<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CÂU 5 ROIRACHSG9HP318 QN</b>

<b>1QN.Mỗi ô vuông đơn vị của một bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dòng , 10 cột) được ghi một</b>
số nguyên dương không vượt quá 10. Hai số nào được ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô
chung một đỉnh của bảng là hai số trùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.

DAPAN

Trên hình vng con kích thước 2x2 có khơng q 1 số chia hết cho 2, có khơng q một số chia
hết cho 3.

- Lát kín bảng bởi 25 hình vng , kích thước 2x2 có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều
nhất 25 số chia hết cho 3. Do đó có ít nhất 50 số cịn lại khơng chia hết cho 2, cũng khơng chia
hết cho 3, vì vậy chúng phải là một trong các số 1; 5; 7.

Theo nguyên lý Đich-Le có một số xuất hiện ít nhất 17 lần .

<b>2QN. Trên mặt phẳng cho </b>2 2018 điểm, trong đó khơng có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng.
Người ta tô 2016 điểm bẳng màu đỏ và tô 2018 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh rằng:
bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2018
đoạn thẳng khơng có điểm nào chung.

Ta nhận thấy rằng luôn tồn tại cách nối 2018 cặp điểm với

nhau bằng 2018 đoạn thẳng và vì có 2018 cặp điểm nên số cách nối là hữu hạn. Và hiển nhiên là trong
hữu hạn cách nối đó ta ln tìm ra được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất. Ta
chứng minh cách nối đó là cách mà chúng ta cần tìm. Thật vậy: Giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng
AX và BY cắt nhau tại điểm O (giả sử A và B tơ màu đỏ, cịn X và Y tô màu xanh).

Giả sử kếtluậncủabàitốn là sai, tức là trongbađộibấtkỳ thì có haiđộiđã đấuvớinhaurồi.
Giả sử đội 1 đã gặpcácđội 2, 3, 4, 5. Xétcácbộ (1; 6; i) với i _{{7; 8; 9;…;12}, trongcácbộ}
nàyphải có ítnhấtmộtcặpđã đấuvớinhau, tuynhiên 1 khônggặp 6 hay i nên 6 gặp i vớimọi i
_{{7; 8; 9;…;12} , vơlý vì đội 6 nhưthế đã đấuhơn 4 trận. Vậy có đpcm.}

Kếtluậnkhơngđúng. Chia 12 độithành 2 nhóm, mỗinhóm 6 đội. Trongmỗinhómnày,
chotấtcả cácđộiđơimộtđã thiđấuvớinhau. Lúcnàyrõ ràngmỗiđộiđã đấu 5 trận.

Khixét 3 độibấtkỳ, phải có 2 độithuộccùngmộtnhóm, do đó 2 độinàyđã đấuvớinhau. Ta có
phản ví dụ.

<i><b>Có thể giảiquyếtđơngiảnhơnchocâu a. nhưsau:</b></i>

Do mỗiđộiđã đấu 4 trậnnêntồntạihaiđội A, B chưađấuvớinhau. Trongcácđộicịnlại,
vì A và B chỉ đấu 3 trậnvới họ nêntổngsố trậncủa A, B vớicácđộinàynhiềunhất là 6 và do
đó, tồntạiđội C trongsố cácđộicịnlạichưađấuvớicả A và B. Ta có A, B, C là bộ

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

O
2
<i>A</i>
1

<i>A</i>

<b>5QN. Bên trong đường trịn tâm O bán kính R = 1 có 8 điểm phân biệt. Chứng minh rằng; </b>
tồn tại ít nhất hai điểm trong số chúng mà khoảng cách giữa 2 điểm này nhỏ hơn 1.

Nhận xét: Ít nhất 7 điểm trong số 8 điểm đã cho là khác tâm O. Gọi các điểm đó là

 _hoặc<i>OA</i>2 <i>A A</i>1 2 hoặc <i>OA</i>1 <i>A A</i>1 2

. Mà <i>OA  hoặc </i>1 1 <i>OA </i>2 1 <i>A A </i>1 2 1

<b>6QN. Trên một hịn đảo có một lồi tắc kè sinh sống, chúng có ba màu: xanh, đỏ và tím. Tất cả</b>
có 2017 con màu xanh, 2018 con màu đỏ và 2019 con màu tím. Để lẩn chốn và săn mồi thì lồi
tắc kè này biến đổi màu như sau: Nếu hai con tắc kè khác màu gặp nhau thì chúng đồng thời đổi
màu sang màu thứ ba. Nếu hai con tắc kè cùng màu gặp nhau thì giữ ngun màu. Có khi nào tất
cả các con tắc kè trên trở thành cùng màu được khơng ? Vì sao ?

