Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện - Pdf 72

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Câu 1. [1H3-3.1-1] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hai đường thẳng phân biệt a , b và mặt phẳng
 P

. Chọn khẳng định đúng?

A. Nếu a //  P và b thì a b P . B. Nếu a //  P và b P thì b .a
C. Nếu a  P và b thì a b //  P . D. Nếu a //  P và b //  P thì // b a .

Lời giải

Tác giả: Hồ Ngọc Hưng; Fb: Ho Ngoc Hung
Chọn B

Theo lí thuyết, ta có nếu a //  P và b P thì b .a

Đáp án A sai do chưa đủ cơ sở khẳng định b P . (b có thể song song  P hoặc thuộc  P
hoặc cắt  P một góc khác 90)

Đáp án C sai do b có thể nằm trên  P .

Đáp án D sai do chưa đủ cơ sở khẳng định // b a . (b có thể cắt a hoặc a và b chéo nhau)
Câu 2. [1H3-3.1-1] (GIỮA HK2 LỚP 11 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2018-2019) Tập hợp các

điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

B. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng ABC.
C. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cuả tam giác ABC và vng góc với mặt
phẳng ABC.

D. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vng góc với mặt

D. trung điểm của đoạn thẳng AB

Câu 5. [1H3-3.1-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Trong không gian cho điểm O và đường thẳng
d . Qua O có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với d ?

A. Ba. B.Hai. C.Một. D.Vô số.

Lời giải

Tác giả:Đặng Thanh Quang ; Fb: Quang Đăng Thanh

Chọn C

Theo tính chất đường thẳng vng góc mặt phẳng: Qua O duy nhất chỉ có một mặt phẳng
vng góc d .

Câu 6. [1H3-3.1-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hai đường thẳng a b, phân biệt và mặt
phẳng  P . Mệnh đề nào sau đây đúng :

A. Nếu a// P và b thì a b P . B. Nếu a P và b thì a b// P .

C. Nếu a// P và b P thì b .a D. Nếu a// P và b// P thì //b a .
Lời giải

Tác giả:Nguyen Thanh Nha; Fb: Thanh Nha Nguyen

Chọn C

Theo tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc ta chọn C.

Bài tập tương tự :

Câu 8. Cho tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm mệnh đề sai.
A. Góc giữa mặt thẳng ACD và mặt phẳng BCD là góc DGC .

B. AB CD .

C. AGBD.

D. MB MC MD    3MG với M là điểm tuỳ ý trong không gian.

Câu 9. Cho tứ diện ABCD đều. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm mệnh đề đúng?

A. ABC  BCD . B. AC AG.

C. BDGI với I là trung điểm AD . D. BC BD  3BG.

Ghi nhớ: Tứ diện ABCD đều có một số tính chất sau:

+) Tất cả các cạnh đều bằng nhau.

+) Các cặp cạnh đối diện vng góc với nhau: ABCD, ACBD,ADBC.

+) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD ta có AGBCD.

+)G là trọng tâm tam giác BCD ta có GB GC GD    0

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Câu 10. [1H3-3.1-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình chóp .S ABC với ABC khơng là tam giác cân.
Góc giữa các đường thẳng SA SB SC và mặt phẳng , , ABC bằng nhau. Hình chiếu vng

SA ABC SAH

SB ABC SBH

SC ABC SCH



Từ giả thiết suy ra SAH SBH SCH  SAH SBH SCH  HA HB HC  
Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC .

Câu 11. [1H3-3.2-1] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC
vuông tại B và SA vng góc với mặt phẳng ABC. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. BCSA. B. BCSAB. C. BC SB. D. BC SAC.
Lời giải

Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Xét mệnh đề A. Do SAABC chứa BC nên BCSA. Vậy mệnh đề A. đúng.

Xét mệnh đề B. Do  

Để chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P ta chứng minh d vng góc với
hai đường thẳng cắt nhau nằm trong  P .

Câu 12. [1H3-3.2-2] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho tứ diện ABCD có AB AC , DB DC . Khẳng định
nào sau đây là đúng?

