y  2 1 0_ v« nghiƯm
(II)  y2- 9y + 1 = 0 y =

9 77
2


(III)  y2 + 9y + 1 = 0 y =

    


  

(I)
Đặt
2 2

t x y (t0) ta cã hÖ:

2 3 3

( ) 185 185 2 250

( ) 65 65 65

t xy t t xyt t

t xy t t xyt t xyt

       
  
 
  
     
  
  

25 ( ) 2 25 ( ) 24 25

xy xy xy xy

x y x y xy x y

x y

      

  
   
       
 
   


2
12
12
7
12
7

( ) 49 12

7





 hc
4
3
x
y




 hc
4
3
x
y




 hc
3
4
x
y




b

Câu5:

a) ỏp dng nh lí pitago vào tam giác vng OAM ta có:
AM = OA2 OM2  2R2 R2 R

Ta cã: AM = AN(T/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
 OM = MA = AN = ON AMON lµ hình thoi
Mà OMA= 900 AMON là hình vuông.

b) Vỡ AMON là hình vng (câu a) nên hai đờng chéo OA và MN cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đờng A, H, O thẳng hàng.

c) Vì S là trung điểm của PQ OS PQ S thuộc đờng trịn đờng kính OA.

Vậy quỹ tích điểm S là đờng trịn đờng kính OA.

d) Ta cã: AP + AQ = AP + AS + SQ = AS + AP + PS = 2AS

Mà S thuộc đờng tròn đờng kính OA AS AO AP + AQ2AO (AP + AQ)max=2AO

Vậy khi đờng thẳng (m) đi qua O thì AP + AQ max

e) Ta cã: OH =

2 2 2 2

Câu1:(3,5đ) Giải các pt sau:

2 2

3 2 4 3 2

1 4 10 4 21

1 1 1 1

y y y

y y y y y y y y

 

  

       

3
3

1 1

yz
y z

zx
z x




 
















</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Câu5:(8đ) Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB và M là một điểm nằm trên nửa đờng trịn

đó. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đờng tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lợt

  

       

           

2 2

2 2 2 2

1 4 10 4 21

1 1 1 1 1 1 1

y y y

y y y y y y y y y

 

    

        

y y y y y y y

       

                 

      



2
2

1 1 1 1 1 1 1

2 81 0 81 0 9 9 0

y y y y y y y

  

y II

y

y III

y



 





    




  




(I) y  2 1 0_ v« nghiƯm
(II)  y2- 9y + 1 = 0 y =

9 77

x x x x

  

 

   

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

c) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của A cng l s nguyờn.

Câu2:(3đ)

a) Tìm nghiệm nguyên cña pt: (x+5)2 = 64(x-2)3
b) Sè 2100 có bao nhiêu chữ số.

Câu3:(4đ) Giải pt và bpt sau:

3 1 1 1

2 x 2 x

1 1 ( 1)

a)NP//AC

b) MA + MB = MC

Câu6:(3đ) Cho MNP có các đỉnh M, N, P lần lợt di động trên ba cạnh BC, AB, AC của 

nhọn ABC cho trớc. Xác định vị trí của M, N, P để chu vi MNP đạt giá trị nhỏ nhất.
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 nm hc 2006-2007

Câu1:(4đ) Trên hệ trục Oxy

a) Viết pt đờng thẳng đi qua A(-2; 3) và B(1; -3)

b) Đờng thẳng AB này cắt trục hoành tại C và trục tung tại D. Xác định tọa độ của C và D.
Tính SOCD

c) Tính khoảng cách CD

Câu2:(4đ) Giải hệ pt

4 1

2 2

20 3

1 :

1 1

x

x x x x

x

x x x x



    

 

  

    

 

 

a) Rót gän B

b) Víi x = ? th× B =

 




  


a. Gi¶i hƯ pt khi a = 2.

b. Với (x;y) là nghiệm của hệ pt đã cho, tỡm a x>y.

Câu2: (4đ) Cho biểu thức:

1 1 1 1

...

2 3 3 4 4 5 2007 2008

A     

   

a. Rót gän A.

b. H·y chøng tá giá trị của biểu thức A là số vô tỉ.

Cõu3: (4đ) Tìm tất cả các tam giac vng có độ dài các cạnh là số nguyên và có số đo din

Nhờ tải bản gốc

Tài liệu, ebook tham khảo khác

§ò thi häc sinh giái líp 9 n¨m häc 20002001 - Pdf 71

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Học thêm