HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
GII TÍCH 1
(Dùng cho sinh viên h đào to đi hc t xa ngành QTKD)
Lu hành ni b
HÀ NI - 2007
=====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG

cng chng trình đc Hc vin Công ngh BC-VT thông qua nm 2007.
Sách hng dn hc toán cao cp A1 bám sát các giáo trình ca các trng đi hc đang
ging dy chuyên ngành Qun tr kinh doanh, giáo trình dành cho h chính qui ca Hc vin
Công ngh BC-VT biên son nm 2001 và kinh nghim ging dy nhiu nm ca tác gi. Chính
vì th, tài liu này có th dùng đ hc tp và tham kho cho sinh viên ca tt c các trng, các
ngành đi hc và cao đng.
Cách trình bày trong sách thích hp cho ngi t hc, đc bit phc v đc lc trong công
tác đào to t xa. Trc khi nghiên cu các ni dung chi tit, ngi đc nên xem phn gii thiu
ca mi chng đ thy đc mc đích, yêu cu chính ca chng đó. Trong mi chng, mi
ni dung, ngi đc có th t đc và hiu đc thông qua các ví d
 minh ho. Sau các chng,
ngi đc phi t tr li đc các câu hi ôn tp di dng trc nghim. Nh các ví d minh ho
đc đa ra t đn gin đn phc tp, ngi đc có th coi đó là bài tp mu đ t gii các bài
tp có trong tài liu. Ngi đc có th t kim tra, đánh giá kin thc, kh nng thu nhn d
a
vào phn hng dn và đáp s đc cung cp  nhng trang cui sách.
Cng cn nhn mnh rng, ni dung chính ca toán cao cp là phép tính vi phân và phép
tính tích phân mà nn tng ca nó là phép tính gii hn ca hàm s. Chính vì th chúng tôi trình
bày khá t m hai chng đu ca tài liu đ ngi hc t đc cng có th có đc các kin thc
vng vàng đ đc tip các chng sau. Trong quá trình t
đc và hc qua mng, tu theo kh
nng tip thu, hc viên có th ch cn nh các đnh lý và b qua phn chng minh ca nó.
Nhân đây tác gi cng lu ý rng  bc trung hc ph thông ca nc ta, chng trình
toán cng đã bao hàm các kin thc v vi, tích phân. Tuy nhiên các ni dung đó ch mang tính
cht gii thiu do lng thi gian hn ch, do cu to chng trình. Vì th n
u không t đc mt
cách nghiêm túc các đnh ngha, đnh lý cng s vn ch nm đc mt cách hi ht và nh vy
rt gp khó khn trong vic gii các bài tp toán cao cp.
Sách gm 5 chng tng ng vi hc phn gm 45 đn 60 tit:
Chng I: Hàm s và gii hn

cht gii hn và liên tc ca nó.
2. Khái nim gii hn ca hàm s trong các quá trình khác nhau, các tính cht v gii hn
và thành tho các phng pháp kh các dng bt đnh da trên phép thay th các VCB, VCL
tng đng, đc bit các gii hn đáng nh:

1
sin
lim
sin
lim
00
==
→→
x
x
x
x
xx
,
e
xx
x
x
x
x
=
⎟
⎠
⎞
⎜

→



X gi là tp xác đnh ca
f
,
)(Xf
gi là tp giá tr ca
f
. ôi khi ký hiu

Xxxfy ∈= ),(
, x gi là đi s ( bin đc lp), y gi là hàm s (bin ph thuc)
B. Hàm s chn, hàm s l
Cho X đi xng vi 0 tc là XxXx
∈−∈∀ ,
Hàm s
f
(x) chn khi và ch khi )()(
xfxf −= .
Hàm s
f (x) l khi và ch khi ).()(
xfxf −−=
C. Hàm s tun hoàn
Chng 1: Hàm s mt bin s

