Phòng giáo dục Bình xuyên
Kỳ thi học sinh giỏi THCS
Vòng 1 năm học 2006-2007
-------------------------
đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------------------------
Câu 1:
a, Cho 3 số hữu tỉ a, b, c thoả mãn: ab + ac + bc = 1.
Chứng minh rằng: (a
2
+ 1)(b
2
+1)(c
2
+1) là bình phơng của một số hữu tỉ.
b, Cho x, y là các số thực sao cho x + y = 2.
Chứng minh: x
4
+ y
4
2
Câu 2: Với n là số nguyên dơng, chứng minh: n
2
+11n+39 không chia hết cho
49
Câu 3: Tìm các số x, y, z thoả mãn phơng trình:
x + y + z + 4 = 2
2


môn: Toán - lớp 9
Câu 1: (2,25 điểm).
a, Ta có: (a
2
+ 1)(b
2
+1)(c
2
+1) =
= (a
2
+ ab + ac + bc)( b
2
+ ab + ac + bc)( c
2
+ ab + ac + bc) (0,5 đ)
=
[ ]
))(( caba
++
[ ]
))(( cbba
++
[ ]
))(( cbac
++
=
[ ]
))()(( cbcaba
+++

4
+ 6k
2
0 nên 2(k
4
+ 6k
2
) + 2 2 tức là x
4
+ y
4
2
(0,25 đ)
Dấu đẳng thức xảy ra khi k
4
+ 6k
2
= 0 hay k = 0, hay x = y = 1.
(0,25 đ)
Câu 2: (1,25 điểm).
Ta có n
2
+ 11n + 39 = (n
2
+ 11n + 18) + 21 = (n + 9)(n + 2) + 21.
(0,5 đ)
Vì hiệu của (n + 9) và (n + 2) là 7 nên chúng cùng chia hết cho 7 hoặc
cùng không chia hết cho 7
(0,25 đ)
- Nếu (n + 9) và (n + 2) cùng chia hết cho 7 thì (n + 9)(n + 2) chia hết


y
- 6
5

z
= 0
(0,25 đ)

[ ]
122)2(
2
+
xx
+
[ ]
42).3(2)3(
2
+
yy
+
[ ]
93).5(2)5(
2
+
zz
= 0

(0,5 đ)



35

z
= 0 z = 14
(0,25 đ)
Vậy các số cần tìm là x = 3; y = 7; z = 14.
(0,25 đ)
Câu 4:
Từ x
2
+ xy + y
2
= x
2
y
2
(1)

x
2
+ 2xy + y
2
= x
2
y
2
+ xy.

(x+y)