A. BCAD. B. CDABD. C. ABBC. D. ABABC.
Lời giải

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Gọi E là trung điểm BC , ta có: AB AC nên ABC cân đỉnh A do đó: BCAE  1 .

Mặt khác: DB DC nên DBC cân đỉnh D do đó: BCDE  2 .

Từ  1 và  2 suy ra: BCADE  BCAD.

Câu 13. [1H3-3.2-2] (THTT lần5) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác không vuông và
SA vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi H là hình chiếu vng góc của S trên BC . Mệnh đề

nào sau đây đúng?

A. BCSC. B. BCAH. C. BCAB. D. BC AC.
Lời giải

Tác giả: Lê Văn Kỳ, FB: Lê Văn Kỳ
Chọn B

Ta có:  







  ABSCI  ABSC.

Câu 15. [1H3-3.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho hình chóp .S ABC có SA vng góc với mặt
phẳng đáy, AB a và SB2a. Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng đáy bằng

A. 60 . B. 30 . C. 90 . D. 45 .

Lời giải
Chọn A

Góc giữa SB và đáy là góc SBA .


cos SBA =

1
2
AB

SB   SBA60 .

Câu 16. [1H3-3.2-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam giác
vng cân tại A, BC2a và hình chiếu vng góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với

BC AM 

và

2
1

.
2

ABC

S  AM BC a
.

Ta có: A M ABC góc giữa AA và mặt phẳng ABC là A AM 60
.tan 60 3

A M AM a

    .

Vậy: V A M S . ABC  3a3.

Câu 17. [1H3-3.2-2] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình
vng, SAABCD. Gọi F là trung điểm của SC . Góc giữa đường thẳng BF và đường
thẳng AC có số đo bằng

A. 45 . B. 90 . C. 60 . D. 30 .

  

 

2 BC BA AS
    

ACAB BC

  

   

1

                                

Do đó, BF AC.

Cách 2:

Gọi O là tâm của hình vng ABCD , do FO SA và // SAABCD nên FOABCD suy
ra FOAC, mặt khác ACBD nên ACFOB BF AC. Vậy góc giữa BF và AC

bằng 90 .

Câu 18. [1H3-3.2-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình
thang vng tại A và D. AB=AD=a, CD=2a, SD vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Có bao nhiêu mặt bên của hình chóp .S ABCD là tam giác vng

A. 1. B. 3 . C. 2. D. 4.

Lời giải

Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng

Chọn D

Ta có SD^(ABCD)Þ SD^AD SD, ^CD nên các mặt bên SAD, SCD là các tam giác
vuông tại D.

Ta có SD^(ABCD)Þ SD^AB, ABCD là hình thang vng tại A nên AD^AB

Ký hiệu các điểm như hình vẽ.

+) Ta có:  

OA OB

OA OBC

OA OC

 

 



 

+) Ta lại có:

BC OH

BC AH

BC OA

 

 

3 . D.

13
5 .
Lời giải

Tác giả: Công Phương; Fb: Nguyễn Công Phương
Chọn A

Gọi H là trung điểm của SB thì AH SB.

Do SAB  ABCD, SAB  ABCDAB và BCAB nên BC SAB  BCAH

 

AH SBC

   AH d A SBC , 
.

Gọi  là góc giữa đường thẳng DM và mặt phẳng SBC.

 

 ,   , 

sin d D SBC d A SBC AH

DM DM DM

   

Câu 21. [1H3-3.3-1] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều
cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

A. 30. B. 60. C. 45. D. 90.

Lời giải

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Gọi O trọng tâm của tam giác đều ABC. Do S ABC. là hình chóp tam giác đều nên

 

SO ABC .

 

SO ABC  CO là hình chiếu của SC trên ABC  

 

, , .

SC ABC SC OC

   

2 2. 3 3

3 3 2 3

a a

CO CM  

Từ đó suy ra

 

tan 3 60

3
3
SO a
SCO SCO
OC a

    
 


, 60 .