8
Hàm s f (x) gi là tun hoàn trên X nu tn ti
*

xfxfxxXxx
<⇒<∈∀ .
2. Nói rng
f (x) gim nu
)()(,,
212121
xfxfxxXxx ≥⇒
≤∈∀
.
và
f (x) gim ngt nu )()(,,
212121
xfxfxxXxx >⇒
<∈∀ .
3. Nói rng
f (x) đn điu nu nó tng hoc gim.
Nói rng
f (x) đn điu ngt nu nó tng ngt hoc gim ngt.
E. Hàm s b chn
1. Hàm s f (x) b chn trên trong X nu tn ti s A sao cho :
AxfXx ≤∈∀ )(, .
2. Hàm s
f (x) b chn di trong X nu tn ti s B sao cho: ,()
x XB fx∀ ∈≤.
3. Hàm s
f (x) b chn trong X nu tn ti các s A,B sao cho:

AxfBXx ≤≤∈∀ )(,
.
F. Hàm s hp

Thông thng đi s kí hiu là x, hàm s kí hiu là y, vy hàm ngc ca
)(xfy =
là
hàm s
)(
1
xfy
−
= . Vì th trên cùng mt phng to đ Oxy, đ th ca hai hàm s f và
1−
f là
đi xng nhau qua đng phân giác ca góc phn t th I và III.
1.1.2. Các hàm s s cp c bn
A. Hàm lu tha
Cho
α
∈ . Hàm lu tha vi s m
α
,đc kí hiu là
α
P , là ánh x t
*
+

vào  , xác
đnh nh sau
*
,()
x Px x
α

α 1
0
=
α
0
<
α

O 1

H.1.1
B. Hàm m c s a
Xét
*
\{1}a
+
∈ . Hàm m c s a, kí hiu là x
a
exp , là ánh x t  vào
*
+
 , xác đnh nh
sau:
, exp .

y y
log
a
x, a>1
a
x
, a>1

1 O 1 x

a
x
, 0 < a < 1
x log
a
x, 0<a<1
H.1.2 H.1.3

Tính cht ca hàm s lôgarit
1.
01log =
a

Chng 1: Hàm s mt bin s

10
2.
*
, , xy
+

a
a
x xx
+
∀∈ =−
Chú ý: Sau này ngi ta thng ly c s a là s e và gi là lôgarit Nêpe hay lôgarit t
nhiên ca x, kí hiu y = lnx và suy ra
a
x
x
a
ln
ln
log = , e = 2,718281828459045…,

1
lg 0,434294...
ln10
e ==

D. Các hàm s lng giác
Các hàm s lng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx đã đc xét k trong chng trình ph thông
trung hc. Di đây chúng ta ch nhc li mt s tính cht c bn ca chúng.
Tính cht:
1. sinx xác đnh trên
 , là hàm s l, tun hoàn vi chu kì T = 2
π
và b chn:

1sin 1,xx

π
=T và nhn
giá tr trên khong
),( +∞−∞
.
E. Các hàm s lng giác ngc
1. Hàm arcsin (đc là ác-sin) là ánh x ngc ca sin:
[]
1,1
2
,
2
−→
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
ππ

Kí hiu là arcsin:
[]
.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣


11 x H.1.4 H.1.5
2. Hàm arccosin (đc là ác- cô- sin) là ánh x ngc ca
[ ] [ ]
1,1,0:cos −→
π
kí hiu:

[][]
π
,01,1:arccos →−

[] [ ]
yxxyyx cosarccos,,0,1,1 =⇔=∈∀−∈∀
π

Vy
2
arcsinarccos
π
=+ xx
3. Hàm arctang (đc là ác-tang) là ánh x ngc ca
:, ,
22
tg
ππ
⎛⎞
−→
⎜⎟
⎝⎠

kí hiu:

