GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH I
Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế
Ngày 26 tháng 9 năm 2006
1
Mục lục
Chương 1. Đường thẳng thực 4
1.1. Trường Số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Hệ tiên đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Định lý Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4. Tập số thực mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Các phép toán qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3. Điểm tụ - Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4. Số e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Định nghĩa - Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Chuỗi dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3. Hội tụ tuyệt đối - Bán hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Tôpô trên tập số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1. Lân cận - Tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2. Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng . . . . . . . . . . 15
1.4.3. Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.1. Giới thiệu phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.2. Các thao tác trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3. Giải (hệ) phương trình, (hệ) bất phương trình . . . . . . . . . 19
1.5.4. Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.5. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.2. Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4. Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.1. Đa thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.2. Ước lượng phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3
3.4.3. Các khai triển quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1. Tính đơn điệu, cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2. Tính lồi lõm, điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6. Thực hành tính toán trên Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.1. Tính đạo hàm của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.2. Khai triển Taylor của hàm f tại x = a đến cấp n . . . . . . . 58
3.6.3. Tính giới hạn các dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.4. Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Chương 1.
ĐƯỜNG THẲNG THỰC
1.1. Trường Số thực
1.1.1. Hệ tiên đề
Tập số thực R là tập hợp trên đó có hai phép toán cộng (+), nhân (·) và quan
hệ thứ tự ≤ sao cho R là một trường có thứ tự đầy đủ. Cụ thể,
(a) + và · là các phép toán hai ngôi trên R sao cho (R,+,·) lập thành một
trường. Tức là,
+ :R × R −→ R,
(x, y) −→ x + y.
· :R × R −→ R,
(x, y) −→ xy = x · y.
thoả mãn
(R.1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ R;
(R.2) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z ∈ R;

Cận trên đúng của A được ký hiệu là supA còn cận dưới đúng được ký hiệu là infA.
Một tập vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn.
Định lý 1.1. Mọi tập khác rỗng bị chặn dưới trong R đều tồn tại cận dưới đúng.
Định lý 1.2. Cho A ⊂ R. Lúc đó
a) β = sup A ⇔ {(a ≤ β; ∀a ∈ A) và (∀ > 0,∃a ∈ A : β −  < a)}.
b) α = inf A ⇔ {(α ≤ a; ∀a ∈ A) và (∀ > 0,∃a ∈ A : a < α + )}.
c) A bị chặn dưới nếu và chỉ nếu −A bị chặn trên, và lúc đó sup(−A) = − inf A.
1.1.2. Định lý Archimedes
Để dễ sử dụng, ta vẫn gọi số nguyên dương là các số 1, 2, ..., n,..., mà được định
nghĩa một cách quy nạp như sau: 1 là phần tử đơn vị; 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1;··· ; n =
(n − 1) + 1;··· . Ta gọi số nguyên là các số 0, ±1, ±2, ... ±n,.... Tập hợp các số
nguyên, số nguyên dương lần lượt được ký hiệu là Z và N
∗
. Tập hợp N := N
∗
∪{0}
được gọi là tập các số tự nhiên. Q là ký hiệu tập các số hữu tỷ. Đó là các số có dạng
m
n
:= mn
−1
với m ∈ Z, n ∈ N
∗
. Cuối cùng, các số thực x ∈ R \ Q được gọi là số vô
tỷ. Với hai số thực a, b cho trước, ta gọi:
Đoạn hay khoảng đóng [a, b] là tập {x ∈ R | a ≤ x ≤ b};
Khoảng hay khoảng mở (a, b) là tập {x ∈ R | a < x < b};
6
Khoảng nửa đóng trái [a, b) là tập {x ∈ R | a ≤ x < b};
Khoảng nửa đóng phải (a, b] là tập {x ∈ R | a < x ≤ b};

m
n
. Từ đó, a <
m
n
< b.
1.1.3. Trị tuyệt đối
Với mỗi số thực x, ta ký hiệu trị tuyệt đối của nó bởi |x|. Đó là số thực được
định nghĩa như sau
|x| :=





x; nếu x > 0,
−x; nếu x < 0,
0; nếu x = 0.
Ta dễ dàng kiểm chứng được các tính chất sau của trị tuyệt đối.
(i) |x| ≥ 0; ∀x ∈ R.
(ii) |x| = 0 ⇔ x = 0.
(iii) |x + y| ≤ |x| + |y|; ∀x, y ∈ R.
(iv) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ R.
7
1.1.4. Tập số thực mở rộng
Tập số thực mở rộng R bao gồm R và hai phần tử −∞, ∞ với quy ước như
sau:
(i) Với mọi x ∈ R:
−∞ < x < ∞
và

