Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
A / Lêi nãi ®Çu
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư lµ néi dung kiÕn thøc quan träng, lý thó, song ®ã l¹i lµ mét trong nh÷ng
d¹ng to¸n khã ®èi víi häc sinh bËc THCS.
Néi dung nµy ®ỵc giíi thiƯu kh¸ ®Çy ®đ trong ch¬ng tr×nh §¹i Sè 8 vµ cã thĨ coi lµ néi dung nßng cèt
cđa ch¬ng tr×nh. Bëi nã ®ỵc vËn dơng rÊt nhiỊu ë c¸c phÇn sau nh: Rót gän ph©n thøc, quy ®ång mÉu thøc
cđa c¸c ph©n thøc, biÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc h÷u tØ, biÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc v« tØ, gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao ...
Thùc tÕ gi¶ng d¹y cho thÊy, mỈc dï c¸c ph¬ng ph¸p ®ỵc gi¬Ý thiƯu trong SGK rÊt rõ rµng, cơ thĨ. Song
viƯc c¸c em vËn dơng cßn nhiỊu lóng tóng. §Ỉc biƯt ®èi víi häc sinh kh¸ giái th× néi dung kiÕn thøc cha
®¸p øng ®ỵc nhu cÇu häc to¸n cđa c¸c em.
VËy D¹y - Häc néi dung ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư nh thÕ nµo ®Ĩ ®¹t kÕt qu¶ tèt nhÊt? Phï hỵp
cho häc sinh ®¹i trµ? §ång thêi ®¸p øng ®ỵc nhu cÇu häc tËp cđa häc sinh kh¸ giái. §Ĩ ®¹t kÕt qu¶ ®ã,
ngoµi ph¬ng ph¸p trun thơ ngêi thÇy ph¶i n¾m b¾t ®ỵc kiÕn thøc mét c¸ch nhn nhun. §ã chÝnh lµ lý
do t«i ®a ra ®Ị tµi nµy.
Cơ thĨ trong ®Ị tµi nµy, víi mçi ph¬ng ph¸p c¬ b¶n hay ®Ỉc biƯt. Tôi đều lµm râ:
• Ph¬ng ph¸p giải.
• Bµi tËp tù lun
Víi néi dung vµ tr×nh bµy trong ®Ị tµi nµy, hy väng ®Ị tµi nµy kh«ng chØ lµ tµi liƯu híng dÉn ®èi víi häc
sinh mµ cßn lµ tµi liƯu tham kh¶o bỉ Ých cho c«ng t¸c gi¶ng d¹y cđa gi¸o viªn c¸c trêng THCS.
Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 1
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
B. Néi dung
PhÇn 1: C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
C¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n
I/ Ph ¬ng ph¸p ®Ỉt nh©n tư chung
Ph ¬ng ph¸p .
• T×m nh©n tư chung lµ nh÷ng ®¬n thøc, ®a thøc cã mặt trong tÊt cả c¸c h¹ng tư.
• Ph©n tÝch mçi h¹ng tư thµnh tÝch nh©n tư chung vµ mét nh©n tư.
• ViÕt nh©n tư chung ra ngoµi dÊu ngc, viÕt c¸c nh©n tư cßn l¹i cđa mçi h¹ng tư vµo trong dÊu
ngc.
VÝ dơ: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư

2
– y
2
)
= 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y)
2
(x – y)
Bµi tËp tù lun
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) 12xy
2
– 12xy + 3x
b) 15x – 30 y + 20z
c)
7
5
x(y – 2007) – 3y(2007 - y)
d) x(y + 1) + 3(y
2
+ 2y + 1)
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau
a) 23,45 . 97,5 +23,45 . 5,5 -,23,45 . 3
b) 2x
3
(x – y) + 2x
3
(y – x ) + 2x
3
(z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008)
II) Ph ¬ng ph¸p dïng h»ng ®¼ng thøc

3
- 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
A
3
- B
3
= (A - B)(A
2
+ AB + B
2
)
(A + B + C)
2
= A
2
+ B

12
−
k
- A
22
−
k
B + … - B
12
−
k
)
A
12
+
K
+ B
12
+
K
= (A + B)(A
k2
– A
12
−
k
B + A
22
−
k

nn
A
2
B
2
−
n
+ nAB
1
−
n
+ B
n
(A - B)
n
= A
n
- n A
1
−
n
B +
2.1
)1(
−
nn
A
2
−
n

