Phần I : Đại số
Các chuyên đề về biến đổi biểu
thức
Biến đổi biểu thức nguên
A.
Một số hằng đẳng thức cơ bản
(a + b)
2
=a
2
+ 2ab + b
2
.
(a + b + c )
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2ac + 2bc
(a
1
+ a
2
+...+ a
n
)
2
= a

= a
1
2
+ a
2
2
+ ...+ a
n
2
+


= +=
1
1 1
2
n
i
n
ij
ji
aa
x
n
- y
n
= (x - y)(x
n-1
+ x
n-2

2k-2
y
2
- ... + y
2k
) ; k nguyên d-
ơng .
( x + y )
3
= x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
( x - y )
3
= x
3
- 3x
2
y + 3xy
2
- y
3
B.
Bảng các hệ số trong triển khai (x + y )n -
Tam giác Pascan

++++
++++++++++++
+++=+++
Chuyên đề 1



=++
==
=++
0 c b a
cba
3a )
333
abccbc
Giải
a) Biến đổi vế trái ta có :
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
abcbaccabcbacba
abcccbacbcaabbab
ccbacbabacbacba
63
633333a
33
222333

333
2
1

)(cba
3cba
3)(33
cacbbacba
bcacabcba
cbaabccbaba
abcbaabcbaabccba
+++++++=
++++=
+++++++=
+++=++
Vậy điều kiện cần và đủ để :
abccb 3a
333
=++
là
- Hoặc a + b + c = 0
- Hoặc (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (a + c)
2
= 0

a = b = c

( )
( ) ( )
( )
( )( )( )
( )( )( )
cacb
cbbaba
cbbaba
baccbbabcbabacacbcbaa
=
+=
=
++=++
b-a
c-b
)(c-b
)
2222
222222
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )
[ ]
( )( )( )( )
cbacacb

+ b
3
=(a + b)
3
-3ab(a + b) = S
3
- 3SP .
Vì vậy
x
3
- 3(a
2
+ b
2
)x + 2(a
3
+ b
3
) = x
3
- 3(S
2
- 2P)x + 2(S
3
-3SP)
= (x
3
-3S
2
x + 2S

+ 7x
2
- 6x + 1 .
c. 6x
5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x +1 .
d. x
8
+ x
4
+1 .
e. x
10
+ x
5
+ 1 .
f. x
12
+ 1 .
g. x
6
+ 3x
5
+ 4x

5
- x
5
- y
5
- z
5
.
2. Đơn giản biểu thức
a. (x + y + z)
3
- (x + y - z)
3
- (y + z - x)
3
- (z + x - y)
3
.
b. ( 2 + 1)(2
2
+ 1)(2
4
+ 1)(2
8
+ 1)(2
16
+ 1)(2
32
+ 1) .
3. Ba số a , b , c thoả mãn điều kiện

- 3ab
2
= 19 ; b
3
-3a
2
b = 98 . Tính P = a
2
+ b
2
.
6. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1 . Tính a
2
+ b
9
+ c
1945
.

y
2
) .
c. 10(x
7
+ y
7
+ z
7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
5
) (x
5
+ y
5
+ z
5
)
.
8. Cho các số a , b, c , d thoả mãn a
2
+ b
2
+ (a + b)
2
= c

2
.
Thì a
4
+ b
4
+ (a - b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c - d)
4
.
Biến đổi phân thức hữu tỷ
I.
Ví dụ :


Ví dụ 1 :
ba số thực khác không a , b , c thoả mãn điều kiện a + b +
c 0 và
cbacba
++
=++
1111
Chứng minh rằng trong ba số a , b , c có hai số đối nhau . Từ
đó suy ra mọi số nguyên lẻ ,thì
nnnnnn

Vậy nếu n lẻ thì






=
=
=
nn
nn
nn
ac
cb
ba
nnnnnn
cbacba
++
=++
1111

Ví dụ 2
: Rút gọn biểu thức :







1
5224333
Giải :
Đặt S = a + b và P = ab .
a
2
+ b
2
= (a + b)
2
- 2ab = S
2
- 2P
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) = S
3
- 3SP .
Vậy :
1 1 a b S
a b ab P
+
+ = =
2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2a b S P

11
S
6)2(3)3(
S
1

623)3(1
baPP
S
SPPSSPPSS
P
P
S
SP
PS
SP
PSS
S
A
===++=
+

+

=

Ví dụ 3
Cho ba số a , b , c phân biệt . Chứng minh rằng giá trị của
biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x :
))((