SC ABC

CD SA CD SAD

AD SA A




  

  

, tức là D là hình chiếu vng góc của C lên SAD (2)

Từ (1), (2) suy ra SD là hình chiếu vng góc của SC lên SAD.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 23. [1H3-3.3-1] (SỞ LÀO CAI 2019) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành
tâm O . Hai mặt phẳng SAC, SBD cùng vng góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và

mặt phẳng ABCD là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây?

A. SB SO, . B. SB BD, . C. SB SA, . D. SO BD, .

Lời giải

Tác giả: Trần Như Tú; Fb: Tú Tran.
Chọn B

Ta có SAC , SBD cùng vng góc với ABCD và SAC  SBD SO.

Suy ra SO ABCD. Do đó BO là hình chiếu vng góc của BS trên mặt phẳng ABCD .

SD ABCD;  SD OD ;  SDO

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Câu 25. [1H3-3.3-2] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho hình chóp đều .S ABCD có

SA a , AB a . Gọi , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của , ,SA SB SC SD . Tính cosin,

của góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng MQP.

A. 
2

2 . B.

2 . C.

2 . D.

15
6 .
Lời giải

Tác giả: Đỗ Phúc Thịnh; Fb: Đỗ Phúc Thịnh
Chọn A

3 2

2 4

SO

NH   a

;

3 3 3 2

. 2

4 4 4

DH  BD a  a

Ta suy ra tam giác NDH vuông cân tại H nên góc NDH 450.

Vậy

 2

cos

NDH 

Tam giác SHB có

2
1
2

sin 30

2
2
a
BH

SB a

a = = = Þ a = °

Câu 27. [1H3-3.3-2] (Nguyễn Khuyến) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

B, BC a 3,AC2a . Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA a 3. Góc giữa
đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .

Lời giải

Tác giả:Trần Thanh Hà ; Fb: Hà Trần

AB AC BC a a a a

Suy ra:

tan 3  60

SA a   

AB a .

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng 60 .

Câu 28. [1H3-3.3-2] (SỞ BÌNH THUẬN 2019) Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vng
cạnh a , SAABCD và SA a 6. Gọi  là góc giữa SC và SAB. Giá trị tan bằng

A. 
5

5 . B.

7 . C.

2
7
tan tan

7
6

BC BC a

BSC

SB SA AB a a

     

 

Câu 29. [1H3-3.3-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh
đáy bằng a , cạnh bên bằng a 2. Độ lớn góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng

A. 45. B. 75. C. 30. D. 60.

Lời giải

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì hình chóp .S ABCD là hình chóp đều nên SOABCD suy ra AO là hình chiếu của AS

AO
SAO

SA

  

60
SAO

  .

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 60.

Câu 30. [1H3-3.3-2] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáy là tam
giác đều cạnh a, BB a 6. Hình chiếu vng góc H của A trên mặt phẳng A B C   trùng
với trọng tâm của tam giác A B C   (tham khảo hình vẽ). Cơsin của góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng

A. 
15

15 . B.

6 . C.

cos .

3 6

6 6

a
A H

AA a

 

    

 .

Vậy cơsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
2
6 .

Câu 31. [1H3-3.3-2] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tứ diện OABC có OA OB OC 
và đơi một vng góc. Tan của góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ABC bằng

A. 2 . B. 2 . C. 1. D.

2a 2

OA OB OM a

OA OBC OA OM OAM

OA OC OA

 

       



  .

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Câu 32. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SAABCD và SA a 6.
Gọi  là góc giữa SC và SAB,  là góc giữa AC và SBC. Giá trị tansin bằng?

A.

1 7

7


. B.

1 19
7

3 . D.

2
3 .
Ghi nhớ:

Nếu đường thẳng a khơng vng góc với  P thì góc giữa đường thẳng a và  P là góc giữa
a và hình chiếu a của a trên  P .

P a'

a

Câu 34. [1H3-3.3-2] (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh
bên bằng 2a . Cơsin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng

A. 
1

2 B.

2
.

2 C.

14
.