+ 6xy
2
+ 9y
4
= x
2
+ 2x3y
2
+ (3y)
2
= (x + 3y
2
)
2
b) a
4
– b
4
= (a
2
)
2
– (b
2
)
2
= (a
2
+ b
2

– a
3
– b
3
– c
3
Bµi Lµm
a) a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = (a + b)
3
– 3ab(a + b) + c
3
– 3abc
= ( a + b + c)[(a + b)
2
– (a + b)c + c
2
] – 3abc( a + b +c)
= (a + b + c)( a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – bc – ca)

c) (7x – 4)
2
– ( 2x + 1)
2
d) 9(x + 1)
2
– 1
e) 9(x + 5)
2
– (x – 7)
2
f) 49(y- 4)
2
– 9(y + 2)
2
Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) 8x
3
+ 27y
3
b) (x + 1)
3
+ (x – 2)
3
c) 1 – y
3
+ 6xy
2
– 12x
2

– 9t
2
– 2xy + 6zt
Bµi Lµm
a) x
2
– 3xy + x – 3y = (x
2
– 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x
2
– 7xy – 4x + 4y = (7x
2
– 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
c)x
2
+ 6x – y
2
+ 9 = (x
2
+ 6x + 9) – y
2
= (x + 3)
2
- y
2
= (x + 3 + y)(x + 3 – y)
d)x
2
+ y

z + yz
2
+ 2xyz
b) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
Bµi Lµm
a) x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz

2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 3xyz
= (x
2
y + x
2
z + xyz) + ( xy
2
+ y
2
z + xyz) + (x
2
z + yz
2
+ xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
3. Bµi TËp
Bµi 5: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) x
4
+ 3x
2
– 9x – 27

+ z(x + y)
2
– 4xyz
d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y)
IV/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư b»ng c¸ch phèi hỵp nhiỊu ph ¬ng ph¸p
1. Ph ¬ng ph¸p
VËn dơng linh ho¹t c¸c ph¬ng ph¸p c¬ b¶n ®· biÕt vµ thêng tiÕn hµnh theo tr×nh tù sau :
- §Ỉt nh©n tư chung
- Dïng h»ng ®¼ng thøc
- Nhãm nhiỊu h¹ng tư
2. Ví dơ : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) 5x
3
- 45x
b) 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6axy
2
– 3a
2
xy + 3xy
Trường THCS Hoài Mỹ Tổ: Toán – Lý. Trang 4
Chuyên đề: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bµi lµm
a) 5x
3

– (y + a)
2
]
= 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)]
= 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1)
3. Bµi tËp
Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư
a) 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
b) 8x
3
(x + z) – y
3
(z + 2x) – z
3
(2x - y)
c) [(x
2
+ y

– y
3
- z
3
=[(x + y + z)
3
– x
3
] – (y
3
+ z
3
)
= (x + y + z – x) [(x+ y + z)
2
+ (x + y + z)x + x
2
] – (y + z)(y
2
– yz + z
2
)
= (y+z)[ x
2
+ y
2
+ z
2
+2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x
2

2
– 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Cách 3: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)
Cách 4: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)
Cách 5: x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2)
2
– 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
3. Bµi tËp
Bµi 9 : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
2
+ 7x +10
b) x
2
– 6x + 5
c) 3x
2
– 7x – 6

4
+ 64 + 16x
2
– 16x
2
= (x
2
+ 8)
2
– (4x)
2
= (x
2
+ 4x + 8)(x
2
– 4x + 8)
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
4
+ 4y
4

b) x
5
+ x + 1
Bµi lµm
a) x
4
+ 4y
4

2
) + (x
2
+ x + 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) – x
2
(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x +1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
– x
2
+1)
Bµi tËp
Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
5
+ x
4
+ 1
b) x

b) x
3
– 3x + 2
c) x
3
– 5x
2
+ 3x + 9
d) x
3
+ 8x
2
+ 17x + 10
e) x
3
+ 3x
2
+ 6x + 4
Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
a) x
3
– 2x – 4
b) 2x
3
– 12x
2
+ 7x – 2
c) x
3
+ x