, x
2
,··· , x
n
,···} hay, đơn giản hơn, (x
n
)
n
.
Cho dãy f = (x
n
)
n
. Giả sử ϕ : N −→ N là ánh xạ sao cho ϕ(k) < ϕ(k + 1) với
mọi k. Lúc đó f ◦ ϕ được gọi là một dãy con của f. Trong thực tế, người ta thường
đặt n
k
:= ϕ(k), như vậy (f ◦ ϕ)(k) = f(ϕ(k)) = f(n
k
) = x
n
k
. Do đó, dãy con f ◦ ϕ
của dãy (x
n
)
n
chính là dãy
{x
n

− a| < , với mọi n ≥ n
0
. Khi đó ta nói dãy số (x
n
)
n
hội tụ (đến a) và viết theo một trong các cách sau
x
n
−→
n→∞
a; x
n
−→ a; a = lim
n→∞
x
n
; a = lim x
n
Nếu (x
n
)
n
không hội tụ (đến một số thực nào) ta gọi nó là dãy phân kỳ.
Dãy (x
n
)
n
được gọi là phân kỳ đến +∞ (−∞) và ký hiệu
lim

Mệnh đề 1.6. Nếu dãy số (x
n
)
n
hội tụ đến một số dương (âm), thì tồn tại n
0
sao
cho x
n
> 0 (x
n
< 0) với mọi n ≥ n
0
.
1.2.2. Các phép toán qua giới hạn
Định lý 1.7. Cho hai dãy số hội tụ (x
n
)
n
và (y
n
)
n
và c là một số thực. Lúc đó các
dãy (x
n
± y
n
)
n

) = c lim
n→∞
x
n
.
c) lim
n→∞
(x
n
y
n
) = lim
n→∞
x
n
. lim
n→∞
y
n
.
d) Nếu lim
n→∞
y
n
= 0, thì dãy

x
n
y
n

n
≥ y
n
với mọi n thì lim
n→∞
x
n
≥ lim
n→∞
y
n
.
c) Nếu lim
n→∞
x
n
= a = lim
n→∞
y
n
và (z
n
)
n
là dãy số sao cho với một số n
0
∈ N nào
đó x
n
≥ z

, (y
n
)
n
với (x
n
)
n
phân kỳ đến ±∞. Lúc đó,
a) Nếu dãy (y
n
)
n
bị chặn thì lim
n→∞
(x
n
± y
n
) = lim
n→∞
x
n
.
b) Nếu tồn tại số dương  sao cho y
n
≥  với mọi n thì lim
n→∞
(x
n

n
< x
n+1
(x
n
> x
n+1
, x
n
≤ x
n+1
, x
n
≥ x
n+1
). Dãy thoả mãn một trong
bốn tính chất đó được gọi là dãy đơn điệu.
Định lý 1.12. Cho dãy (x
n
)
n
.
a) Nếu (x
n
)
n
không giảm và bị chặn trên thì hội tụ. Lúc đó
lim
n→∞
x

không giảm, (y
n
)
n
không tăng;
(ii) x
n
≤ y
n
với mọi n ∈ N.
Lúc đó cả hai dãy trên đều hội tụ và lim x
n
≤ lim y
n
.
Nếu thêm điều kiện lim(y
n
− x
n
) = 0 thì lim x
n
= lim y
n
.
Cho dãy bị chặn (x
n
)
n
. Với mỗi k ∈ N, ta đặt:
u

và ký hiệu là lim
n→∞
x
n
( lim
n→∞
x
n
) hay lim inf
n→∞
x
n
(lim sup
n→∞
x
n
).
10
Trường hợp dãy (x
n
)
n
không bị chặn, ta cũng có (u
k
)
k
, (v
k
)
k