1. Rút gọn biểu thức






+






+






+






+

1000
1
3
1000
1
2
1000
1
1
1000
1
1000
1999
1
3
1999
1
2
1999
1
1
1999
1
A







4
1
9
4
1
1
4
1
n
B
, với n 1
zxy
xy
zxy
xy
xy
xy
C
22
2
+
+
+
+
+

=
Trong đó x > 5 và
5
2515

kkk

+

+

=
ứng với k = 0 , 1 , 2 , 3 và a , b , c đôi một khác nhau .
))()(())()(())()(())()(( cdbdad
d
dcbcac
c
dbcbab
b
dacaba
a
E
kkkk

+

+

+

=
ứng với k = 0 , 1 , 2 , 3 và a , b , c , d đôi một khác nhau .
.
)2()2(
aI


+

+=







+
+







+
+







+




++=++
cba
cba
3. Cho ba số thực a , b , c thoả mãn





=++
=++
2001
1111
2001
cba
cba
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a , b , c bằng 2001 .
4. Cho a , b , c R chứng minh rằng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
235
222333555
accbbaaccbbaaccbba
++

++
=

1
2
32
1
21

==

=

thì a
1
= a
2
= ...= a
n
.
6. Cho ba số khác nhau a , b , c .
a. Chứng minh rằng khi k = 0 , 1 , 2 thì ta có hằng đẳng thức
.
))((
))((
))((
))((
))((
))((
kkkk
x
bcbc
axbx

a
.
Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
0
222
=

+

+

ba
c
ac
b
cb
a
.
8. Ba số a , b , c khác nhau và khác 0 thoả mãn điều kiện a + b + c = 0
Chứng minh rằng
9
=








a
1
+
là một số nguyên . Chứng minh rằng với mọi số
nguyên n thì
n
n
a
a
1
+
là một số nguyên .
10.a. Cho a > b > 0 , n N

*
. So sánh hai số A và B :
n
n
n
n
b
b
aaa
aaa
A
++++
++++
=
++++
++++

=
k ,
))(())(())(( bcac
c
cbab
b
caba
a
S
kkk
k
N .
Tính S
0
, S
1
, S
2
,S
3
.
b. Cho ba số a , b , c đôi một khác nhau đặt :
))((
))((
))((
))((
))((
))((
bcac
bcac

.
Biết x , y , z thoả mãn các điều kiện
2
2
2
2
2
2
222
222
c
z
b
y
a
x
cba
zyx
++=
++
++
.
13.Cho các số a , b , c , x , y , z thoả mãn :





+=
+=

5
1
x
xN
+=
.
Biến đổi biểu thức có chứa căn
thức
I
. Một số kiến thức cơ bản
1. Căn bậc hai
Mỗi số dơng a > 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau :
a
> 0 gọi là căn bậc hai số học hay căn bậc hai dơng của a và -
a
< 0 là căn bậc hai âm của a .
Số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0 .
Số âm không có căn bậc hai .
Quy ớc : sau này , nếu không nói gì thêm thì ta hiểu rằng
căn bậc hai của số a > 0 là căn bậc hai dơng của a .
2.
Căn bậc n
( n N , n 2 )
a. Định nghĩa : Căn bậc n ( n N , n 2 ) của một số a là một số
thực b (nếu có) sao cho b
n
= a .
b. Chú ý :
Đối với căn bậc lẻ (n = 2k + 1): mọi số đều có căn bậc hai lẻ
và chỉ có một căn bậc hai lẻ . Căn bậc hai lẻ của số dơng là số

2 1 2 1 2 1
k
k
k k k
A A
AB A B
+
+
+ + +
=
=
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
, B 0
k
k
k
k
k
k
A A
B
B
A B A B
+
+

2
=
=
k
k
k
k
k
k
BABA
B
A
B
A
Đẳng thức sau thờng đợc sử dụng trong các phép biến đổi căn thức
0A ,
=
mn
m
n
AA
c.
Chú ý :
Trong các biến đổi vừa nêu k , m , n là những số
nguyên dơng
II
. Một số ví dụ

+
=
Ta có 3 = 2 + 1 = a
3
+ 1 = (a + 1)(a
2
- a + 1) .
1 = 2 - 1 = a
2
- 1 = (a - 1)(a
2
+ a + 1) .
Biến đổi vế trái ta có :
3
3
2
3
2
3
23
3
3
3
33
2
1
1
1
)1(3
3

aa
V
ậy :
3
2
3
9
1
1
aa
a
+
=
tức là
333
3
3
9
4
9
2
9
1
12
+=
(đpcm) .