+ Nếu một con tắc kè xanh gặp một con tắc kè đỏ thì cả hai con tắc kè này chuyển thành màu
tím nên số tắc kè lúc này là: 2016 con xanh, 2017 con đỏ và 2021 con tím. Lúc này các số dư
của các số tắc kè chia cho 3 lần lượt là 0, 1, 2.

+ Nếu một con tắc kè xanh gặp một con tắc kè tím thì hai con tắc kè này chuyển thành màu đỏ
nên số tắc kè lúc này là: 2016 con xanh, 2020 con đỏ và 2018 con tím. Lúc này các số dư của
các số tắc kè chia cho 3 lần lượt là 0,1, 2 như vậy vẫn đầy đủ ba số dư đã có ban đầu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Mặt khác, tổng tất cả tắc kè trên đảo là 2017 + 2018 + 2019 = 6054 là một số chia hết cho 3.
Nếu tất cả tắc kè đều cùng một màu thì số dư của lượng tắc kè xanh, đỏ và tím chia cho 3 là 0,
0, 0. Điều này vơ lí nên khơng thể có trường hợp tất cả tắc kè trên đảo có cùng màu.

<b>7QN. Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều tìm được 2</b>
điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình trịn có bán kính bằng 1 chứa
khơng ít hơn 50 điểm.

Xét điểm A và hình trịn (C1) có tâm A, bán kính bằng 1.

C₂
C₁

lẫn nhau nếu họ cùng trên một hàng hoặc cùng trên một cột. Chứng minh rằng với mỗi cách đặt
bất kì ln tồn tại ít nhất 4 đấu thủ đôi một không tấn công lẫn nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ta điền các số như hình bên.

1 2 3 4 5 6 7

7 1 2 3 4 5 6

6 7 1 2 3 4 5

5 6 7 1 2 3 4

4 5 6 7 1 2 3

3 4 5 6 7 1 2

2 3 4 5 6 7 1

Xem mỗi lồng chim gồm các ô được điền cùng số. Như vậy ta có 7 lồng chim. Khi đặt 22
đấu thủ vào 7 lồng thì sẽ có một lồng chứa ít nhất 4 đấu thủ. nhớ rằng các đấu thủ trong
cùng một lồng đôi một không tấn công lẫn nhau. Đpcm.

<b>9QN. Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu</b>
xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó ln tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các
điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đơi một khác màu.

DAPAN

<i>Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác ln tạo thành một tam</i>

A

P
N

Q
M

Gọi ABCD là hình vng có cạnh bằng 8cm.

Giả sử 100 điểm được vẽ bên trong hình vng ABCD là A1, A2, …A100. Dựng 100
đường trịn có tâm Ai có cùng bán kính bằng 1cm, kí hiệu mỗi đường trịn là (Ai) (i =
1, 2, ..100).

Tổng diện tích của 100 đường trịn vừa vẽ là 100πcm2_.

Vẽ hình vng MNPQ có cùng tâm với hình vng ABCD (như hình vẽ), có MN //
AB và MN = 10cm.

Khi đó tất cả các đường tròn đã vẽ ở trên đều nằm bên trong hình vng MNPQ và
hình vng MNPQ có diện tích bằng S1 = 100cm2.

Do π> 3 nên S > 3S1, suy ra tồn tại điểm O là điểm trong của ít nhất 4 đường trịn
trong số các đường tròn (Ai). Giả sử 4 đường tròn này là (A1), (A2), (A3), (A4).

Khi đó 4 điểm A1, A2, A3, A4 sẽ nằm bên trong đường tròn tâm O bán kính bằng 1cm.

