Chuyên đề:
Phơng pháp tam giác đồng dạng
trong giải toán hình học phẳng
Lớp 8
------
Nhóm tác giả:
Nguyễn Quốc Huy - Chủ biên
Giang Ngọc Diệp
Nguyễn Thị Nga
Hà Thị Sáu
Phan Hải Hà
Phạm Thị Phơng
Phạm Thị Nguyệt
Cụm trờng thị trấn Diêm Điền
Thái Thụy, Tháng 11 năm 2006
Cấu trúc chuyên đề:
1
I. Đặt vấn đề
1. Khái niệm chung về
phương pháp tam giác
đồng dạng
2. Tóm tắt kiến
thức liên quan
3. Các dạng
toán cụ thể
4. Tiết dạy
minh họa
Dạng 1:
Tính độ dài
đoạn thẳng,
tỷ số, diện

bằng nhau, chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, phơng pháp Tam giác đồng
dạng có thể cho ta những cách giải quyết gọn gàng, ngắn hơn các phơng pháp truyền thống
khác nhau sử dụng tính chất tam giác, tính chất tứ giác đặc biệt...
+ Ba là: Phơng pháp Tam giác đồng dạng giúp rèn luyện tốt khả năng t duy logic của
học sinh, rèn luyện tính sáng tạo, phát triển trí tuệ cho học sinh một cách hiệu quả.
* Khó khăn:
+ Thứ nhất: Phơng pháp Tam giác đồng dạng còn lạ lẫm với học sinh. Các em
cha quen với việc sử dụng một phơng pháp mới để giải toán thay cho các cách chứng
minh truyền thống, đặc biệt là với các học sinh lớp 8 mới.
+ Thứ hai: Việc sử dụng các tỷ số cạnh rất phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn trong
tính toán, biến đổi vòng quanh luẩn quẩn, không rút ra ngay đợc các tỷ số cần thiết,
không có kỹ năng chọn cặp tam giác cần thiết phục vụ cho hớng giải bài toán.
Từ những nhận định trên, chuyên đề này giải quyết giúp cho giáo viên dạy lớp 8 và
các em học sinh một số vấn đề cụ thể là :
- Hệ thống lại các kiến thức thờng áp dụng trong phơng pháp.
- Hệ thống các dạng toán hình học thờng áp dụng phơng pháp Tam giác đồng dạng.
- Định hớng giải quyết các dạng toán này bằng Phơng pháp Tam giác đồng dạng
- Hệ thống một số bài tập luyện tập.
- Minh họa một số tiết dạy luyện tập.
Trong chuyên đề này tập thể tác giả đã có rất nhiều cố gắng nhằm làm rõ thêm một số
phơng pháp hình học đặc trng, tuy nhiên do hạn chế về kiến thức về thực tế giảng dạy chào
chấn *** chuyên đề còn nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy giáo, cô giáo có nhiều năm
kinh nghiệm trong giảng dạy, các bạn đồng nghiệp tham gia góp ý bổ sung làm cho chuyên
đề trở nên hoàn chỉnh hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn./.
2
B
Phần II
Kiến thức cơ bản
----
1. Đinh lý Talet trong tam giác.

c) Trờng hợp thứ 3(gg):
Nếu 2 góc của tam giác này lần lợt bằng 2 góc của tam giác kia thì hai tam giác đó
đồng dạng.
d) Các trờng hợp đồng dạng của tam giác vuông.
+ Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì
hai tam giác đó đồng dạng.
+ Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỷ lẹ với hai cạnh góc vuông của tam
giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
+ Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giác vuông này tỷ lệ với cạnh huyền và
cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
3
A
C
M
N
Phần III
Các dạng toán cụ thể
----
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số , diện tích
Loại 1: Tính độ dài đoạn thẳng
-----
+ Ví dụ minh họa:
Bài 36 79 SGK (có hình vẽ sẵn)
ABCD là h.thang (AB // CD)
A 12,5 B GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm
ã
DBA
=
ã
DBC

x
x
2
= 12,5 . 28,5 x =
5,28.5,12
18,9(cm)
Bài 35 72 SBT:
A ABC; AB = 12cm; AC = 15cm
10 8 GT BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm
KL MN = ?
M N
B C Giải
Xét ABC và ANM ta có :
AC
AM
=
15
10
=
3
2
AB
AN
=
12
18
=
3
2
Mặt khác, có

B
= 2
à
C
; AB = 4cm; BC = 5cm.
Tính độ dài AC?
b) Tính độ dài các cạnh của ABC có
à
B
= 2
à
C
biết rằng số đo các cạnh là 3 số tự
nhiên liên tiếp.
A Giải
a) Trên tia đối của tia BA lấy BD = BC
B ACD và ABC có
à
A
chung;
à
C
=
à
D
=
ACD P ABC (g.g)

AB
AC

c(a 4) = 4
Xét c = 1, 2, 4 chỉ có c = 4; a = 5; 5 = 6 thỏa mãn bài toán.
Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm.
Bài tập đề nghị:
+ Bài 1: Cho ABC vuông ở A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đờng trung trực của
BC cắt BC , BA, CA lần lợt ở M, E, D. Tính độ dài các đoạn BC, BE, CD.
+ Bài 2: Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E AB; D AC; F AC)
a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm. Tổng quát với BC = a, BC = c.
b) Chứng minh rằng BD <
ca
ac
+
2
với AB = c; BC = a.
c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n. Cạnh hình thoi bằng d.
Loại 2: Tính góc
Ví dụ minh họa:
+ Bài 1: Cho ABH vuông tại H có AB = 20cm; BH = 12cm. Trên tia đối của HB
lấy điểm C sao cho AC =
3
5
AH. Tính
ã
BAC
.
A
ABH;
à
H
= 90