SA a

  

Câu 35. [1H3-3.3-2] ( Sở Phú Thọ) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     . Góc giữa đường thẳng

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

A. 60 . B. 90 . C. 30 . D . 45 .
Lời giải

Tácgiả:Lê Thị Anh; Fb:Lan Anh Le 
Chọn D

Ta có BB ABCD  B là hình chiếu vng góc của B trên mặt phẳng  ABCD.

Suy ra hình chiếu của AB trên mặt phẳng ABCD là AB.

 

AB, ABCD  AB AB,  B AB 45

    

Câu 36. [1H3-3.3-2] (Chun-Thái-Ngun-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình chóp .S ABCD
có đáy ABCD là hình vng cạnh a . Tam giác SAB cân tại S có SA SB 2a nằm trong

mặt phẳng vng góc với đáy ABCD . Gọi  là góc giữa SD và mặt phẳng đáy ABCD .
Mệnh đề nào sau đây đúng?

SH ABCD

 

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Suy ra: HD là hình chiếu của SD trên mặt phẳng ABCD .

 

·SD ABCD;  SDH· 

   .

Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông SAH và ADH , ta có:

2 2 4 2 15

4 2

a a

SH SA  AH  a  

2 2 2 5

4 2

A là hình chiếu của chính nó lên mặt phẳng ABCD .

Suy ra: ABlà hình chiếu của AB'lên mặt phẳng ABCD .

Do đó góc giữa đường thẳng AB'và mặt phẳng ABCD là BAB' 45 .

Câu 38. [1H3-3.3-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chun KHTN lần2) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là
hình vng cạnh a, SA a 2 và vng góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên SC với
mặt phẳng đáy bằng

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Lờigiải

Tácgiả: DươngChiến;Fb: DuongChien
Giáo viên phản biện:Nguyễn Lệ Hoài;Fb:Hoài Lệ
Chọn A

DoSAABCD hình chiếu vng góc của SC lên ABCD là AC

 

SC ABCD,  SC AC,  SCA .

  

Ta có SA AC a  2 SAC vuông cân tạiA SC ABCD,  SCA 450.

Câu 39. [1H3-3.3-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Cho tứ diện ABCD có AB vng

góc với mặt phẳng (BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C và )

AB BCD

EH BCD

AB EH





 




  EH HD và góc giữa hai đường thẳng AB và DE

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Lại có
CD BC
CD AC
CD AB


 


 .

Xét tam giác ECD vuông tại C , ED EC2CD2

Câu 40. [1H3-3.3-2] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a, cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA2a, gọi M là trung điểm của SC.
Tính cơsin của góc  là góc giữa đường thẳng BM và (ABC).

A. 
7
cos .
14
 
B. 
2 7
cos .
7
 
C. 
21
cos .
7
 
D. 
5
cos .
7
 
Lời giải

Tác giả: Bùi Thu Hương ; Fb:Cucai Đuong 
Chọn C

Trong SAC kẻ MN/ /SA MN, AC N suy ra MN ABC tại N.

S ABCD có đáy là hình vng cạnh a và SAABCD
,

6
3
a
SA 

. Gọi  là góc tạo bởi

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

A. 3 . B. 
1

3. C.

3 . D. 3.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Nghĩa ; Fb: Nghĩa Văn Nguyễn 
Chọn C

+ Vì SAABCD nên AC là hình chiếu vng góc của SC lên mặt phẳng ABCD

+ Nên  goc SC AC ;  SCA

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Ta có:

 

( )
( )
A B B C gt

A B BCC B
A B B B gt

   


   

 



  

 suy ra B B là hình chiếu vng góc của A B' lên mặt

phẳng BCC B  . Khi đó  A B BCC B ;   A BB .

Xét A BB  vuông tại B, có

 3

Tác giả:Trần Xuân Trường; Fb: toanthaytruong 
Chọn B.

Gọi H là trung điểm của cạnh BC SH (ABC) AH là hình chiếu của SA lên mặt phẳng
(ABC)

suy ra góc giữaSA và mặt phẳng (ABC) là góc SAH .

