x 2 x 2 x 1 1
P 1:
x x 1 x x 1 x 1
 
+ − −
= − +
 ÷
+ − + +
 








−
−
+
+
−








−

+
−








+
+
−−+
+
=
1
1:
1
1
1
22
x
x
xxxxx
x
P
P
1



P
729
53
−
=
x
P
1
P = 2 x - 1
3819
−=
x
347
−=
x
1
−=
xP
PHẦN I : MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN
A.Toán rút gọn
Bài 1: Cho biểu thức:
P
 
 
=
 ÷
 ÷
 
 
x+2 x-7 x-1 1 1





−+
−
+
−
−
+
+
+








+
−=
6
2
2
3
3
2
:
1

+
+
−
−
−
+
−+
−
=
x
x
x
x
xx
x
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x sao cho
2
1
=
P
c) Chứng minh P ≤
3
2
Bài 8 : Cho biểu thức
1- x x x 2 2 1- x
P - :
x - 2 1- x x -3 x 2 x - 2 x - 2 x
   






−
−
−
−
+
−=
xx
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu
x 1=
c) Tìm các giá trị của x để
2
1
−=
P
d) Tìm các giá tri x nguyên để P nhận giá trị nguyên
Bài 10 : Cho biểu thức



1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của biết
347
−=
x
c) Tìm các giá trị của m để có các giá trị x thoả mãn
xmxP
−=
.
Bài 11 : Cho biểu thức
2 x 1 2 x 6 x 5
P 1 : 2
1 9x
3 x 1 3 x 1
   
− +
= − − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ +
   
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để
xP
=
c) Cho
13
52)1(2

−
+
−
=
22
2
:
1
3
1
3
x
x
xx
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P
2








−









−
+
+








+
−
−
−+
+−
=
1
1
2
:
4

+








−
+
−
=
xx
x
xxx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá tri của x để
5
12
−
=
x
P
c) So sánh P với 1
Bài 14 : Cho biểu thức




xx
x
xx
xx
xx
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để
1
8
11
≥
+
−
x
P
Bài 15 : Cho biểu thức








−
−
+



b/ Tìm x để P < 0 c/ Tìm x để P < 1

Bài 17: Cho biểu thức
a/ Rút gọn P
b/ Tìm x để
Bài 18 : Cho biểu thức :








+
−+
+
−
−+








−
−
=

−








−
+
++
+
−
+
=
x
xxx
x
xx
x
A
6
1
=
A
b) Chứng minh A > 0 với mọi x thuộc TXĐ
Bài 20 : Cho biểu thức:
a) Rút gọn A .
b) Tính

−
=
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
M
a) Rút gọn M .
b) Với giá trị nào của x thì M < 1 ?
Bài 22: Cho biểu thức:
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba




+
−
+
−
+






−+
+
+
−
−
−
=
1
1
1
1111
x
x
x
x
x

=
1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
A
a) Rút gọn A .
b) Tìm giá trị của a để
Bài 25:
Cho biểu thức:
aa
a
a
A
−
−
+
−
−
+
=

+








+
−
−
+
−
=
x
x
xx
x
x
xx
x
xx
P
1
1
.
1
1
:









−
−
−
+
=
1
2
:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
A






x
x
x
x
x
x
x
P
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
2
1
−<
P
c) Tìm x để :
( )
2223.
=+−++
xxxP
d) Tìm m để có 1 giá trị của x thoả mãn :

( ) ( )
( )
mxxmxxxP
+−=−++
33.
Bài 28 : Cho biểu thức :




a) Rút gọn P
b) Tìm m để phương trình P = m – 1 có nghiệm x , y thoả mãn :

6
=+
yx
Bài 29 : Cho biểu thức :
1212
1
.
1
1
2
−
+
−+
−








−
+
−
−
−+








−
−
+








−
−
+
−
=
2
2
.
2
45
2
1

f) Tìm nghiệm nguyên dương của pt:
Pmx 2
〈−
( )
( )
141
2
2
+−−=−−
yyyPxx
B. HÀM SỐ BẬC NHẤT :
Bài 1 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2
b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5)
c) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng
2y x=
và đi qua điểm B(1;
2 3+
)
d) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(-1; 2) và B(2;-3)
e) Đồ thị hàm số đi qua M(2;- 3) và vuông góc với đường thẳng y = x – 2
Bài 2: Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng :
y = (k – 2)x + m – 1 và y = (6 – 2k)x + 5 – 2m.
a) Trùng nhau b) Song song c) Cắt nhau
Bài 3 : Cho hàm số y = (a – 1)x + a
a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
5
bằng - 3
b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm được ở các câu a và b trên cùng một

