Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9
Chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi đại trà
môn : Toán lớp 9 năm học 2004 - 2005
A - Phân môn số học
Trong phân môn số học, tiếp nối chơng trình số học ở các lớp 6, 7, 8. Diện học
sinh giỏi đại trà, căn cứ vào tình hình thực tế, về thời gian, khả năng học sinh, giáo
viên cần tập trung vào 2 vấn đề cơ bản : Các bài toán số học trong dấu căn và bài toán
số học với phơng trình nghiệm nguyên.
Chuyên đề 1 : Số học trong căn thức
I - Sơ lợc vấn đề lý thuyết :
Dạy học sinh lý thuyết phần này về cơ bản học sinh đợc trang bị các vấn đề
sau :
1 - Tính hữu tỷ, tính vô tỷ của biểu thức chứa dấu căn.
2 - Tính hữu tỷ, tính vô tỷ của các biểu thức chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia,
căn thức giữa số hữu tỷ và số vô tỷ.
3 - Tính đồng dạng của các biểu thức chứa dấu căn.
II - Các dạng toán điển hính của chuyên đề :
Bài 1 :
Cho x, y Q ; x
5
+ y
5
= 2x
2
y
2
. Chứng minh :
xy

1
Q

y
=
2000
c )
x
5
11
-
12
+
x
= 3y -
14

y
+ 2
d )
x
+
y
=
yx
+
+ 2
Bài 5 : Tìm m N để :
n
38517
+
+
2038517

Chứng minh : Trong 16 số đó tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 9 : Cho A = 2 + 2
128
2
+
n
Z với n N
Chứng minh : A là số chính phơng
Bài 10 : Tìm a, b, c N thỏa mãn :
3
abcbcbaabc
=

Chuyên đề 2 : Phơng trình nghiệm nguyên
I - Sơ lợc các vấn đề lý thuyết :
1
Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9
Dạy học sinh lý thuyết phần này cần trang bị cho học sinh các phơng pháp cơ
bản để giải phơng trình nghiệm nguyên. Hệ thống các phơng pháp giải phơng trình
nghiệm nguyên có thể kể đến là :
1. Phơng pháp đa về dạng tích.
2. Phơng pháp đa về dạng tổng các luỹ thừa.
3. Phơng pháp vận dụng tính chất số :
- Tính chất của số chính phơng
- Tính chất của số nguyên tố
- Tính chất chia hết và chia có d
4. Nhóm phơng pháp phản chứng
- Xét số d từng vế
- Dùng bất đẳng thức
- Phơng pháp cực hạn

5 ) x
2
4xy + 5y
2
= 169
6 ) 3x
2
+ 2y
2
+ z
2
+ 4xy + 2xz = 26 - 2yz
7 ) x
2
+ xy + y
2
= x
2
y
2
8 ) 3x
2
+ 4y
2
= 6x + 13
9 ) (x + 1)(y + 1) = z
2
10 ) x
4
+ x

= xy + 8
17 ) x
2
- y
3
= 7
18 )
2
1
2
111
=++
xyyx
(x, y N)
19 ) 2
x
+ 57 = y
2
20 ) x
2
+ y
2
= 3z
2
(x, y N
*
)
III . ứng dụng giải phơng trình nghiệm nguyên :
Bài 1 : Tìm x Q để x
2

1.Bài toán rút gọn biểu thức ( Các phơng pháp rút gọn biểu thức có chứa dấu căn) đặc
biệt lu ý đến các bài toán có điều kiện kèm theo.
2.Chứng minh đẳng thức chứa dấu căn hoặc chứng minh biểu thức chứa dấu căn thoả
mãn ĐK nào đó.
3.Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức chứa dấu căn.
4.Phơng pháp tìm cực trị của một số biểu thức chứa dấu căn.
5.Bài toán tính toán giá trị có liên quan đến biểu thức có chứa dấu căn.
Lu ý :
- Tối thiểu các vấn đề trên phải đợc giải quyết đến căn bậc 3
- Các bài tập có sự biến dạng ít nhất về dạng hình thức yêu cầu của bài toán.
II Các dạng toán điển hình của chuyên đề
Bài 1 : Cho biểu thức A =
222
1
1.
1
.2
1
.2
nn
nm
m
n
nm
m
+





+
+
Bài 4 : Trục căn thức ở mẫu : A =
33
93221
2
+
Bài 5 : Chứng minh :
3
Phòng GD - ĐT hớng dẫn ôn thi học sinh giỏi lớp 9
1 )
22
22
baabaa
ba

+
+
=+
2 )
22
22
baabaa
ba


+
=
Bài 6 : Cho ax
3

1
(
2
1
);
1
(
2
1
b
by
a
a
+=+
(a, b 1)
Tính giá trị của P =
1.1
1.1
22
22
+

yxxy
yxxy
theo a, b
Bài 9 : Chứng minh các BĐT sau :
a )
11
+
abba

+
+
+
+
ab
c
ca
b
cb
a
(a, b, c cùng dấu)
f ) Cho a
2
+ b
2
= 1 Chứng minh :
11
+++
abba

22
+
g )
ba
ab
ab
ba
+
+
+

e ) E =
)2)(2(4)1)(1(2)1)(1(
+++++
accbba

Với a, b, c 2 thỏa mãn
393
2
3
2
5
=++
cba
f ) F =
cabcba
+++++
với a, b, c 0 và a + b + c = 1
g ) Cho
2
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+

22




=+
=+
2a12xy
2ayx
22



=
=
42y-mx
2m-y-x





=+
=+
2yx
2x my
Bài 2 : Giải các hệ PT sau :




x -
x
z
z
y
y
111
==
= 1







=
=++
4
12
2
111
2
z
xy
zyx





xyyx
Bài 3 : Cho hệ PT :



=++
+=
myxm
mymx
22)1(
1
a ) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn xy lớn nhất (nhỏ nhất ) nếu có
b ) Tìm m để hệ có nghiệm nguyên (x, y)
c ) Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) mà
12
=
yx
Bài 4 : Tìm giá trị của tham số để :
a >



=
=
1y-mx
m2x
2
y
và