UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS - năm học 2007 - 2008
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức:
4 4
2 14 28 16
x x x x
A
x x x x
+
=
+
1. Tìm
x
để
A
có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức
A
.
2. Tìm các giá trị nguyên của
x
để biểu thức
A
nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (4,0 điểm)
Cho phơng trình
2 2
2 6 0x mx m m + =

8x x+ =
Bài 3: (3,0 điểm)
1. Cho bốn số thực bất kì
, , ,a b c d
. Chứng minh:
( ) ( )
2 2 2 2
ab cd a c b d+ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
2. Với giá trị nào của góc nhọn

thì biểu thức
3sin 3 cosP

= +
có giá trị lớn
nhất ? Cho biết giá trị lớn nhất đó.
Bài 4: (6,0 điểm)
1. Cho đờng tròn (O) và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên
cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M là
trung điểm của CD. Hỏi M di chuyển trên đờng nào ? Nêu cách dựng đờng này và
giới hạn của nó.
2. Trong hình bên, cho biết M là trung điểm của
AC và các đờng thẳng AD, BM và CE đồng qui
tại K. Hai tam giác AKE và BKE có diện tích là
10 và 20. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 5: (3,0 điểm)
1. Tìm số tự nhiên
n
để

2
3 2
3 2
3 2 2
1 4
1 1 4
4 4
2 14 28 16 2 1 2 4
2 2 12 28 16
t t
t t t
t t t
A
t t t t t t
t t t t

+
+
= = =
+
+
Để biểu thức A có nghĩa thì:
0, 1, 2, 4 0, 1, 4, 16t t t t x x x x
(*)
Khi đó, rút gọn ta đợc:
( )
( )
1 1
2 2
2 2

phải bằng
1
hoặc
3

.
- Nếu 2 1 1t t = = ( loại vì trái điều kiện (*)).
- Nếu
2 3 1 0t t
= = <
(loại)
- Nếu 2 1 3 9t t x = = = và
2A =
- Nếu
2 3 5 25t t x
= = =
và
1A =
Vậy: Để A nhận các giá trị nguyên thì 9x = và 25x = .
0,5
0,5
0,5
0,5
2
(4 điểm)
2.1
Để phơng trình
2 2
2 6 0x mx m m + =
có hai nghiệm thì:

18 6 9
2; 3
6 7 6 7
m m m
m m
m m
m m m m

+ +
= =

2
1 2
8 48 0 4; 12m m m m = = =
(thỏa điều kiện (1) và đều khác -2 và
khác 3)
0,5
0,5
0,5
2.2
Với điều kiện (1),
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
8 2 64 2 2 64x x x x x x x x x x x x+ = + + = + + = (2)
0,5
+ Nếu
1
x

+ Nếu
1
x
và
2
x
trái dấu thì
( ) ( )
2
1 2
0 6 2 3 0 2 3x x m m m m m< = + < < <
(4)
Khi đó (2)
( )
( )
2
2 2
1 2 1 2
4 64 4 4 6 64x x x x m m m + = =
6 16 10m m
+ = =
(không thỏa điều kiện (4).
0,5
+ Vậy, để
1 2
8x x+ =
thì
4m
=
3

3.2
áp dụng kết quả trên, ta có:
3sin 3 cos 0P

= + >
nên
(
)
( )
2
2 2 2
3sin 3 cos 3 3 sin cos 2 3P

= + + + =
max
2 3P = khi
0
sin 3
3cos 3 sin 0 3 60
cos
3
tg



= = = =
1,0
0,5
4
(6,0 điểm)

1,0
3
+ Dựng tia OI cắt đờng tròn (O) tại N, ta
có:
ã
ã
ã
ã
1
2
NBC BAC BDC IMC= = =
.
+ Dựng tia
'//In BN
, dựng đờng thẳng qua
I và vuông góc với 'In cắt trung trực đoạn
IC tại O
1
. Đờng tròn tâm O
1
và đi qua C là
đờng cần dựng.
+ Khi A chạy trên cung lớn BC tới
trùng với A thì D trùng với
0
D
trên
tiếp tuyến Bt của (O) và BD
0
= BC ,

= = =
ì
.
+ Suy ra:
1
2
2
ACE
BCE ACE
BCE
S
S S
S



= =
(1)
+ Tơng tự:
1
AKM
AKM CKM
CKM
S MA
S S
S MB



= = =

(3,0 điểm)
5.1
Để
18n
+
và
41n

là hai số chính phơng
2
18n p + = và
( )
2
41 ,n q p q = N
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
18 41 59 59p q n n p q p q = + = + =
Nhng 59 là số nguyên tố, nên:
1 30
59 29
p q p
p q q
= =



+ = =

Từ
2 2

Vậy: Để mỗi vùng con của bảng chứa ít
nhất 4 ô
1 1ì
đợc quét sơn, thì chỉ cần quét số ô nhỏ
nhất là 7 ô nh hình vẽ bên.
0,75
5