2 2

BC a

AH  

(Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyển)
2

2 2 2 3

2 2

a a

SH  SB  BH  a    

  .

Tam giác SAH vng tại H do đó

 

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Tác giả: Nguyễn Mạnh Dũng; Fb: Mạnh Dũng 
Chọn D

Gọi I là trung điểm của A C' . Ta có: ACC A ABC D là các hình chữ nhật.' '; ' '

Nên AC A C BD cắt nhau tại I '; ' ; '  A C' ABC D' '  .I

Gọi O là tâm của hình vng ADD A' '  A O' AD'.  1

Lại có: ABADD A' '  A O' AB.  2

Từ  1 và  2 ta có A O' ABC D' '.

 

A C ABC D' ; ' '  A IO'

 

Gọi cạnh hình lập phương là a .

Tam giác A IO' vng tại O có: A'O
2
2

a

;

Câu 45. [1H3-3.3-2] (Sở Quảng Ninh Lần1) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnh
đều bằng a. Gọi M là điểm nằm trên đoạn SD sao cho SM 2MD. Giá trị tan của góc giữa
đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD là:)

A. 
3

3 B.

1
.

5 C.

5
.

5 D.

1
.
3

Lời giải

Tác giả: Trần Thị Thảo ; Fb: Trần Thảo

;

5 5 2

6 6

a
BI  BD

Xét MBI vng tại I ta có:

· 1

tan

5
MI
MBI

BI

 

Vậy giá trị tan của góc giữa BM và mặt phẳng (ABCD là )
1
5 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An 
Chọn A

Gọi H là trung điểm của cạnh BC .

Ta có AH BC, AH BB  AH BCC B  suy ra AB có hình chiếu trên BCC B  là
HB. Vậy AB BCC B,   AB HB,  AB H

Ta có AH  3, AB AB2BB2  222 6

 3 1

sin

6 2

AH
AB H

AB


   

 AB H 45o



   

  AB C 30o.

Câu 49. [1H3-3.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho hình chóp
.

S ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a , ABC 60 , SA a 3 và SAABCD. Tính góc
giữa SA và mp SBD  .

A. 60 . B. 90 . C. 30 . D. 45 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai 
Chọn C

Ta có  

 

 



 

BD AC

Câu 50. [1H3-3.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) (THPT QUỐC
GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng
góc với mặt phẳng đáy và SA 2a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng

A. 45 . B. 60 . C. 30 . D. 90 .

Lời giải
Chọn A

Do SAABCD nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng góc SCA.

Ta có SA 2a, AC 2a


tan

 SCASA

AC 1 SCA 45.

Vậy góc giữa đường thẳng SC và và mặt phẳng đáy bằng bằng 45 .

Câu 51. [1H3-3.3-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) (Tham khảo 2018)
Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm của SD

(tham khảo hình vẽ bên). Tan của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD bằng

A. 
2

1 2

2 4

 a

MH SO

Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD là ) MBH.

Khi đó ta có


2
1
4
tan

3
3 2

  

a
MH

2 2

BA BC a a a
BH

AC a

2 2 3

  

SB SA AB a

 1

sin

2
BH 
BSH

SB  BSH 30.

Câu 53. [1H3-3.3-2] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a. Điểm M

thuộc tia DD thỏa măn DM a 6. Góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ABCD là

A. 30 B. 45 . C. 75 D. 60 .

Lời giải

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

Câu 54. [1H3-3.3-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hình chóp tam giác .S ABC có mặt phẳng
đáy là tam giác vuông tại A và SA vuông góc với đáy, biết AB a SA AC a ,   2. Góc giữa

đường thẳng SA với mặt phẳng SBC bằng

A. 30 . B. 90. C. 45. D. 60.

Lời giải

Tác giả: Đinh Minh Thắng ; Fb: Win Đinh 
Chọn A

Ta có SABC vì SAABC.

Kẻ AH BC H BC, khi đó ta có SAH BC
SAH SBC

 

và SAH  SBC SH
SH

 là hình chiếu của SA lên SBC.