= +∞ ⇔ lim inf x
n
= +∞
Định lý 1.14. Cho (x
n
)
n
và u, v ∈ R.
a) lim inf x
n
= u khi và chỉ khi hai điều sau thoả mãn:
(i) ∀ > 0,∃n
0
,∀n ≥ n
0
: x
n
> u − ;
(ii) ∀ > 0,∀m ∈ N,∃n > m : x
n
< u + .
b) lim sup x
n
= v khi và chỉ khi hai điều sau thoả mãn:
(i) ∀ > 0,∃n
0
,∀n ≥ n
0
: x
n

−→
k→∞
s.
Định lý 1.15. Cho (x
n
)
n
là một dãy bị chặn. Lúc đó tồn tại các giới hạn trên, dưới:
−∞ < u := lim
n→∞
x
n
≤ v := lim
n→∞
x
n
< ∞.
Hơn nữa, nếu ký hiệu C là tập các điểm tụ của dãy, ta có u = minC và v = maxC.
Hệ quả 1.3. Một dãy bị chặn là hội tụ khi và chỉ khi nó có một điểm tụ duy nhất.
Hệ quả 1.4 (Định lý Bolzano-Weierstrass). Mọi dãy số bị chặn đều tồn tại dãy con
hội tụ.
Dãy số (x
n
)
n
được gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản nếu với mọi  > 0 tồn tại
n
0
∈ N sao cho |x
n

+
1
2!
+ ··· +
1
n!
+
1
n!
= u
n
+
1
n!
.
Dễ thấy u
n
≤ u
n+1
≤ v
n+1
≤ v
n
với mọi n và v
n
− u
n
→ 0. Theo Hệ quả 1.2 cả hai
dãy này đều hội tụ và có cùng giới hạn. Người ta ký hiệu giới hạn này bởi số e. Đây là
một giá trị đặc biệt và có vai trò rất quan trọng trong giải tích. Chúng ta có thể ước

n
)
n
ta có thể khai triển:
z
n
=
n

k=0
n!
k!(n − k)!
1
n
k
= 1 +
1
1!
+
1
2!
(1 −
1
n
) +
1
3!
(1 −
1
n

1!
+
1
2!
(1 −
1
n
) + ··· +
1
m!
(1 −
1
n
)(1 −
2
n
)...(1 −
m − 1
n
); ∀n ≥ m.
Cho n → +∞ ta có lim z
n
≥ u
m
. Vì m được lấy tuỳ ý ta suy ra lim z
n
≥ e và bổ đề
hoàn toàn được chứng minh.
1.3. Chuỗi số
1.3.1. Định nghĩa - Tính chất


i=1
a
i
= lim
n→∞
n

i=1
a
i
.
Nếu dãy (s
n
)
n
không hội tụ ta nói chuỗi
∞

i=1
a
i
phân kỳ.
Mệnh đề 1.19. Giả sử (A) và (B) là các chuỗi số hội tụ và c là một số thực. Lúc
đó, các chuỗi
∞

i=1
(a
i

b)
∞

i=1
c.a
i
= c.
∞

i=1
a
i
.
Mệnh đề 1.20. Nếu chuỗi (A) hội tụ thì lim
i→∞
a
i
= 0.
Định lý 1.21 (Tiêu chuẩn Cauchy).
Chuỗi (A) hội tụ ⇐⇒ ∀ > 0,∃n
0
∈ N,∀n ≥ n
0
,∀p ∈ N :





n+p

Hệ quả 1.5. Với mọi k ∈ N, hai chuỗi (A) và (A
k
) đồng thời hội tụ hay phân kỳ.
1.3.2. Chuỗi dương
Chuỗi số (A) được gọi là chuỗi dương nếu a
i
≥ 0 với mọi i ∈ N. Lúc đó, dãy các
tổng riêng (s
n
)
n
là không giảm. Dãy này sẽ hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên.
Trong trường hợp ngược lại, dãy dần đến +∞. Tóm lại, ta luôn luôn có:
- Hoặc
∞

i=1
a
i
= S ∈ [0, +∞);
- Hoặc
∞

i=1
a
i
= +∞.
Hệ quả 1.6. Cho hai chuỗi dương (A), (B) sao cho a
i
≤ b

; β := lim
n→∞
a
n+1
a
n
.
Lúc đó, nếu α > 1 thì (A) phân kỳ, nếu β < 1 thì (A) hội tụ.
Định lý 1.25 (Tiêu chuẩn Raabe). Cho chuỗi dương (A). Đặt
α
1
:= lim
n→∞
n

