Trơng thcs Cao xuân huy Đề thi chọn hsg lớp 9 - vòng 3
Năm học: 2008 - 2009
Môn Toán ( Thời gian làm bài 150 phút )
-------------------------------------

Câu 1: (3 điểm)
a. Giải phơng trình:

x
1
+
2
2
1
x

= 2
b. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
(y-3)x
2
+ (x+1)y - 9x - 7 = 0
Câu 2: ( 2 điểm)
Giải hệ phơng trình:






=++
=+

Chứng minh rằng:

222
9
cba
R
++


cba
hhh
+
1
+
acb
hhh
+
1
+
bac
hhh
+
1


r2
1
Câu 5: ( 1 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác có các đỉnh là những điểm có tọa
độ nguyên ( Điểm có tọa độ nguyên là điểm có hoành độ và tung độ đều là những

=+
=+
2
11
2
22
yx
yx

Biến đổi hệ ta đợc: 2(xy)
2
- xy - 1 = 0

xy = 1 hoặc: xy = -
2
1
0,5
+ Với xy = 1, Giải ra ta đợc: x = y = 1, ( thỏa mãn )
0,5
+ Với xy = -
2
1
, Giải ra ta đợc: x =
2
31

, y =
2
31
+

2
++
x
= 1

( x = 0, y = 7), ( x = -1, y = 1)
0,5
Nếu: x
1
2
++
x

1. Để y là số nguyên thì: x
1
2
++
x
là Ư(3x+2),
Giải ra ta đợc: x
1
2
++
x
= Ư(7)

x
1
2
++

+
yx
= 0


(x - 1) = 0 hoặc:
[ ]
22
)2(3)1(
+
yx
= 0
0,5
Nếu: (x - 1) = 0. Giải ra ta đợc: y = 2 hoặc: y = -2
0,5
Nếu:
[ ]
22
)2(3)1(
+
yx
= 0.
Giải ra ta đợc: ( x = 1, y = 2),(thỏa mãn)
Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm là: (1, 2), (1, -2).
0,5
3.
Từ các điều kiện đã cho ta có: a = 4 - 2c, b = 3c - 3.
0,5
Từ: a, b không âm ta có: 1


)
11
(
4
11
yx
xy
yxyx
với: x, y

0
Ta có:
cba
hhh
+
1

)
11
(
4
1
cb
a
hh
h
+

))
11

1
+
bac
hhh
+
1

)
111
(
2
1
cba
hhh
++
Mà:
cba
hhh
111
++
=
S
cba
2
++
=
r
1
( vì: S = pr )


++++
++++
++++
zxyzxyzyx
zxyzxyzyx
zyx
zyx
222
9)
111
)((
, với x, y, z

0
Ta đợc: M

accbbacba
hhhhhhhhh
+++++
9
0,5
Mà:
accbbacba
hhhhhhhhh
+++++
9

)(2
9
cba


222
9
cba
R
++
Vậy:
222
9
cba
R
++


cba
hhh
+
1
+
acb
hhh
+
1
+
bac
hhh
+
1