đề thi học sinh giỏi - lớp 9
môn toán -thời gian : 150 phút
Câu 1: (4 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A =
23
1
12102
3
)2)(34(2
3)6(6


+

+
+
xxxxxxx
xxx
điều kiện x # 4;
x # 9 ; x # 1
Câu 2: (3 điểm) giải phơng trình
48
2
+
x
= 4x - 3 +
35
2
+
x
Câu 3: (4 điểm) Phân tích ra thừa số A = x

4
1
)(
2
1
yxyx
x
y
y
x
++++
Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đờng
cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác
thành 4 phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.
Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đờng chéo AC&BD
vuông với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lợt là
chân đờng vuông góc hạ từ H xuống các đờng thẳng AB, BC; P&Q lần lợt là
giao điểm của đờng thẳng MH & NH với các đờng thẳng CD; OA. chứng
minh rằng đờng thẳng PQ // đờng thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên
một (0).
đáp án đề thi hsg lớp 9- môn toán
Câu 1: (4đ)
. x - 4
x
+ 3 =
)1(3)1(

xxx
= (
)1)(33

do x

1; x

4; x

9
0,5
0.5
0.5
A =
)2)(3)(1(2
)3(2)1(33)6(6
xxx
xxxxx
−−−
−−−−−+−
=
)2)(3)(1(2
6233366
xxx
xxxxxx
−−−
+−+−−−−
=
)2)(3)(1(2
)3()3()3(2)62(
xxx
xxxxxxx
−−−

0
. ta c/m x = 1 lµ n
0
!
* x > 1 VT < 1,VP> 1 => x > 1 k
0
ph¶i lµ n
0

. 0
≤
x < 1: VT > 1, VP < 1=> 0
≤
x < 1 k
0
ph¶i lµ n
0

. x < 0 : VT > 0 ,VP < 0 => x < 0 k
0
ph¶i lµ n
0

KL: x = 1 lµ n
0

pt
0.5
0.5
0.5

Do max (x; y; z) < x + y + z - max (x; y; z)
-> 1/2 (x+y+z) > ( x; y; z)
=> 1/2(x+y+z) (x - y)
2

≥
z (x - y)
2
(1 )
1/2 (x+y+z) (y - z)
2

≥
x (y - z)
2
(2)
1/2(x+y+z) (z - x)
2

≥
x (y - z)
2
(3)
céng 2 vÕ ta ®îc
A
≥
z (x - y)
2
+ x (y - z)
2

)(
2
1
yxyx
x
y
y
x
+++++
=> Q

-
2
5
. Do đó GTNN của Q = -
2
5
dấu bằng xảy ra khi x
2
= y
2
= 1
0.5
0.5
1
1
Câu 5: (3đ)
Gọi H; D; P lần lợt là chân các đờng cao, phân giác trung tuyến hạ từ
B, xuống cạnh AC. A
Ta có: AB

S
S
CBD
ABD
nên S
ABC
=
4
7
S
CBD

-> S
CBD
=24/7 (cm
2
)
S
BDP
= S
CBD
- S
CBP
=
7
24
- 3 =
7
3
(cm