AHB
=
ã
CHA
= 90
0
AH
BH
AC
AB
=
(chứng minh trên)
ABH P CAH (CH cạnh gv)
ã
CAH
=
ã
ABH
Lại có
ã
BAH
+
ã
ABH
= 90
0
nên
ã
BAH
+

MB
=
(1)
Do CD // AM (vì M AB) nên ta có :
DN
AD
NC
MC
=
(2)
Từ (1) và (2)
DN
AD
AB
MB
=
ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) và
à
A
= 60
0
nên là đều
AB = BD = DA
Từ
DN
AD
AB
MB
=
(cm trên)

=
à
1
B
6
MBD và KBD có
ả
1
M
=
à
1
B
;
ã
BDM
chung
ã
BKD
=
ã
MBD
= 120
0
Vậy
ã
BKD
= 120
0
Bài tập đề nghị:

CAB và CDB có C chung ;
ã
ABC
=
ã
BDC
(gt)
CAB P CDB (g.g)
CB
CA
CD
CB
=
do đó ta có :
CB
2
= CA.CD
Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm)
Do đó CB
2
= 9.16 = 144 CB = 12(cm)
Mặt khác lại có :
4
3
=
BA
DB
+ Bài 2: (Bài 29 74SGK)
A
A ABC và ABC: AB =6 ;

BCACAB
CBCABA
++
++
''''''
=
27
18
1296
864
=
++
++
Vậy
27
18'''
=


ABCChuvi
CBAChuvi
7
6
4
6
+ Bài 3: Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của Ab, BC,
CE cắt DF ở M. Tính tỷ số
ABCD
CMB
S

C
1
+
à
C
2
= 1v
à
C
1
+
à
D
1
= 1v CMD vuông ở M
CMD P FCD (vì
à
D
1
=
à
C
2
;
à
C
=
ả
M
)

1
.
2
1
BC.CD =
4
1
CD
2
Vậy S
CMD
=
2
2
FD
CD
.
4
1
CD
2
=
4
1
.
2
4
FD
CD
(*)

5
CD
2
ta có :
S
CMD
=
5
1
CD
2
=
5
1
S
ABCD

ABCD
CMB
S
S
=
5
1
Bài tập đề nghị:
Cho ABC, D là trung điểm của BC, M là trung điểm của AD.
a) BM cắt AC ở P, P là điểm đối xứng củ P qua M. Chứng minh rằng PA = PD.
Tính tỷ số
PC
PA

CA
Từ đó ta có :
2
1
===
CA
RP
BC
QR
AB
PQ
A
PQR P ABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K =
2
1
P
b) Gọi P là chu vi của PQR ta có : O
P là chu vi của PQR ta có : Q R
2
1'
==
K
P
P
P =
2
1
P =
2
1


ABCChuvi
ADEChuvi

25
ADEChuviABCChuvi

=

=
7
63
2%
=
+
+
ADEChuviABCChuvi
= 9
Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm)
Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm)
Bài tập đề nghị:
+ Bài 1: ABC P ABC theo tỷ số đồng dạng K =
5
2
.
Tính chu vi của mỗi tam giác, biết hiệu chu vi của 2 tamgiasc đó là 51dm.
9
+ Bài 2: Tính chu vi ABC vuông ở A biết rằng đờng cao ứng với cạnh huyền chia
tam giác thành 2 tam giác có chu vi bằng 18cm và 24cm.
Loại 5: Tính diện tích các hình

HC
CH ''
=
HCBH
CHHB
+
+
''''
=
BC
CB ''
(đpcm)
b) Từ
BC
CB
AH
AH '''
=
(
AH
AH '
)
2
=
BCAH
CBAH
.
'''.
=
ABC

= (
3
1
)
2
=
9
1
Vậy
ABC
CAB
S
S


''
=
9
1
và S

ABC
= 67,5cm
2
Nên ta có :
ABC
CAB
S
S


KL Tính S

AMH
Giải: A
Xét 2 vuông HBA và vuông HAC có :
ã
BAH
+
ã
HAC
= 1v (1)
ã
HCA
+
ã
HAC
= 1v (2)
Từ (1) và (2)
ã
BAH
=
ã
HCA
Vậy HBA P HAC (g.g) B 4 H M C

HC
HA
HA
HB
=

2
1
.4.6 = 7,5(cm
2
)
10
Vậy S

AMH
= 7,5(cm
2
)
+ Bài 3: Cho ABC và hình bình hành AEDF có E AB; D BC, F AC.
Tính diện tích hình bình hành biết rằng : S
EBD
= 3cm
2
; S
FDC
= 12cm
2
;
ABC hình bình hành AEDF
GT S
EBD
= 3cm
2
; S
FDC
= 12cm

1
)
2
Do đó :
==
FC
ED
FD
EB
2
1
FD = 2EB và ED =
2
1
FC A
AE = DF = 2BE ( vì AE = DF) F
AF = ED =
2
1
EC ( vì AF = ED) E 1
Vậy S
ADE
= 2S
BED
= 2.3 = 6(cm
2
) 1 2
S
ADF
=

nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M AB; N AC; PQ BC.
a) Tính diện tích hình chữ nhật nếu nó là hình vuông.
b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h
c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí nào thì diện tích của nó có giá trị lớn nhất.
Dạng II:
Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng
I. Các ví dụ và định hớng giải:
1. Ví dụ 1: Bài 29(SGK T79) (H8 Tập 2)
11

à
E
1
=
à
F
1
(2)