Ví dụ 2
Cho hai số dơng a và b . Chứng minh rằng
Giải

+ b
2
)
=(a + b)
2
-2(a + b)
22
ba
+
+ (a
2
+ b
2
)
=(a + b -
22
ba
+
)
2
Vì a , b đều dơng nên (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
> a
2
+ b
2

yxy
yxyxyxyxyxyxyxA
++=
++=++++=
Từ giả thiết ta có x
2
y
2
nên
2222
yxyx
=
. Vậy
A
2
= 2(x
2
+ y
2
) + 2(x
2
- y
2
) = 4x
2

A =
x2

(1)


Ví dụ 4
Với mỗi k nguyên dơng đặt :
( ) ( )
kk
k
S 1212
++=
.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng m , n ( m > n) thì
S
m + n
+ S
m - n
=S
m
S
n
.
Giải
Đặt





=
+=
12
12

+ x
2
m + n
+ x
1
n
x
2
n
(x
1
m - n
+ x
2
m - n
)
= x
1
m + n
+ x
2
m + n
+ x
1
m
x
2
n
+ x
1

Bài tập

1.Rút gọn biểu thức :
24923013
9045316013
+++=
+=
B
A
521028521028
++++=
C
22244222
223
223
)(
111
)(
11
24)1(3
24)1(3
61510296125,0
22175
78
1
babababa
M
aaaa
aaaa
F

3
1
1
1
3
1
2
1
1
1
9...99,09...991
+++++++++=
++=
C
B
nn

122
23
++=
xxD
Với










=
x
. Tính F = x
3
+ 3x + 2 .
c. Tính tổng N = a
1
+ a
2
+ ...+ a
99
. Với :
,991, n ,
1)1(
1
=
+++
=
nnnn
a
n
.
4. a. Cho
12
221


=
x

2
22
3
+
+
=
x
xxx
D
.
c.1) Rút gọn C và D .
c.2) Tìm các giá trị của x để C = D .
d.
. 1
2
1
1
2
2
39a3a
E

+
+



+
+
=

( )
2
2
2
2
2
11
11
=++
+
+

++

aa
aa
aa
aa
aa
với a 0 .
c.
=++++++++
bcaccbabcaccba 22




<+
++
c ba nếu

1
22222
222222
>
+++
+++++
. ( ở vế trái tử có
n dấu căn , mẫu có n -1 dấu căn .
7. a. Cho a , b , c , d , A , B , C , D là những số dơng và
D
d
C
c
B
b
A
a
===
.Chứng minh rằng
))(( DCBAdcbadDcCbBaA
++++++=+++
b. Cho
3
2
3
23 2
3
422
3
242

nguyên dơng lẻ n , ta đều có :
nnnn
cbacba
++=++
.
8. a. Chứng minh rằng với
8
1
>
a
thì số sau đây là một số nguyên :
33
3
18
3
1
3
18
3
1
+
+
+
+=
aa
a
aa
ax
.
b. Chứng minh rằng






+
=
33
2
62125
2
62125
1
3
1
x
.
b. Chứng minh rằng x
0
=
3236322
+++
là một nghiệm
của phơng trình : x
4
- 16x
2
+ 32 = 0 .
c. Chứng minh rằng
33

, ... , d
k
, ...
với
2
2
53
2
53










+








+
=

B
x
=
.
Nếu A = 0 và B = 0 thì tập nghiệm của phơng trình là R .
Nếu a = 0 và B 0 thì phơng trình vô nghiệm .
Chú ý : Nếu A hoặc B là những biểu thức khá cồng kềnh hoặc chứa
nhiều tham số thì phải tinh ý xem phơng trình đã cho có phải là dạng bậc
nhất đối với ẩn hay không .
c.
Ví dụ
:

Ví dụ 1
Giải phơng trình
55
4
56
3
57
2
58
1
+
+
+
=
+
+
+

59
==+
=






++
x
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất là x = - 59 .

