Một số dạng toán về đa thức - phân thức
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1/ a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc 2/ a
3
(b - c) + b
3
(c - a) + c
3
(a - b)
3/ a
2
(b - c) + b
2
(c - a) + c
2
(a - b) 4/ )a
2
+ b
2
)
3
+ (c
2
- a
2

+ 8a(a
2
+ a + 4) +15a
2
11/ (x + y)
5
- x
5
- y
5
12/ (x + y)
7
- x
7
- y
7
13/ x
5
+ x
4
+ 1 14/ x
8
+ x
7
+ 1
15/ x
8
+ x + 1 16/ x
10
+ x

5
+ 32 chia hết cho đa thức x + a
3/ Đa thức x
4
+ x
3
+ 3x
2
+ ax + 4 chia hết cho đa thức x
2
- x + b
4/ Đa thức ax
3
+ ax + b chia hết cho x + 2 và khi chia cho x
2
- 1 thì d x + 5
5/ 6x
3
- 2x
2
- ax - 2 chia hết cho 2x - 3
6/ x
4
+ ax
3
+ 3x
2
- 4x - 4 chia hết cho x - 2
7/ Xác định số hữu tỉ k để đa thức:
A = x

3
= 1
9/ Tìm một đa thức bậc ba P
(x)
, cho biết khi chia P
(x)
cho các đa thức : (x - 1) ; (x - 2) ;
(x - 3) đều đợc d là 6 và P
(-1)
= -18
10/ Cho đa thức bậc bốn P
(x)
thoã mãn: P(-1) = 0 và P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1)
a/ Xác định P(x)
b/ Suy ra giá trị của tổng sau đây. S = 1.2.3 + 2.3.4 + ...+ n(n + 1)(2n + 1)
11/ Tìm một đa thức bậc hai biết : P(0) = 19 ; P(1) = 85 ; P(2) = 1985
12/ Cho đa thức P(x) = x
4
+ x
3
- x
2
+ ax + b và Q(x) = x
2
+ x - 2
Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)
13/ Xác định a, b sao cho đa thức P(x) = ax
4
+ bx
3

cho Q(x) = x
2
- 1
18/ Xác định d của phép chia . P(x) = 1 + x + x
9
+ x
25
+ x
49
+ x
81
cho Q(x) = x
3
- x
19/ Với giá trị nào của a và b thì đa thức x
3
+ ax
2
+ 2x + b chia hết cho x
2
+ x + 1
Các bài toán chứng minh.
1/ Chứng minh rằng biểu thức A = a
4
(b - c) + b
4
(c - a) + c
4
(a - b) luôn khác 0 nếu ba số a, b, c
phân biệt

(x)
chia hết cho Q
(x)
4/ Chứng minh rằng A = 7.5
2n
+ 12.6
n
chia hết cho 19 (n

N)
5/ Chứng minh rằng các biểu thức sau là số nguyên
N n với
6
n

2
n

3
n
B chẵn n với
24
n

8
n

12
n
A

- x
9
+ x
4
- x + 1
8/ Chứng minh rằng nếu x + y + z = -3 thì
(x + 1)
3
+ (y + 1)
3
+ (z + 1)
3
= 3(x + 1)(y + 1)(z + 1)
9/ Cho ab = 1. C/m rằng a
5
+ b
5
= (a
3
+ b
3
)(a
2
+ b
2
) - (a + b)
10/ Cho x > 0 thoã mãn
nnguyê số một là
x
1

=+
y
bab
y
a
x
a/ bx
2
= ay
2
b/
10001000
2000
1000
2000
)(
2
bab
y
a
x
+
=+
13/ Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thoã mãn.
a + b + c= 2000 và
2000
1111
=++
cba
thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2000

+

=
cb
c-b
y ;
ba
ba
x
thì
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 - x)(1 - y)(1 - z)
17/ Cho a, b, c là ba số thực khác nhau. Chứng minh rằng.
1...
=

+

+
+

+

+
+

+

+
ba
ab

bayx
bayx
C/m rằng với mọi số nguyên dơng n ta có x
n
+ y
n
= a
n
+ b
n
20/ Cho x và y thoã mãn





=+
=+
=+
cyx
byx
ayx
33
22
C/m rằng a
3
+ 2c = 3ab
21/ Cho x, y thoã mãn




=
là bình phơng của một số hữu tỉ
23/ Cho a + b + c + d = 0. C/m rằng a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)(ab - cd)
24/ Cho a, b, c thoã mãn:
(a + b- 2c)
2
+ (b + c - 2a)
2
+ (c + a - 2b)
2
= (a - b)
2
+ (b - c)
2
+(c - a)
2
Chứng minh rằng a = b = c
25/ Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết :
(a + b)(b + c)(c + a) = 8abc. C/m tam giác đã cho là tam giác đều
26/ Cho a
2

+ y
2
+z
2
) = (ax + by + cz)
2
và x, y khác 0 thì
z
c
y
b
x
a
==
29/ C/m các hằng đẳng thức sau :
a/ (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
b/ x