Do đó SA SBC,  SA SH,  ASH  .
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có

2 2

2
1
3
tan

2 3

a
AH

SA a

   

30
   .

Câu 55. [1H3-3.3-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hình lăng
trụ đều ABC A B C.    có tất cả các cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm AB và  là góc tạo bởi

đường thẳng MC và mặt phẳng ABC. Khi đó tan bằng

A. 
2 7

7 . B.

CM a

     

 

 

  .

Câu 56. [1H3-3.3-3] (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho hình chóp S ABCD. có SA vng góc với mặt
phẳng đáy, ABCD là hình chữ nhật có AD3 , a AC5a, góc giữa hai mặt phẳng SCD và

ABCD

bằng 45 . Khi đó cơsin của góc giữa đường thẳng 0 SD và mặt phẳng SBC bằng

A. 
7

5 . B.

5 . C.

2 2

5 . D.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

      

0
12

, , 5 2 2

sin

.tan 45 3 2 5
a

d D SBC d A SBC

DH AE

DSH

SD SD SD AD a

     

 2  17

cos 1 sin

Chọn D
   
   
   
 
SAB ABCD

SAC ABCD SA ABCD

SAB SAC SA




  


 
 .
 
   
AB AD
AB SAD

AB SA SA ABCD




 

giác đều, biết hai mặt bên đối diện tạo với nhau góc 60, tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của
hình chóp.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Lời giải

Tác giả: Lê Vũ; Fb: Lê Vũ 
Chọn C

Gọi  là đường thẳng đi qua điểm S và song song AD và BC  SAD  SBC .
Gọi H và K lần lượt là trung điểm cạnh BC và AD .

Do SBC và SAD cân đỉnh S nên:

   

 ,   ,  60

SH BC SH

SBC SAD SH SK

SK AD SK

   

   



     .

2 . C.

4 . D.

7
4 .
Lời giải

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Ta có SAB  ABCD ; SAB  ABCD AB ; SH AB(vì tam giác SAB đều) nên

 

SH  ABCD
.

Vì HK // BD nên HK AC .

Lại có SH ABCD  SHK  ABCD và SHK  ABCD HK nên ACSHK.

Vậy hình chiếu của A trên SHK là I  SA SHK;  ASI.

Tam giác SAI vng tại I(vì AI SHK và SA a ;

2
4
a
AI 

. B.

2
sin

5
 

. C.

2
sin

2
 

. D.

1
sin

2
 

.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Mai. Facebook: Mai Nguyen
Chọn B

20 . B.

5 . C.

3 15

20 . D.

15
10 .

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Văn Mến; Fb: Nguyễn Văn Mến 
Chọn D

Vì hai mặt phẳng SBG và SCG cùng vng góc với

mặt phẳng ABC nên SG ABC do đó góc giữa SA

tạo với đáy ABC là góc ·SAG nên ·SAG 300.

Gọi D sao cho ABCD là hình bình hành do ABC vng
cân tại B nên ABCD là hình vng. Khi đó góc giữa SA
và BC là góc giữa SA và AD .

Giả sử hình vng ABCD có cạnh bằng a. Vì G là

a

SG AG 

và
0
2 15
9
cos 30
AG a

SA  

. Tam giác SGD vng tại G ta có

2 2 2 29 2
27

SD SG GD  a

. Tam

giác SAD có

· 2 2 2 15

cos

2 . 10

phẳng SAC bằng

A. 
1

3 . B.

3 . C.

3 . D.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Lời giải

Tác giả: Mai Vĩnh Phú ; Fb: Mai Vĩnh Phú
Chọn B

Ta xét hình chóp S ABCD. trong hệ tọa độ Oxyz sao cho

Gốc toạ độ tại A O . Các tia Ox Oy Oz lần lượt trùng với các tia , , AB, AD, AS và cho a 1

ta có tọa độ điểm là A0;0;0, D0; 2;0 , B 2 ;0;0, S0;0; 2 , C 2 ;2;0,

2 2

;0;

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

   
, 2 2 ; 2;0 2 2 ; 1;0

 

               SA SC    
.