<b>11QN. Một học sinh có 12 quyển sách đơi một khác nhau, trong đó có 2 sách Toán, 4 </b>
sách Văn và 6 sách Anh văn. Có bao nhiêu cách sắp xếp lên kệ sách dài nếu các cuốn

5

Xếp 101 điểm vào 25 hình vng. Theo ngun lí Đrichlê tồn tại ít nhất 1 hình

vng chứa 5 điểm 0,25

Giả sử 5 điểm thuộc hình vng ABCD.
Gọi I là giao điểm của AC và BD



2 2

1 1 1 1 2 1

IA AC

2 2 5 5 10 7

   

  _{ } _{ }  

   

0,25

 ABCD nằm trong (I, IA) mà

1

2

<i>n n</i>

<i>A</i> 

2

2

1

2

132 0

( 1) 528 529

529 23

12 ( / )

11 (lo¹i)

   

    

<b>(1đ)</b>

+ Gäi tªn theo thø tù 9 chiếc bàn là B1,B2,B3, B4,B5,B6 B7,B8,B9. Giả sử

khụng cú bn nào đợc xếp cách đều hai bàn cùng màu với mình (*).

+ Khơng mất tổng qt, giả sử B5 là bàn màu xanh, khi đó B4 và B6

kh«ng thĨ cïng màu xanh. Có hai khả năng:

- B4 v B6 cựng màu đỏ. Do đó B4 cách đều B2 và B6, còn B6 cách đều

B4 và B8 nên B2 và B8 cùng màu xanh, suy ra B5 đợc xếp cách đều hai

bàn cùng màu xanh là B2 và B8, trái với giả thiết (*).

- B4 và B6 khác màu, không mất tổng quát, giả sử B4 màu xanh còn B6

mu . Do B4 cách đều B3 và B5 nên B3 là bàn màu đỏ. Do B6 cách

đều B3 và B9 nên B9 là bàn màu xanh. Do B5 cách đều B1 và B9 nên B1

màu đỏ. Do B2 cách đều B1 và B3 nên B2 màu xanh. Do B5 cách đều B2

và B8 nên B8 có màu đỏ. Do B6 và B8 cùng có màu đỏ nên B7 có màu

xanh. Nh vậy B đợc xếp cách đều hai bàn cùng màu xanh là B và B ,

0,25®

0.25

0.25

Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này:

<i>aac abc acc bac bbc bcc cac cbc ccc</i>, , , , , , , , .

Gọi <i>x x</i>1, , ,2  <i>x</i>9 là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng
<i>cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị). Khi đó</i>

mod16 16

<i>i</i> <i>j</i>

<i>x c x c</i>  _{không là ước của}<i>x c x ci</i>  <i>j</i> _{tức là}<i>xi</i> <i>xj</i>

không chia hết cho 8

Nhưng trong 9 số <i>x x</i>1, , ,2  <i>x</i>9 chỉ có ba số lẻ <i>ac bc cc</i>, , nên 8 số bất

kỳ trong 9 số <i>x x</i>1, , ,2  <i>x</i>9 ln có hai số có cùng số dư khi chia cho 8,
mâu thuẫn.

<i>Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn </i>
cũng khơng xảy ra

0.25

<b>16QN. Cho A làmộtsốngundương. Biếtrằngtrongbamệnhđềsauđây P, Q, R </b>

45
89

51 45 1974.

<i>A</i> <i>x</i>

<i>A</i> <i>y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x y x y</i>

<i>x y</i>
<i>x</i>
<i>x y</i>
<i>A</i> <i>A</i>
  
  
      
 

 _  
 

    
0.5 điểm

<b>18QN. Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong</b>
3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó ln tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3
đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đơi

mỗi đường trịn có đường kính
1

9 m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít
nhất bảy đường tròn.

DAPAN

(1,0

<b>Điểm)</b>

Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vng
thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng là 0,1m.

Vì đường kính của mỗi hình trịn lớn hơn 0,1m nên mỗi
đường trịn bị ít nhất một trong 9 đường thẳng vừa kẻ cắt.
Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt khơng q 6 đường trịn thì
số đường trịn khơng q 9.6=54 .

Vì có 55 đường trịn nên ít nhất phải có một đường thẳng cắt 7
đường trịn.

0,25

0,25

0,25
0,25

---