a
n
a
n+1
− 1

; β
1
:= lim
n→∞
n

a
n
a

|a
i
| < ∞.
Mệnh đề 1.26. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
Tuy vậy, điều ngược lại không đúng, một chuỗi hội tụ có thể không hội tụ tuyệt
đối. Chuỗi như vậy được gọi là bán hội tụ. Ví dụ, chuỗi
∞

n=1
(−1)
n
1
n
là bán hội tụ.
Chuỗi (A) được gọi là chuỗi đan dấu nếu a
i
= (−1)
i
.b
i
; b
i
≥ 0 với mọi i ∈ N.
Định lý 1.27 (Định lý Leibnitz). Nếu (A) là chuỗi đan dấu và (|a
n
|)
n
là dãy giảm
về 0, thì (A) hội tụ.
14

trong đó
c
k
:=
k−1

i=1
a
i
.b
k−i
, k ≥ 2.
Định lý 1.30. Nếu (A) và (B) là hai chuỗi hội tụ tuyệt đối thì chuỗi tích (AB) hội
tụ và
∞

k=2
c
k
=

∞

r=1
a
r

.

∞

Định lý 1.33. Mọi tập con mở của R đều là hợp của một họ đếm được các khoảng
mở rời nhau.
Tập hợp tất cả các điểm trong của một tập A được gọi là phần trong của A
và được ký hiệu là Int A. Rõ ràng A mở khi và chỉ khi A = Int A. Trường hợp tổng
quát ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.34. Với mọi A ⊂ R, Int A là tập mở và là tập con mở lớn nhất của A.
1.4.2. Điểm tụ - Điểm dính - Bao đóng - Tập đóng
Cho A là một tập con của R. Số thực a được gọi là một điểm tụ của A nếu
∀δ > 0, (N
δ
(a) \ {a})∩ A = ∅,
a được gọi là điểm dính của A nếu
∀δ > 0, N
δ
(a) ∩ A = ∅.
Tập các điểm tụ của A được ký hiệu là A

, còn tập các điểm dính của A được
ký hiệu là A và được gọi là bao đóng của A.
Mệnh đề 1.35. Cho tập con A của R và số thực a. Lúc đó,
a) a ∈ A ⇐⇒ ∃(x
n
)
n
⊂ A, x
n
→ a.
b) a ∈ A

⇐⇒ ∃(x

a) A là tập đóng;
b) ∀(x
n
)
n
⊂ A : x
n
→ a =⇒ a ∈ A.
Hệ quả 1.10. Với mọi tập con A của R, A là tập đóng và là tập đóng bé nhất chứa
A.
Quan hệ giữa các tập đóng và tập mở được phát biểu qua định lý sau:
Định lý 1.37. Một tập con A của R là đóng khi và chỉ khi phần bù R \ A của nó
là tập mở.
Định lý sau là hệ quả trực tiếp của Định lý 1.32 và Định lý 1.37.
Định lý 1.38. Họ các tập đóng của R có các tính chất sau:
a) Tập rỗng ∅ là dóng.
b) Bản thân R là đóng.
c) Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là đóng.
d) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng.
Hệ quả 1.11.
a) Khoảng đóng bị chặn [a, b] trong R là đóng.
b) Tập một điểm là đóng.
c) Tập hữu hạn điểm là đóng.
Từ Định lý 1.32 và Định lý 1.38 ta nhận thấy rằng tập rỗng ∅ và bản thân R
vừa đóng vừa mở. Một câu hỏi đặt ra khá tự nhiên là ngoài hai tập này còn có tập
nào trong R có tính chất đó nữa hay không. Định lý sau đây trả lời câu hỏi đó.
Định lý 1.39. Đường thẳng thực R không còn có tập con nào vừa đóng vừa mở
ngoài ∅ và R.
17
1.4.3. Tập compact

con của F là họ con G = (O
λ
)
λ∈J
, với J ⊆ I sao cho ta vẫn có
A ⊆

λ∈J
O
λ
.
Một họ (F
λ
)
λ∈I
các tập con của R được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếu
với mọi tập hữu hạn các chỉ số K ⊆ I ta có