Ví dụ 2
Giải phơng trình

++
++++
=
++
+
+
+
+
+
+

411
a
1

++
=
++
+
++
+
++

++
=






+
+
+






+
+
+



++

Ví dụ 3
Giải phơng trình :
0
111
0 c , b , a
111
2
++






++=

+

+

bcacabcbaab
cx
ac
bx
bc
ax
vàvới
(3)

ab

a b c a b c a b c
x
ac ab bc ac ab
x a b c
ac ab ac bc
x a b c
ac bc
x a b c
+ + + + + +

+ + = + +
ữ


+ + = + + + +
ữ ữ


+ + + + =
ữ

= + +

Ví dụ 4
Giải phơng trình :
0
111
i

accbba
cabcabx
accbba
ac
cabcab
cb
cabcab
ba
cabcab
x
accbba
ba
ab
c
ac
ca
b
cb
bc
ax
accbba
ac
ca
cb
bc
ba
ab
cbax
accbba
++=


+
+
+
+
+

+
++
+
+
++
+
+
++
=






+
+
+
+
+




+
+
+

+
+
+
+
+
+++=






+
+
+
+
+

x
0
111

111111

111


2
=
a
b
2

.
> 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
a
b
x
a
b
x
2
;
2
21

=
+
=
.
3.
Một số ph

ơng trình quy về ph

ơng trình bậc hai


Giải phơng trình :
x
4
+ 24x - 112 = 0 . (5)
Giải : Đặt t = x
2
0 , ta có
(5) t
2
+ 24t -112 = 0 t = -28 (loại) hoặc t = 4 .
Với t = 4 thì x = 2 . Vậy phơng trình đã cho có hai
nghiệm là : x = -2 và x = 2 .
b.
Ph

ơng trình dạng:
(x + a)
4
+(x + b)
4
= c .
b.1
Cách giải :
Đặt t =
2
ba
x
+
+
, đa về dạng phơng trình trùng

- 3
c .Ph ơng trình có dạng :(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (*),
với a + b =c + d
c.1
Cách giải :
Đặt t = x
2
+ (a + b)x + e , trong đó e là một số
thực đợc chọn thích hợp
c.2
Ví dụ :


Ví dụ 7 :
Giải phơng trình :
(x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) = 112 .(7)
Giải:
( )( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )( )
(7) 11210343
1125241)7(
22
=++
=++

Ví dụ 8
:

Giải phơng trình
(4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4 (8)
( )( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )( )



=
=
=+=+
+=
=+++
=+++
2
3
06t42)1)(t-(t(8)
: ta1112 t :
42111211112
423141112)8(:
2
2
22
t
t


d.
Ph

ơng trình có dạng
: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0 ,
với
2
2
d
b
a
e
=
* Đặc biệt khi



=
=
' db
ae
Ta có phơng trình :
ax

+ 74x
2
- 105x + 50x = 0
(9) .
Giải :
Với x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình đã cho . Chia
cả hai vế của phơng trình (9) cho x
2
ta có :
2
2
2
2
2 2
2
2
1 1
(9) 2 21 74 105 50 0
25 5
2 21 74 0 .
5 25
t 10
9
10) 21 74 0 2 21 54 0
2
6
x x
x x
x x
x x



=
=
=+
2
2
5
2
95
x
x
x
x
+) Với t = 6 thì



=
=
=+
5
1
6
5
x
x
x
x
Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm :

Ví dụ


Ví dụ 10
:

Giải phơng trình 2x
3
+ 5x
2
+ 2x - 9 = 0
(10) .
Giải : Vì 2 + 5 + 2 - 9 = 0 nên x
0
= 1 là một nghiệm của ph-
ơng trình (10) .Ta phân tích vế trái của (10) thành tích
các nhân tử , trong đó có một nhân tử x - 1 , ta có :
(10) (2x
3
- 2x
2
) + (7x
2
-7x) + (9x - 9) = 0
2x
2
(x - 1) +7x(x - 1) + 9(x - 1) = 0
(x - 1)(2x
2
+ 7x + 9) = 0

xxxx
.
b.
3
)1(
2
2
2
=
+
+
x
x
x
.
c.
1
)1(
11
22
=
+

xx
.
d.
523
)1(
1
)3(






=

+
+







+
x
x
x
x
x
x
.
f.
02
1
3
)1(
2


aaaa
aaaa
x
xxxx
xxxx
a
2. Giải các phơng trình :
a. x
4
- 4x
3
+ 3x
2
+ 8x -10 = 0.
b. 2x
4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0.
c. x
4
- 2x
3
- 6x
2
+16x - 8 = 0.
d. x

