BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT
1. Sử dụng tính đồng biến , nghịch biến của hàm số mũ và logarit
Ví dụ 1 : So sánh :
3 2
2 ,3
Giải :
Ta có
6 4 3 3 3
3 3 9 8 2 (2 )> = > = =
=>
2 3
3 2>
Ví dụ 2 : So sánh : log
3
4

, log
10
11
Giải :
Ta có log
3
4

= log
9
16> log
9
11=
11
1

5
6 6.25
2
3 3 3 243 256 16< = = < =
=>Suy ra
6
3 3
log 3 log 16<
Khi đó :
3
log 16 6>
,
16
log 729 6<
=> log
3
16> log
16
729
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : 3(a.2
a
+b.2
b
+c.2
c
)
≥
(a+b+c)( 2
a
+2

-2
c
)(b-c)
≥
0=> b.2
b
+c.2
c
≥
b.2
c
+c.2
b
,
∀
b,c
(2
c
-2
a
)(c-a)
≥
0=> c.2
c
+a.2
a
≥
c.2
a
+a.2

c
)
≥
(a.2
b
+b.2
a
)+ (b.2
c
+c.2
b
)+ (c.2
a
+a.2
c
)+ (a.2
a
+b.2
b
+c.2
c
)
 3(a.2
a
+b.2
b
+c.2
c
)
≥

b.lnc+c.lnb ,
∀
b,c>0
(lnc-lna)(c-a)
≥
0=> c.lnc+a.lna
≥
c.lna+a.lnc ,
∀
c,a>0
 2(a.lna+b.lnb+c.lnc )
≥
(a.lnb+b.lna)+ (b.lnc+c.lnb)+ (c.lna+a.lnc)
 3(a.lna+b.lnb+c.lnc )
≥
(a+b+c)(lna+lnb+lnc)
 3lna
a
b
b
c
c
≥
lnabc
a+b+c

3

a b c
a b c

a a
a
− −
−
+ +
> = +
Nên
4 9 9 9
9
log (1 4 ) log (1 4 ) log 9 (1 4 ) log (9 )
4
a
a a a a a
a
− −
 
+ > + + = + = +
 ÷
 
4 9
log (1 4 ) log (9 2 )
a a a
=> + > +
(đpcm)
Ví dụ 7 : Chứng minh rằng :
log log ( ), , , ;1 , 0
a a c
b b c a b c a b c
+
> + ∀ < < >

=>
log log ( ), , , ;1 , 0
a a c
b b c a b c a b c
+
> + ∀ < < >
(đpcm)
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng :
( )
3
log log log , , , 2, 2
4
b c c a a b
a b c a b c
+ + +
+ + > ∀ ∈
Giải :
Đặt A= log
b+c
a

=> (b+c)
A
= a>
1
2
2 2=

Mà 1<b+c<4 nên (b+c)
A

c
>
1
4
Suy ra :
( )
3
log log log , , , 2, 2
4
b c c a a b
a b c a b c
+ + +
+ + > ∀ ∈
( đpcm)
Ví dụ 9 : Chứng minh rằng :
1 1 1 1
log ( ) log ( ) log ( ) 6 , , , ,1
4 4 4 4
a b c
b c a a b c
 
− + − + − ≥ ∀ ∈
 ÷
 
Giải :
Ta có :
2 2
1 1 1
( ) 0
2 4 4

c,log
c
a>0 =>
3
log log log 3 log .log .log 3
a b c a b c
b c a b c a+ + > =
=>
1 1 1 1
log ( ) log ( ) log ( ) 6 , , , ,1
4 4 4 4
a b c
b c a a b c
 
− + − + − ≥ ∀ ∈
 ÷
 
(đpcm)
Dầu bằng xảy ra  a=b=c=1/2