:,
22
arctg
π π
⎛⎞
→−
⎜⎟
⎝⎠


Vy ta có
, ,
22

∀∈ ∀∈ = ⇔ =
⎜⎟
⎝⎠


 th hàm y = arccotgx cho trên hình 1.7
y
2
π

arcsinx
-1
2
π
−
O
1
2
π

arccosx
π
y
2
π

1
π
2
π
H.1.7
Chng 1: Hàm s mt bin s

13
, cot ( cot )x garc gx x∀∈ =
Vy
2
cot
π
=+ gxarcarctgx
Ngi ta gi hàm s lu tha, hàm s m, hàm s lôgarit, các hàm s lng giác và các
hàm s lng giác ngc là các hàm s s cp c bn.
H. a thc, hàm hu t.
1. Ánh x P:
X → đc gi là đa thc khi và ch khi tn ti n
∈  và
1
01
( , ,..., )
n
n
aa a
+
∈ sao cho
∑
=
=∈∀
n

=
là hàm hu t thc s khi và ch khi: degP(x) < degQ(x)
3. Hàm hu t ti gin là các phân thc có dng:

k
ax
A
)( −
hoc
k
qpxx
CBx
)(
2
++
+

Trong đó
k
∈

*
, CBAqpa ,,,,, là các s thc và qp 4
2
− <0
Di đây ta đa ra các đnh lí đc chng minh trong lí thuyt đi s
nh lí 1.1: Mi đa thc bc n vi các h s thc đu có th phân tích ra tha s trong dng:

ml
mm

mj ,...,2,1= và
mjqpnk
jj
m
j
j
l
i
i
,1;042
2
11
=<−=+
∑∑
==
,
β

nh lí 1.2: Mi hàm hu t thc s đu có th phân tích thành tng hu hn các hàm hu t ti
gin. .
1.1.3. Hàm s s cp
nh ngha: Hàm s s cp là nhng hàm s đc to thành bi mt s hu hn các phép
tính cng, tr, nhân, chia và các phép ly hàm hp đi vi các hàm s s cp c bn và các hng
s, chng h
n
osx 3 2
() ln 2 arcsinx
c
fx e x x
−

ta có ,
sd
QQQ= = tc là ngi bán bán ht và ngi mua mua
đ, th trng không có hin tng d tha hoc khan him hàng hóa.
Chú ý: Trong các tài liu kinh t ngi ta thng s dng trc hoành đ biu din lng Q, trc
tung đ biu din giá p. Cách biu din nh vy tng ng vi vic biu din hàm ngc ca
hàm cung và hàm cu:
11
(), ()
s d
p SQpDQ
−−
==. Trong kinh t hc nhiu khi ngi ta vn gi
các hàm này là hàm cung và hàm cu.  th ca chúng đc cho trên H.1.8.
B. Hàm sn xut ngn hn
Các nhà kinh t hc s dng khái nim hàm sn xut đ mô t s thuc ca sn lng hàng
hóa (tng s lng sn phm hin vt) ca mt nhà sn xut vào các yu t đu vào ca sn xut,
nh
vn và lao đng v,v…

1
()
s
pSQ
−
=
1
()
s
pDQ

trong đó p là giá sn phm trên th trng.
2. Hàm chi phí là hàm s biu din s ph thuc ca tng chi phí, kí hiu TC vào sn lng Q:
TC = TC(Q)
. 3. Hàm li nhun là hàm s biu din s
 ph thuc ca tng li nhun, kí hiu
π
vào sn
lng Q:

()Q
π π
=

Hàm li nhun có th xác đnh thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí:

π
= TR(Q)
−
TC(Q).
D. Hàm tiêu dùng
Lng tin mà ngi tiêu dùng dành đ mua sm hàng hóa và dch v ph thuc vào thu nhp.
Các nhà kinh t s dng hàm tiêu dùng đ biu din s ph thuôc ca bin tiêu dùng, kí hiu C
(consumption) vào bin thu nhp Y (income):
C = f(Y)
Theo qui lut chung, khi thu nhp tng, ngi ta có xu hng tiêu dùng nhiu hn, do đó hàm
tiêu dùng là hàm đng bin.
1.2.GII HN CA HÀM S
1.2.1. Khái nim v gii hn
A. nh ngha gii hn
Ta gi