32/ C/m rằng nếu
2
11
2
111
22
=++=++=++
cb
cba
2
a
1
thi abc c b a và
33/ Cho
b
c
a
b
c
a
a
c
c
b
b
a
++=++
C/m rằng tồn tại hai trong ba số a, b, c bằng nhau
34/ Cho ba số a, b, c khác 0 thoã mãn abc = 1 và
cba

2
c)-(b
a
: rằng minh Chứng .
36/ Cho
01
22
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
ba
c
ac
b
cb
a
cb
a

5
4
(1 Gg/ 2 n
6
2
-(1 Ff/
2 n
2
1
Ee/ 1 n
1.3
1
(1 Dd/
1 n
3
1
Cc/ 1 n
2
1
B
1n
2.4
3
-(1 A
2
22
<
+
+++=>
+

21
...
4
1
3
1
2]
)2(
1
1)....[
4.2
1
1)(
4
1
)12(
1
...
7
1
5
1
2
1
)2(
1
...
6
1
4

2
= 14. Tính giá trị biểu thức A = a
4
+ b
4
+ c
4
2/ Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 tính giá trị biểu thức B = (x - 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
3/ Cho 2a - b = 7 Tính
72
23
73
5



+

=
b
ab
a
ba
P
4/ a) Cho 6a


+


=
3
5
3
2
5/ Cho a > b > 0 thoã mãn 3a
2
+ 3b
2
= 10ab. Tính giá trị biểu thức
ba
ba
P
+

=
6/ Cho x, y thoã mãn 2x
2
+ 2y
2
= 5xy. Tính
yx
yx
E

+

xyx
M
+

=
10/ Cho x + y = a + b và x
2
+ y
2
= a
2
+ b
2
. Tính giá trị các biểu thức sau.
a/ x
3
+ y
3
b/ x
4
+ y
4
c/ x
5
+ y
5
d/ x
6
+ y
6

1
b/ x
x
1
x
++++
/a
12/ Cho a + b + c = 0. Tính giá trị các biểu thức sau:
222222222
111
bacacbcba
A
+
+
+
+
+
=
)
)((
111
222222222
ac
b
cb
a
ba
c
b
ac

= 3abc. Tính giá trị biểu thức

)1)(1)(1(
a
c
c
b
b
a
A
+++=
14/ a) Cho a, b, c khác nhau từng đôi một thoã mãn :
b
ac
a
cb
c
ba +
=
+
=
+
Tính
)1)(1)(1(
c
a
b
c
a
b

z
c
y
b
z
c
y
b
c
z
b
y
++=++=++
2
2
x
a
thức biểu trị giá Tính .
x
a
và
a
x
Cho
16/ Cho x
2
- 4x + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức
7
7
x


++=
=++
=++
=++
200020002000
zy x A Tính
012
012
012
2
2
2
xz
zy
yx
19/ Cho hai số x, y thoã mãn : xy + x+ y = -1 ; x
2
y + xy
2
= -12. Tính P = x
3
+ y
3
20/ Cho x, y, z thoã mãn xyz = 1 ; x + y + z =
zyx
111
++
. Tính Q = (x
19








==
=++
=++
c
z
b
y
a
x
1 c b a
1 c b a
Cho
222
Tính R = xy + yz + zx
23/





=++
=++
=++

+==
−
+
−
+
−
2
c)-(b
a
P TÝnh .
25/ Cho
ba
c
ac
b
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+
==
+
+
+

2
a
x
Nthøc biĨu trÞ gi¸ TÝnh
x
a
vµ
27/ Cho a, b, c tho· m·n abc = 2000. TÝnh
1200020002000
2000
++
+
++
+
++
=
cac
c
bbc
b
aab
a
H
28/ Cho a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh
222222222
111
bcaacbcba
D
−+
+

2
x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − +
. Tính M theo a, b,
c, biết rằng
1 1 1
2 2 2
x a b c= + +
.
32/ Tính giá trò của biểu thức:
a. A =
( ) ( )
3 2 2 2 3 3
x x y y x y− + −
với x = 2;
1y =
.
b. M.N với
2x =
.Biết rằng:M =
2
2 3 5x x− + +
; N =
2
3x x− +
.
33/ Tính giá trò của đa thức, biết x = y + 5:
a.
( ) ( )
2 2 2 65x x y y xy+ + − − +
b.

111
.
19
17
.
)]1([
12
....
)3.2(
5
17
1
)17)(67(
7
....
15.8
7
)14)(34(
1
...
11.9
1
9.5
1
)12)(12(
1
...
7.5
1
5.3

1-3
h/
(1.2)
3
/ d
1.8
7
c/
1.5
1
b/
1.3
1
a/
4444
2
2
2
nn
n
nnn
nnnn
37/ Cho x
2
- y
2
= 1, tÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: A = 2(x
6
- y
6

117
1
1
105
4
651.315
4
651
650
3.
105
1
651
1
.
315
1
2
−=−
−−=
+−−=
r»ng mC
B
A