PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO
HUYỆN BUÔN ĐÔN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3 điểm): Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
64
1
1
1
1
1
1
≥






+






+


=
+
=
+
=
+
2
1
1
5
1
1
2
zx
xyz
zy
xyz
yx
xyz
Câu 4 (2 điểm): Cho
112
1
112
1
2
++
−
−+
=
x

DK). Chứng minh CI = CB và DF là
đường trung tuyến của tam giác ADC.
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: TOÁN
Câu 1 (3 điểm):
Ta có
a
1
1
+
=
a
a 1
+
=
a
cbaa
+++
(0,5 điểm)
Do a, b, c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

a
1
1
+
=
a

4
2
4
(0,5 điểm)
Tương tự:

b
1
1
+

≥

b
acb
4
2
4
(0,5 điểm)

c
1
1
+

≥

c
abc
4


+






+
= 64 (đpcm) (1 điểm)
Câu 2 (3 điểm):
ĐK: x
≥
2 ; y
≥
3 ; z
≥
5
Ta có:
x + y + z + 4 = 2
2x −
+ 4
3y −
+ 6
5z −

⇔
(x - 2 - 2
2x −
+ 1) + (y - 3 - 2.2



− − =


− − =


(0,5 điểm)

⇔
2 1
3 2
5 3
x
y
z

− =


− =


− =


(0,5 điểm)
⇔
2 1

(0,5 điểm)
Câu 3 (4 điểm): Giải hệ phương trình:









=
+
=
+
=
+
2
1
1
5
1
1
2
zx
xyz
zy
xyz
yx
xyz









=+
=+
=+
(3)
3
211
(2)
6
511
)1(
2
111
xyyz
xyxz
xzyz
(1 điểm)
(1) + (2) + (3):
(4) 1
111
=++
yzxyxz
(0,5

1
2
++
−
−+
=
x
=
112
112112
2
−+
++−++
(0,5 điểm)
=
2
2
2
2
=
(0,5 điểm)
Ta lại có:
A = (x
4
– x
3
– x
2
+ 2x – 1)
2003

Vẽ hình; viết GT, KL đúng (0,75
điểm)
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho góc DAE bằng 15
0
, suy ra
∧
NAE
= 90
0
(0,5 điểm)
BAMDAE
Λ=Λ⇒
(g.c.g) (0,5 điểm)
⇒
AE =AM (0,25 điểm)
Xét tam giác EAN vuông tại A, đường cao AH,
ta có:
222
111
AHANAE
=+
(0,5 điểm)
suy ra:
222
111
AHANAM
=+
(1) (0,5 điểm)
Xét tam giác đều ADC, đường cao AH
ta có: AH

⊥
AD (gt)
⇒
∧∧
=
DBAHCA
( hai góc đồng vị) mà
2
1
==
∧∧
DBADKA
Sđ DA (0,5 điểm)
⇒

∧∧
=
DKAHCA
Mà
∧∧
DKAHCA,
cùng chắn FA nên tứ giác AFCK nội tiếp. (0,5 điểm)
b) Ta có
2
1
==
∧∧
DAEDKE
Sđ DE
2

∧∧
=
ICADKB
(0,25 điểm)
⇒
0
180
=+=+
∧∧∧∧
DKBICBICAICB
nên tứ giác KBCI nội tiếp
⇒
2
1
==
∧∧
CIBEKB
Sđ BC và
2
1
==
∧∧
IBADKE
Sđ IC (0,25 điểm)
Mặt khác
∧∧
=
DKEEKB
( vì cùng chắn hai cung EB, ED bằng nhau)
⇒