{ }
AxfaaxXaA >⇒Ω∈∀⊂Ω∃>∀ )(\)(,)(,0
ηη
.
Chng 1: Hàm s mt bin s

16
3. Nói rng f có gii hn là
∞−
ti a nu f− có gii hn là
∞+
ti a
4. Nói rng
f có gii hn là
l ti ∞+ nu

εε
<−⇒+∞Ω∈∀⊂+∞Ω∃>∀ lxfxX
AA
)()(,)(,0 .
5. Nói rng
f có gii hn là
l ti ∞− nu

εε
<−⇒−∞Ω∈∀⊂−∞Ω∃>∀ lxfxX
BB
)()(,)(,0 .
6. Nói rng

∞± . Ngc li )(xf có gii hn là ∞± , nói rng nó có gii hn vô hn.
B. nh ngha gii hn mt phía.
1. Nói rng
f có gii hn trái ti a là
1
l
nu

.)(0,),)((0,0
1
εηηε
η
<−⇒<−<∀⊂Ω∃>∃>∀ lxfxaxXa
2. Nói rng
f có gii hn phi ti a là
2
l nu

.)(0,,0,0
2
εηηε
<−⇒<−<∀>∃>∀ lxfaxx

Kí hiu f có gii hn là l ti a thng là:
lxf
ax
=
→
)(lim hoc ()
x a

+
→
+

H qu: iu kin cn và đ đ
lxf
ax
=
→
)(lim
là .)()( lafaf ==
+−

1.2.2. Tính cht ca hàm có gii hn.
A. Tính duy nht ca gii hn
nh lí 1.3: Nu
lxf
ax
=
→
)(lim thì
l
là duy nht.
B. Tính b chn
nh lí 1.4: Nu
lxf
ax
=
→
)(lim

không có gii hn hu hn ti 0.
C. Tính cht th t ca gii hn và nguyên lí kp.
nh lí 1.5: Cho
lxf
ax
=
→
)(lim
. Khi đó:
1. Nu
lc < thì trong lân cn đ bé ca )(: xfca <
2. Nu
d
l < thì trong lân cn đ bé ca dxfa <)(:
3. Nu
d
lc << thì trong lân cn đ bé ca dxfa << )(: c
Chng minh:
1.
{ }
)()(\)(,,0
1
1
xfccllxfaaxcl <⇒−<−⇒Ω∈∀∃>−=
η
ηε

2.
{ }
dxfldlxfaaxld <⇒−<−⇒Ω∈∀∃−= )()(\)(,,

dxfc ≤≤ )(
trong lân cn ca a thì dlc
≤≤
Nh vào lp lun phn chng, chúng ta thy đnh lí trên thc cht là h qu ca đnh lí 1.
nh lí 1.7( Nguyên lí kp): Cho ba hàm s
hgf ,, tho mãn: )()()( xhxgxf ≤
≤ trên X; và
lxhxf
axax
==
→→
)(lim)(lim Khi đó lxg
ax
=
→
)(lim
Chng minh:
εηηηε
<−⇒<−<∀∃>∀ lxfaxx )(0:,,,0
121εη
<−⇒<−< lxhax )(0
2

Ly
),(
21
ηηη


18
nh lí 1.8: Nu trong lân cn ca a có )()( xgxf ≤ và +∞=
→
)(lim xf
ax
thì:

+∞=
→
)(lim xg
ax

Chng minh:

AxfaxxA >⇒<−<∀∃>∀ )(0:,,0
11
ηη

Mt khác
)()(0:,
22
xgxfaxx ≤⇒<−<∀∃
ηη

Ly
AxgaxxMin >⇒<−<∀= )(0:),,(
21
ηηηη
chng t ()

1
()
x a
f xl
→
→ và
212
() () ()
xa xa
gx l f x gx l l
→→
→⇒ + →+
4.
( ) . ( ) ,
xa xa
fx l fx l
λ λλ
→→
→⇒ → ∈
5.
() 0
x a
fx
→
→ và )(xg b chn trong lân cn ca ().() 0
x a
afxgx
→
⇒→
6.