= 2 .
j. (1 + x)
4
= 2(1 + x
4
) .
k. (x + 3)
4
+ (x + 5)
4
= 2 .
l. (x
2
+ 3x - 4)
2
+ 3(x
2
+ 3x - 4) = x + 4 .
m. x
4
+ (x - 1)(x
2
- 2x + 2) = 0 .
n. 2000(2001 - 2000x
2
)
2
= 2001 - x.
3. a. Tìm a sao cho phơng trình sau có nghiệm duy nhất và nghiệm
đó dơng

b. Tìm m để phơng trình (m
2
- m)x = m - 1 có nghiệm duy nhất .
c. Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất :
0
145
352)23(
2
22
=
+
+
xx
aaxax
.
d. Tìm tất cả số nguyên dơng p > 1 sao cho phơng trình sau có
nghiệm duy nhất :
01
1
1
1
23
=+








1
1
1
b.
Định lý Viét
I.
Kiến thức cơ bản
1.
Định lý viét đối với ph ơng trình bậc hai
a.
Định nghĩa thuận :
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+
bx + c =0 (a 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì
a
c
x
a
b
xx
==+
2121
x và
.
b.



= =
=+



=
=+
2bc
-qcb

1
và
ab
pba
Nên (b - a)(b - c) = b
2
- (a + c)b + ac = [b
2
+ (a +c)b + ac] -2(a +c)b
= (b + a)(b + c) - 2(ab + bc) = (-p)(-q) - 2( 1+ 2) = pq - 6 .
Vậy (b - a)(b - c) = pq - 6 .

Ví dụ 2 :
Cho m 0 và phơng trình mx
2
+ px + q = 0 (1)
có hai nghiện dơng x
1






>==
>

=+=
=





>=
>+=

0
0
04

0
0
0
211
211
2
1
211

nên x
3
và x
4
cùng dấu , vì
0
2
>

=

=
q
m
m
p
q
p
S
nên x
3
và x
4
cùng dấu dơng .
b. Ta có : x
1
+ x
2
+ x
3

p
q
p
m
p
=



















+

=

+

+

xxx
mq
p
q
p
m
p
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



=
=






=

=

mp
qm
mqp
q

, x
2
, ... , x
n
(các nghiệm không nhất thiết
phân biệt ) thì ta có hệ thức Viét sau :
.
2
.
.
1
1
1
21
2
1232121
1
221

<<<

=



=+++++++
=+++
n
k
n


b
. Định lý đảo :
Cho n số thực tuỳ ý
1
,
2
, ... ,
n
, đặt
.
2
.
.
21
1212
211
.
1
1
21
nn
k
nn
n
S
iii
S
S
S

n-1
+S
2
x
n-2
- + (-1)
k
S
k
x
n - k
+ ...+ (-1)S
n
= 0 .
Chẳng hạn định lý Viét cho phơng trình bậc ba phát biểu
nh sau :
Nếu : x
1
, x
2
, x
3
là nghiệm của phơng trình bậc ba :
ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 .
Thì :
.

3
+ px + q = 0 . p , q R
Chứng minh rằng x
1
3
+ x
2
3
+ x
3
3
= 3x
1
x
2
x
3
.
Giải :

Theo hệ thức Viét cho phơng trình bậc ba ta có x
1
+ x
2
+ x
3
= 0 .
Vì x
1
3

x
2
- x
2
x
3
-x
3
x
1
) .
Nên x
1
3
+ x
2
3
+ x
3
3
- 3x
1
x
2
x
3
= 0 .
Suy ra x
1
3

2
+ x
3

Giải :
Theo hệ thức Viét cho phơng trình bậc ba thì
(3) .
(2) .
(1) .
321
133221
321
rxxx
qxxxxxx
pxxx
=
=++
=++
Vì x
1
= x
2
+ x
3
nên từ (1) suy ra x
1
=
2
p


Chú ý rằng phơng trình này có nghiệm khi và chỉ khi :
2
222
16
5
04
4
5
4
4
4
pqq
pp
q
p
=








=
.
Chẳng hạn khi p = 4 , q = 1 thì x
2
, x
3

, suy ra x
1
= x
2
+ x
3
= -2 .
II
. Bài tập
1.Giả sử x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình x
2
+ px - 1 = 0 với p là số
nguyên lẻ . Chứng minh rằng : với số tự nhiên n tuỳ ý , các số S
n
= x
1
n
+
x
2
n
và S
n+1
= x
1
n+1

2(b
1
+ b
2
) thì ít nhất một trong hai phơng trình
sau có nghiệm : x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) và x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2) .
5. Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau đây có ít nhất một phơng trình
có nghiệm :
x
2
+ 2ax + bc = 0 (1)
x
2
+ 2bx + ca = 0 (2)
x
2
+ 2cx + ab = 0 (3)
6. Cho x