λ∈K
F
λ
= ∅.
Định lý 1.41. Một tập con A của R là compact khi và chỉ khi mọi phủ mở của
nó tồn tại một phủ con hữu hạn. Tức là, nếu (O
λ
)
λ∈I
là phủ mở của A thì tồn tại
λ
1

18
đơn giản hoặc viết các đoạn chương trình tính toán phức tạp. Vì đây không phải là
một cuốn sách chuyên khảo về Maple nên chúng tôi không có tham vọng giới thiệu
quá sâu mà chỉ muốn cho sinh viên làm quen với phần mềm, đủ để giải quyết tốt
những bài toán có liên quan trong phạm vi giáo trình. Sử dụng phần mềm này, sinh
viên không những giải được những bài toán phức tạp mà nếu tính toán bằng tay
phải mất hằng tháng trời (hoặc không tính nổi) mà còn giúp sinh viên nhìn thấy
được bản chất của nhiều vấn đề một cách nhanh chóng và sinh động. Thật ra, đây
không phải là phần mềm tính toán duy nhất. Tuy nhiên, nếu biết sử dụng Maple
một cách thành thạo, sinh viên dễ dàng tiếp cận với các chương trình tính toán phổ
biến khác hiện nay như Mathematica, Matlab,...
Ta luôn bắt đầu tính toán với việc đưa vào một cụm xử lý (bằng cách nhấn chuột
vào nút có biểu tượng [> hoặc vào chức năng Insert/Execution Group/After
Cusor có sẵn trên thanh lệnh của giao diện) Một dấu nhắc lệnh [> sẽ hiện ra, chờ
đợi ta đưa lệnh vào thực hiện.
Một số điều cần chú ý là: Câu lệnh được viết ra phải tuân thủ nghiêm ngặt là
chữ hoa hay chữ thường, tất cả câu lệnh đều viết bằng tiếng Anh (nhưng không khó
để học thuộc, vì số lượng không nhiều). Kết thúc mỗi câu lệnh đều có dấu ";" hoặc
":" và sau đó nhấn phím Enter. Nếu sử dụng dấu ";" thì kết quả tính toán sẽ hiển
thị ngay dòng dưới, còn nếu sử dụng dấu ":" thì kết quả sẽ không hiện ra.
1.5.2. Các thao tác trên tập hợp
a) Định nghĩa tập hợp.
Cú pháp: [> (Tên tập hợp):= {(danh sách các phần tử của tập hợp)};
Ví dụ:
[> A:={1, 2, 3, 4, 15}:
[> B:={a, b, x, y, z};
B := {a, b, x, y, z}
b) Các phép toán trên tập hợp. Ta đã biết 3 phép toán trên tập hợp là ∪ (ký hiệu
union), ∩ (ký hiệu intersect) và \ (ký hiệu minus).
Cú pháp: [> (Tập hợp 1) (phép toán) (Tập hợp 2);

2
+
1
2
I
√
3},{u = −
1
2
−
1
2
I
√
3}
[> solve(x*x - 3*x + 2 < 0, {x});
20
{1 < x, x < 2}
[> bpt:=x*x - 3*x + 2 >= 0;
bpt := 0 ≤ x
2
− 3x + 2
[> solve(bpt, {x});
{x ≤ 1},{2 ≤ x}
b) Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình.
Cú pháp: [> solve({danh sách phương trình/bất phương trình}, {ds biến});
Ví dụ:
[> p1:=sqrt(x) + sqrt(2-y)=sqrt(2);
p1 :=
√

21
1.5.4. Tính giới hạn của dãy số
Cú pháp: [> limit(x[n], n=infinity);
Ví dụ: [> limit ((n+1)/n, n=infinity);
1
Chú ý rằng nếu viết Limit thì chỉ hiện ra công thức hình thức của giới hạn đó. Nếu
muốn tính giới hạn này bằng bao nhiêu ta dùng lệnh value(%). Chẳng hạn:
[> Limit ((n*n+1)/(3-2*n*n), n=infinity);
lim
n→∞
n
2
+ 1
3 − 2n
2
[> value(%);
−2
Ta cũng có thể định nghĩa dãy trước khi gọi thực hiện giới hạn. Ví dụ:
[> y[n]:= (3*n*n-5)/(4*n+5*n*n);
y[n] :=
3n
2
− 5
4n + 5n
2
[> limit(y[n], n=infinity);
3
5
1.5.5. Tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn
Cú pháp: [> sum(x[n], n=n1..n2); (nếu dùng Sum thì cho ra công thức hình thức)