→→
→≠⇒ →
nh lí 1.10 (Trng hp gii hn vô hn):
1. Nu
()
xa
fx
→
→+∞
và
mxg ≥)(
trong lân cn ca a thì
() ()
xa
fx gx
→
+ →+∞

2. Nu
()
xa
fx
→
→+∞
và
0)( >≥ mxg
trong lân cn ca a thì
().()
xa
fxgx

bxfaxx
lygbyy

εδ
η
<−⇒<−<∀ lxfgaxx ))((0 : , vy (())
x a
gfx l
→
→
Chng 1: Hàm s mt bin s

19
F. Gii hn ca hàm đn điu
nh lí 1.12: Cho
: ( , ) , ,fab ab→∈ hoc
,ab∈ và là hàm tng.
1. Nu
f b chn trên bi M thì
*
lim ( )
xb
f xM M
−
→
= ≤
2. Nu
f không b chn trên thì
+∞=
−

−
→
→

Gim và b
chn trên
(,)
() ()
xa
ab
f x Sup f x
+
→
→

Tng và b
() ()
xa
f xInffx
+
→
→
chn di

Tng và không
b chn trên
()
xb
fx
−

H.1.9
Chng 1: Hàm s mt bin s

20

nh lí 1.13: Nu
)(xf xác đnh ti a và tng  lân cn ca a thì luôn tn ti mt gii hn trái
và mt gii hn phi hu hn ti a đng thi có h bt đng thc:

)(lim)()(lim xfafxf
axax
+−
→→
≤≤
Chng minh:
Rõ ràng:
)(xf tng và b chn trên bi )(af  lân cn bên trái ca a.

)(xf tng và b chn di bi )(af  lân cn bên phi ca a.
Theo đnh lí 1.12, chúng ta nhn đc kt qu cn chng minh. Ta có kt qu
tng t khi f gim. Hình 1.10. mô t đnh lí 1.13.
y
)(
+
af

)(af

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−∈
ππ
x
thì có bt đng thc kép:
1
sin
cos <<
x
x
x
.
Dùng đnh ngha chng minh đc
1coslim
0
=
→
x
x
. Vy suy ra công thc (1.1)
B.
e
xx
x
x
x

(1.3)
Chng minh: Vì lnx tng trên
*
+

nên ti
∞+ hàm s có gii hn hu hn hoc là ∞+ .
Gi s có gii hn hu hn
l thì .2lnlimlnlim xlx
xx ∞→+∞→
==
Tuy nhiên
ln 2 ln 2 ln ln 2xxll=+→=+ vô lý.
Vy
*
1
ln . , ln ln
x
xo
xxx
x
+
+
→+∞
→
→+∞ ∀ ∈ =− →−∞

Chng 1: Hàm s mt bin s

21

đ Ax
x
=>⇔<
ε
ε
11

Vy
*
1
, : .AxxA
x
ε
+
∃∈ ∀ > ⇒ < Chng t
1
0
x
x
→±∞
→
Ví d 2: Tính
(
)
11lim ,
22
312
lim
22
4

=→=
−− − ++
+− −= →
++ −

Ví d 3: Tính
2
0
3coscos
lim
x
xx
x
−
→

Gii:

2
22
22
2
3
sin2
2
sin2
)3cos1()1(cos3coscos
x
xx
x

Ví d 4: Tính
()
2
2
1
2
0
1
lim , lim 1 sin
1
x
x
xx
x
x
x
→∞ →
⎛⎞
−
+
⎜⎟
+
⎝⎠

Gii:

22
2
2
12

⎝⎠
⎝⎠()()
11sin
.
sin
0
1sin 1sin
x
xxx
x
x xe
→
+=+ →

D. S tn ti gii hn ca các hàm s cp
nh lí 1.14: Hàm s s cp xác đnh ti
0
x thì )()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→

Chng 1: Hàm s mt bin s


1. Nu
nix
i
,...,2,1),( =
α
là các VCB ti a thì tng
∑
=
n
i
i
x
1
)(
α
, tích
∏
=
n
i
i
x
1
)(
α
cng là
VCB ti a
2. Nu
)(x
α

β
→
→≠ thì nói rng
βα
,
là các VCB ngang cp ti a.
c bit 1=c thì nói rng
βα
, là các VCB tng đng ti a. Khi đó kí hiu
βα
~ ti a.
Rõ ràng nu
βα
, ngang cp ti a thì tn ti hng s c khác không đ:
βα
c~ ti a.
3. Nu )(
k
o
αγ
= thì nói rng
γ
là VCB có cp cao hn k so vi VCB
α
ti a
4. Nu
0)(c ~ ≠
k
c
αγ

*
α
là VCB cp thp nht trong s các VCB
( )
mi
i
,1 , =
α

và
*
β
là VCB cp thp nht trong s các VCB
( )
ni
i
,1 , =
β
ti a . Khi đó:

*
*
1
1
limlim
β
α
β
α
ax

x
0, 1 a 0, 0 1
x
xx
aa a
→−∞ →+∞
→> →<<

3.
00 0
0, 0, arcsin 0
xx x
sinx tgx x
→→ →
→→ →
4.
0
0
x
arctg
→
→
1.3.2. i lng VCL
A. nh ngha
Hàm s A:
X → gi là đi lng VCL ti a nu nh ()
xa
Ax
→
→+∞ hoc ∞−

i
,...,2,1),( = là các VCL ti a thì tích
∏
=
n
i
i
xB
1
)( là VCL ti a
2. Nu
)(xA là VCL ti a và )(xf gi nguyên du ti a và lân cn ca nó thì
)().( xfxA là VCL ti a.
C. So sánh các VCL
Cho )(),( xBxA là các VCL ti a
1. Nu
()
()
xa
Ax
Bx
→
→∞ thì nói rng )(xA là VCL cp cao hn )(xB ti a, hay
B là
VCL có cp thp hn
A
ti a
2. Nu
()
0

Nu
*
A là các VCL cp cao nht trong s các VCL mixA
i
,...,2,1),(
= và
*
B là VCL
cp cao nht trong s các VCL
njxB
j
,...,2,1),(
= ti a thì ta có
Chng 1: Hàm s mt bin s

24

)(
)(
lim
)(
)(
lim
*
*
1
1
xB
xA
xB

xx
xx
aa a a
→+∞ →−∞
→+∞ > →+∞ < <

3.
( ) ( )
0
log , 1 log , 0 1
aa
x
x
xa x a
+
→+∞
→
→+∞ > →+∞ < <

4.
() ( )
0
log , 1 log , 0 1
aa
x
x
xa x a
+
→+∞
→

sinx x
xx
x
x
x x
→
→
→∞
→∞
→≤⇒ =
→≤⇒ =

Ví d 6: Tính
x
xxtg
x
x
xx
2
32
00
sin
lim ,
4sin
2sin
lim
−
→→

Gii:

x
x
x
xxtg
xxxxtg
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx

Ví d 7: Tìm
1
1
lim ,
2
1
lim ,
22
1
lim
2
2
3
2
2
2

∞→∞→
x
x
x
xx
xx0
1
limlim
2
1
lim
3
2
3
2
===
+
++
∞→∞→∞→
xx
x
x
xx
xxx

1lim
1

εηηε
<−⇒<−∀>∃>∀ )()( :,0,0 afxfaxx

B. Hàm liên tc mt phía ti a
Cho
: , .
f XaX→∈ Nói rng hàm f liên tc bên trái ti a nu
Chng 1: Hàm s mt bin s

25
)()()(lim afafxf
ax
==
−
→
−

Hàm
f liên tc bên phi ti a nu
)()()(lim afafxf
ax
==
+
→
+

H qu:  hàm
)(xf liên tc ti a điu kin cn và đ là:

)()()( afafaf ==

)(xf
tng (gim)  lân cn đim a khi đó
)(xf
liên tc ti a khi và ch khi
0)( =ah
f
. iu này suy ra t đnh lí 1.13 ca hàm s đn điu.
3. Nu a là đim gián đon ca
)(xf
và không phi là đim gián đon loi 1 thì nói rng
)(xf
có đim gián đon loi 2 ti a
x = .
Các đnh ngha trên đc mô t trên hình 1.11.

y y

1
a
2
a O
3
a
4

2. Nu
)(),( xgxf cùng liên tc ti a thì )()( xgxf
+ liên tc ti a.
3. Nu
)(xf liên tc ti a thì )(xf
λ
liên tc ti a.
4. Nu
)(),( xgxf liên tc ti a thì )().( xgxf liên tc ti a.
5. Nu
)(),( xgxf
liên tc ti a và
0)(
≠xg
thì
)(
)(
xg
xf
liên tc ti a.
nh lí 1.16: Cho
: , : fX aX gY→∈ →  và .)( YXf ⊂ Nu )(xf liên
tc ti a và
)( yg liên tc ti )(afb = thì hàm hp ))(( xfg liên tc ti a.
Chng minh tng t nh chng minh đnh lí v gii hn ca hàm hp.
Chú ý:
• nh lí 1.16 cng đc phát biu tng t cho
f liên tc trên X và
g liên tc trên Y.
• S dng đnh lí 1.16, nhn đc các gii hn quan trng di đây:

x
(1.5)

)10( ,ln
1
lim
0
≠<=
−
→
aa
x
a
x
x
(1.6)
Tht vy gi )1(log1 +=⇒−= yxay
a
x
. Theo (1.4) s có:

a
ey
y
x
a
aa
y
x
x

α()
α=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+α
+
==
−+
→→
α
→
x
x
y
y
x
xy
x
x
xxx
)1ln(

[ ]
( )
nn
ba ,
trong đó
0)(,0)( ><
nn
bfaf và
n
nn
ab
ab
2
−
=− .
Suy ra
0)()lim()(lim
≤==
∞→∞→
cfafaf
n
n
n
n
và 0)()lim()(lim ≥==
∞→∞→
cfbfbf
n
n
n

∈ đ 0)( =cg hay
γ
=)(cf .
B.Tính b chn ca hàm s liên tc
nh lí 1.20: Hàm s
)(xf liên tc trên
[ ]
ba, thì đt đc giá tr ln nht và nh nht trên

[]
ba, , ngha là:

[] [ ]
baxbaxx
Mm
,,,
,
∈∀∈∃ có )()()(
Mm
xfxfxf ≤≤
Chúng ta không chng minh đnh lí này.

TÓM TT NI DUNG CHNG I
• Các khái nim và tính cht c bn v hàm s: đnh ngha hàm s, hàm s tun hoàn,
hàm s chn, l, hàm s hp, hàm s ngc, hàm s cho di dang tng minh, dng n,
dng tham s. Tính cht c bn ca hàm s: đn điu, b chn.
•
Các hàm s s cp c bn: hàm s ly tha, hàm s m, hàm s lôgarit, hàm s lng
giác, hàm s lng giác ngc, đa thc, hàm hu t. Hàm s s cp.
•