Khi đó đường thẳng MN có véc-tơ chỉ phương là 1; 2 ;1


u

Và mặt phẳng SAC có véc-tơ pháp tuyến là n  2 ; 1;0 


Khi đó góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định bởi công thức

 

    . 2 2 0 6

sin , cos ,

3
1 2 1. 2 1 0
.

Câu 63. [1H3-3.3-3] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho hình chóp S ABCD. có
đáy ABCD là hình chữ nhật AB a BC , 2 ,a SA a và SA vng góc với mặt phẳng đáy. Cơ
sin của góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng

A.
2

5 B.

21
.

5 C.

3
.

2 D.

1
.
2

Lời giải

Chọn B

phẳng   có đường thẳng d di động qua điểm A cố định. Gọi H M, lần lượt là hình chiếu

của O trên mặt phẳng   và đường thẳng d . Độ dài đoạn OM lớn nhất khi

A.Đường thẳng d trùng với HA B.Đường thẳng d tạo với HAmột góc 450

C.Đường thẳng d tạo với HAmột góc
0

60 D. Đường thẳng d vng góc với HA

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Hường;Fb: Huong Nguyen

Chọn D

M là hình chiếu của O

trên d . Suy ra OM MA

Xét tam giácOMAvuông tại M . Ta có OM OA

Suy ra OM lớn nhất khi và chỉ khi OM OA A M  OAd 1

Mặt khác OH    OH d 2

Từ    1 , 2  d HA.

Câu 65. [1H3-3.3-4] (THPT LƯƠNG THẾ VINH 2019LẦN 3) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Gọi I là trung điểm của BC , H là hình chiếu của S xuống BC . Gọi M N lần lượt là hình ,

chiếu của H lên các cạnh AB AC .,

Vì tam giác ABC cân tại A nên AI BC 1 , mặt khác AI SH (vì SH ABC  2 .

Từ  1 và  2 suy ra AI SBC hay hình chiếu của A xuống SBC chính là I .

Hình chiếu của tam giác SAB lên mặt phẳng SBC chính là tam giác SBI . Theo giả thiết góc 
giữa SAB và SBC bằng 60 nên:

1 1 1 1

.cos 60 . . .

2 2 2 2 2

SBI SAB

BC SH AB

S S SH SM AB

SM BC

        

 2 

      

 1 

sin 30 . 3

2 tan 30

SH

SNH SNH HN SH

       

 .

Tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên HA HM2HN2  SH23SH2 2SH.

Góc giữa SA với mặt đáy chính là SAH . Xét tam giác vuông SHA ,

 1

tan

2S 2

SH SH

. B. sin
1
4
 

. C. sin

1
2
 

. D. sin

2
2
 

.
Lời giải

Tác giả: Mai Tiến Linh ; Fb: Mai Tiến Linh 
Chọn D

Cách 1:

● Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC . Dựng đường thẳng d qua O và d SB// , d cắt SD

tại K. Khi đó góc giữa SB và SCDchính là góc giữa OK và SCD.
● Vì SO(ABCD) SO CD .

3
3
a
OC
,
6
3
a
SO 2
3
 OH a

Vì

2
//

3
 OK DO 

OK SB

SB DB

2 2

3 3

3 3 3

a a  a

OC SO OH

Khi đó

3 3 3

( , ( )) ( , ( )) a 2 a

2 2

   

d B SCD d O SCD OH

Vậy

. Gọi  là góc tạo bởi SA và mặt phẳng ABC, tính
tan .

A. 
3

3 B.

2 C.

2 D. 3

Lời giải

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Gọi I là trung điểm của BC , H là hình chiếu của S xuống BC . Gọi M N, lần lượt là hình

chiếu của H lên các cạnh AB AC, .

Vì tam giác ABC cân tại A nên AI BC 1 , mặt khác AI SH (vì SH ABC  2 .

Từ  1 và  2 suy ra AI SBC hay hình chiếu của A xuống SBC chính là I .