.b
−1
,
h) (a > b) ∧ (c > 0) =⇒ (a.c > b.c),
i) a > b =⇒ a + c > b + c,
j) a > b > 0 =⇒ a
2
> b
2
,
với mọi a, b, c ∈ R.
1.2. Chứng minh Q là trường thứ tự không đầy đủ bằng cách chỉ ra rằng tập
S := {x ∈ Q | x
2
< 3} trong Q là bị chặn trên nhưng không tồn tại sup S trong Q.
1.3. Chứng minh rằng với mọi a, b ∈ R sao cho a < b, tồn tại q ∈ Q, r ∈ R\Q thoả
mãn a < q < b, a < r < b.
1.4. Cho S ⊂ R. Chứng minh
sup(−S) = − inf(S) và inf(−S) = − sup(S).
1.5. Cho A và B là hai tập con khác rỗng trong R. Chứng minh rằng
sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B}, inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}.
1.6. Chứng minh trường số phức C không phải là trường có thứ tự. (Gợi ý: Chứng
minh số ảo i không so sánh được với 0).
1.7. Khảo sát sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu tồn tại) của các dãy sau
x
n
= n −
√
n
2

; x
n
= (
√
n
4
+ 2n + 1− n
2
)(2n + 1).
1.8. Cho (x
n
) ⊂ R. Ta định nghĩa một dãy mới:
u
n
:=
x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
n
.
23
Chứng minh rằng
a) Nếu (x
n
) là đơn điệu thì (u
n
) cũng vậy.

n−1
với x
0
:= 1. Chứng minh rằng
lim
n→∞
x
n
= +∞.
1.11. Xét dãy x
n
:= a
n
/b
n
với a
0
, b
0
dương cho trước và a
n
:= 2a
n−1
+ 3b
n−1
,
b
n
:= a
n−1

1.13. Cho hai số b > a > 0. Xét hai dãy (x
n
) và (y
n
) với
x
0
:= a; y
0
:= b; x
n
:=
√
x
n−1
y
n−1
, y
n
:=
1
2
(x
n−1
+ y
n−1
), n ≥ 1.
Chứng minh hai dãy đó hội tụ và có chung giới hạn.
1.14. Tìm giới hạn trên, giới hạn dưới, giới hạn (nếu có) của các dãy số sau
x

1.15. Tính các giới hạn sau
lim
n→∞
(−1)
n
2n
n
2
+ 1
; lim
n→∞
n
2
−
√
n
3
+ 1
n
2
+
√
n
3
+ 1
; lim
n→∞

n
2


;
∞

n=1
tan

n
2
+ 1
2
n

,
∞

n=1
sin

n
n
2
+ 1

;
∞

n=1
sin


;
∞

n=1
1 + (−1)
n
n
n
2
;
∞

n=1
1
n + 1
sin

1
n
+ e
−n

,
∞

n=1
2
√
n + n
√

1
4n
2
− 1
;
∞

n=1
n −
√
n
2
− 1

n(n + 1)
.
∞

n=1
n
(2n − 1)
2
(2n + 1)
2
;
∞

n=1
1
(

< c
n
, ∀n. Chứng minh rằng nếu (A) và (C) hội tụ thì (B) cũng
hội tụ. Nếu (A) và (C) phân kỳ thì (B) có phân kỳ không?
1.19. Chứng minh rằng nếu chuỗi dương

∞
1
a
n
hội tụ thì chuỗi

∞
1
a
2
n
cũng hội
tụ. Điều ngược lại còn đúng không?
1.20. Chứng minh tập các điểm tụ của một dãy số thực bất kỳ là đóng. Tập đó có
bị chặn không?
1.21. Tìm một dãy trong R sao cho tập các điểm tụ của nó là đoạn [0,1].
1.22. Chứng minh rằng với mọi tập đóng E ⊂ R đều tìm được một dãy (x
n
) sao
cho tập các điểm tụ của nó chính là E.
1.23. Hãy xây dựng một tập mở U trên R sao cho Q ⊂ U ⊂ R và U = R.
1.24. Tìm E từ đó cho biết E có phải là tập đóng hay không, với
a) E =