Bài 6 : Cho hàm số y = (1 – 2m)x + m + 1 (1)
a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
b) Tìm m để hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 1 + m
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố
định duy nhất. Tìm điểm cố định đó.
Bài 7 : Cho hai đường thẳng
y = - 4x + m – 1 (d1) và y =
4
15 3
3
x m
+ −
(d
2
)
a) Tìm m để hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại điểm trên trục tung.
b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) với
trục hoành.
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
d) Tính các góc của tam giác ABC.
Bài 8 : Tìm toạ độ của M(x
1

(1)
6
a) Nếu phương trình (1) có ∆ > 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt, đường thẳng cắt
Parabol tại hai điểm phân biệt.
b) Nếu phương trình (1) có ∆ = 0 thì (1) có nghiệm kép, đường thẳng tiếp xúc với
Parabol.
c) Nếu phương trình (1) có ∆ < 0 thì (1) vô nghiệm, đường thẳng và Parabol không
giao nhau
II.Bài tập
Bài 1 : Cho hai hàm số y = x
2
(P) và y = 2x + 3 (d)
a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ hai hàm số (P) và (d).
b) Xác định toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d).
c) Gọi C và D thứ tự là hình chiếu vuông góc cảu A và B trên trục hoành. Tính diện tích
tứ giác ABCD.
Bài 2 : Cho Parabol y = x
2
(P) và đường thẳng y = 2x – m (d)
a) Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, tiếp xúc nhau, không giao nhau.
b) Khi (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B, hãy xác định toạ độ hai điểm A
và B với m = - 3 .
c) Tìm toạ độ trung điểm của AB.
Bài 3 : Cho Parabol y = x
2
(P) và đường thẳng y = mx – m (d)
a) Với giá trị nào cuả m thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm toạ độ trung điểm M của AB. Suy ra một hệ thức liên hệ giữa các toạ độ của m,
độc lập với m.
Bài 4: Cho Parabol (P): y =

d) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 2) và tiếp xúc với (P).
7
e) Tìm tập hợp điểm M sao cho qua M có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với
nhau và cùng tiếp xúc với (P).
f) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 5
Bài 8: Cho hàm số y = (2m - 1) x
2
(P).
a) Tìm m để (P) đi qua điểm A(2; -2). Vẽ đồ thị hàm số (P) vừa tìm được.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua B(-1; 1) và tiếp xúc với (P)
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm T thuộc (P)
Có tung độ
1
16
−
.
d) Tìm trên (P) các điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 1.
Bài 9: Cho Parabol y = ax
2
và đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 1)
a) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt A, B.
b) Gọi hoành độ của A,B lần lượt là x
1
, x
2
. CMR:
1 2
2x x− >


1
2
x + 3
a) Xác định toạ độ giao điểm A, B của Parabol và đường thẳng.
b) Xác định toạ độ giao điểm C thuộc cung AB của Parabol sao cho ∆ ABC có diện tích
lớn nhất.
8
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN – HỆ THỨC VI-ET
Bài 1 : Cho phương trình (m – 1)x
2
– 4mx + 4m – 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 2
b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 1.
Bài 2: Cho phương trình x
2
– 2(k – 1)x + k – 4 (1) . (x là ẩn, k là tham số).
a) Giải phương trình với k = 1.
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k.
c) Tìm k để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
d) Chứng minh rằng biểu thức A = x
1
(1 – x
2