Hình chiếu của tam giác SAB lên mặt phẳng SBC chính là tam giác SBI . Theo giả thiết góc 
giữa SAB và SBC bằng 60 nên:

1 1 1 1

1 1 2 1

.cos . . .

2 2 2 4 2

SCI AC

BC SH

S S SH SN AC

SN


      

 1 

sin 30 . 3

2 tan 30

SH

SNH SNH HN SH

2
 

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Câu 68. [1H3-3.3-4] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hình
hộp ABCD A B C D.     có , , M N P lần lượt là trung điểm của các cạnh A B  , A D , C D  . Góc

giữa đường thẳng CP và mặt phẳng DMN bằng

A. 60. B. 30. C. 0 . D. 45.

Lời giải

Tác giả:Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm 
Chọn C

Xét tam giác A B D   có:

M là trung điểm của A B  và N là trung điểm của A D 

nên MN là đường trung bình của tam giác A B D  

Suy ra MN // B D  , mà B D  // BD nên MN // BD M N B D, , , đồng phẳng.

Ta có

//=

//=
//=




 





 .

Do đó CP MND ,  0.

Câu 69. [1H3-3.4-3] (Chuyên KHTN) Cho hình lăng trụ đều ABC A B C. ' ' ' có cạnh đáy bằng a, cạnh
bên a 2. Gọi M là trung điểm AB. Tính diện tích thiết diện cắt bởi lăng trụ đã cho bởi mặt

phẳng A C M' ' .

A.

2
7 2

16 a . B.

2
3 35

16 a . C.

Lại có

2 2 3

' ' '

C N A M  A A AM  a

nên đường

cao của hình thang cân NMA C là ' '

2 ' ' 35

2 4

A C MN

h A M      a

 

Do đó diện tích thiết diện là  

2 15

a

. C.

2 15

a

. D.

2 5

a

Lời giải
Chọn A

Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Dung; Fb: Dung Nguyễn

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Ta có

BD AC




 





 .

Suy ra

1
.
2
BDE

S  BD OE

Mặt khác BD a 2( đường chéo hình vng cạnh a) nên SC a 5(định lý Pitago trong
tam giác SAC).

Ta có OECSAC g g(  ) nên

2
3.

Câu 71. [1H3-3.9-1] (Văn Giang Hưng Yên) Cho hình chóp S ABCD. có SA vng góc với đáy. Góc
giữa SC và mặt phẳng đáy ABCD là

A. SCA . B. SAC . C. SDA . D. SBA.

Lời giải

Tác giả: Lê Xuân Đức; Fb: Lê Xuân Đức
Chọn A.

Vì hình chiếu của SC lên mặt phẳng đáy ABCD là AC nên góc giữa SC và mặt phẳng đáy
ABCD

là góc SCA .

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

A. 90 . B. 30 . C. 60 . D. 45 .
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Huyền; Fb: Huyen Nguyen
Chọn D

+) Ta có A B  là hình chiếu của AB lên mặt phẳng A B C  

 

AB A B C,     AB A B,  

  AB A  ( do góc AB A  là góc nhọn).

Mà SOABCD MH ABCD  H là hình chiếu vng góc của M trên mặt phẳng

ABCD

. Suy ra HN là hình chiếu vng góc của MN trên mpABCD.

Do đó MN ABCD,  MN HN,  MNH.

1 2

2 2

a

OA AC

;

2 2

1 1

2 2

HM  SO SA  OA

2
2

1 15

2. . .

8 4 4 2 2 8

a a

a a a

    5

2 2
a
HN

 

Xét tam giác vng HMN , ta có 


tanMNH HM
HN



 0

2 15

2 2

a a

a

  

Gọi K là trung điểm CD . Ta có

2 2

2 2 3 5.

2 2 2

a a a

OE OK KE      
   

 15 2  0

Nhờ tải bản gốc

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Bài 3. Bài tập có đáp án chi tiết về quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11 | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện - Pdf 72

Tài liệu, ebook tham khảo khác

Học thêm