2
– 2(m – 1)x + 2m – 5 = 0.
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó 2 nghiệm mang dấu gì ?
Bài 5 : Cho phương trình (m – 1)x
2
– 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m ? 1.
b) Tìm m để tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 6 : Cho phương trình x
2
+ 2x – 5 = 0 . Không giải phương trình hãy tính :
a) Tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
b) Tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình
c) Tổng các nghịch đảo hai nghiệm của phương trình
d) Tổng các nghịch đảo bình phương hai nghiệm của phương trình
e) Tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình.
D. HỆ PHƯƠNG TRÌNH :
Bài 1 : Cho hệ phương trình :
( 2)
1
m x y m
mx y
+ + =


− =


đó.
Bài 5 : Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 4000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng
mức đề ra. Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành
kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm.
Bài 6 : Một đoàn xe được giao chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì được nhận thêm hai
xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 0.5 tấn sao với dự định. Hỏi lúc đầu đoàn có bao nhiêu xe ?
Bài 7 : Một hình chữ nhật có chiều dài bằng
3
2
chiều rộng. Nếu bớt mỗi chiều đi 5cm thì
diện tích hình chữ nhật đó giảm đi 16 % . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chư nhật ban
đầu.
Bài 8 : Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ôtô
đi với vận tốc dự định, khi còn 40km nữa thì được nửa quãng đường AB do trời mưa nên
người lái xe giảm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ôtô đến tỉnh B muộn hơn
một giờ so với dự định. Tính quãng đường AB.
Bài 9 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy.
Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy
một mình đầy bể trong bao lâu ?
10
Bài 10 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu
mở riêng vòi thứ nhất trong 2 giờ, vòi thứ hai trong 3 giờ thì được
2
5
bể. Hỏi mỗi vòi chảy
một mình sau bao lâu thì đầy bể ?
Bài 11 : Một phòng họp 300 ghế ngồi nhưng phải xếp cho 357 người đến dự họp, do đó ban
tổ chức đã kê thêm một hàng ghế và mỗi hàng ghế xếp nhiều hơn quy định 2 ghế mới đủ chỗ
ngồi. Hỏi lúc đầu phòng họp có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy bao nhiêu ghế ?
Bài 12 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp

thành toàn bộ công việc trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành công
việc trong mấy ngày.
11
Bài 21: Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40km/h. Sau đó 1giờ 30 phút,
một chiếc xe con cũng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h. Hai xe gặp nhau
khi chúng đã đi được một nửa quãng đường AB. Tính quãng đường AB.
Bài 22: Một phòng họp có 100 chỗ ngồi, nhưng số người đến họp là 144 người. Do đó,
người ta phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 người ngồi. Hỏi phòng họp lúc
đầu có bao nhiêu dãy ghế.
Bài 23: Cho một số có hai chữ số. Tìm các chữ số của số đó biết rằng số đó bằng tổng bình
phương các chữ số của nó trừ đi 11, và số đó cũng bằng hai lần tích của hai chữ số của nó
cộng thêm 5.
Bài 24: Lớp 9A có 14 học sinh giỏi toán, 13 học sinh giỏi văn, số học sinh vừa giỏi toán vừa
giỏi văn bằng nửa số học sinh không giỏi toán mà cũng không giỏi văn. Hỏi có bao nhiêu
học sinh vừa giỏi toán vừa giỏi văn, biết rằng sĩ số của lớp 9A là 35.
Bài 25 : Một ca nô xuôi dòng 45km rồi ngược dòng 18km. Biết vận tốc xuôi dòng lớn hơn
vận tốc ngược dòng là 6km/h và thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 1 giờ
Tính vận tốc xuôi dòng và vận tốc ngược dòng của ca nô.
Bài 26 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngược dòng
105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km,
ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết
vận tốc nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 27 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km, ngược dòng
105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, ca nô này chạy trong 4 giờ, xuôi dòng 54 km,
ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc riêng của ca nô và vân tốc của dòng nước, biết vận tốc
nước là và vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 28 : Hai ôtô dự định đi từ A đến B dài 120km. Lúc 5 giờ 30 phút ôtô thứ nhất bắt đầu
xuất phát, sau đó 15 phút ôtô thứ hai xuất phát và đi với vận tốc lớn hơn vận tốc ôtô thứ nhất
10km/h. Trên đường đi ôtô thứ hai nghỉ 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ôtô và hai ôtô dến B
lúc mấy giờ, biết chúng đến B cùng một lúc.