CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ ỨNG DỤNG
I/ Tóm tắt kiến thức:
Đònh nghóa: Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi mọt trong các dấu >(lớn hơn), < (nhỏ
hơn),
≥
(lớn hơn hoặc bằng),
≤
(nhỏ hơn hoặc bằng).
Ta có: A > B
⇔
A – B > 0 ; A
≥
B
⇔
A – B
≥
0
− Trong bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B, A
≥
B, A
≤
B), A được gọi là vế trái, B là vế phải của
bất đẳng thức.
− Các bất đẳng thức A > B và C > D gọi là bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A > B và
E < F gọi là bất đẳng thức trái chiều.
− Nếu ta có A > B
⇒
C > D, ta nói bất đẳng thức C >D là hệ quả của bất đẳng thức A > B
Nếu ta có A > B
⇔
E > F , ta nói hai bất đẳng thức A > B và E > F là hai bất đẳng thức tương

2
, a
3
, ......,a
n
≥
0(với n số)
1 2
......+ + +
n
a a a
n
1 2
...
n
n
a a a
Đấu đẳng thức xảy ra khi a
1
= a
2
= ..... = a
n
 Ứng dụng:
- Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất:
+ Nếu a + b = k( k là hằng số) thì ab
≤
2
( )
2

a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥

2
cba
++
Bài giải:
Với a, b, c > 0 ta có:
cb
a
+
2
+
4
cb
+
≥
a (áp dụng bất đẳng thức Cô si)

+
2
+
ab
c
+
2
+
2
cba
++
≥
a + b + c =>
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
≥

2

c
+
3
c
a
≥
a
ac
+ b
ba
+ c
ab
Bài giải:
Ta có:
3
b
a
+
3
b
c
+
3
c
a
=
3
b
a
+ bc +

2
+
bc
2
+
ac
2
)
≥
2
3
.
a
bc
c
+ 2
3
.
b
ac
c
+ 2
3
.
c
ab
a
+ 2
.
4

a
≥
a ac + b ba + c ab
∀
a, b, c > 0
Bài 3: CMR:
∀
a, b, c > 0 ta có:
ab bc ca
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b
+ +
+ + + + + +
≤
a b c
6
+ +
Bài giải:
p dụng bất đẳng thức: (
1 1
a b c
1
+ +
)(a + b + c)
≥
3
3
1
abc
3
3

)
Tương tự:
bc
b 3c 2a+ +
≤

bc
9
(
1 1
b a a c 2c
1
+ +
+ +
) và
ca
c 3a 2b+ +
≤

ca
9
(
1 1
b c 2a
1
b a
+ +
+ +
)
VT

ab
9
+
bc
9
)
1
a c+
+
(
ab
9
+
ca
9
)
1
b c+
+ (
bc
9
+
ca
9
)
1
b a+
+
a
18

=
=
a
9
+
b
9
+
c
9
+
a
18
+
b
18
+
c
18
=
a
6
+
b
6
+
c
6
=
a b c

+
c
b c+
(1)
Bài giải:
Bất đẳng thức đã cho tương dương:
⇔
b a
.
c c a+
+
c
.
a
b
a b+
+
a c
.
b b c+
≥

a
a c+
+
b
a b+
+
c
b c+

+
a
b
1
1+
+
1
b
1
c
+
Đặt
a
b
= x,
b
c
= y,
c
a
=z =>
a
b
.
b
c
.
c
a
= xyz = 1 và z, y, x > 0

y
2
x + y
2
– x – 1 + z
2
y + z
2
– y – 1 + x
2
z + x
2
– z – 1
≥
0
⇔
( y
2
x+ x
2
z+ z
2
y) + ( y
2
+ z
2
+ x
2
) – (x + y + z) – 3
≥

VT của (*)
≥
3 + 3 – 3 – 3 =0 = VP => (*) đúng => (1) đúng
Vậy
ab
c(c a)+
+
bc
a(a b)+
+
ca
b(b c)+
≥

a
a c+
+
b
a b+
+
c
b c+
Bài 5:Cho 3 số dương a, b, c. CMR:
)1(
1
)1(
1
)1(
1
accbba

+ + + + + +
=
)1)(1)(1(
))1()1()1((3
cbaabc
cbbaac
+++
+++++
=
=
)1)(1)(1(
)1)1)(1)(1((3
cbaabc
abccba
+++
−−+++

=> P
2

≥

)1)(1)(1(
3
)1)(1)(1(
33
cbaabccbaabc
+++
−
+++

=
33
33
)1(
)1)1((3
tt
tt
+
−−+
=
22
)1(
9
tt
+
⇒
P
≥

)1(
3
tt
+
=
)1(
3
33
abcabc
+
( do P > 0)

t
2a
hay
a
b c+
≥
Tương tự:
b
c a+
≥
2b
t
và
c
a b+
≥
2c
t
⇒
a
b c+
+
b
c a+
+
c
a b+
≥
2a
t

c a b
= +


= +


= +


⇔
a + b + c = 2(a + b + c)
⇔
a + b + c = 0 (*)
Theo giả thiết thì a + b + c
≠
0
⇒
(*) không xảy ra. Vậy dấu bằng không xảy ra.
⇒
a
b c+
+
b
c a+
+
c
a b+
> 2. (đpcm)
Bài 7: Cho x, y, z là các số không âm.CMR:

y
2
z
2

⇔
6x
3
y
3
+ 6x
3
z
3
+ 6y
3
z
3
≥
18x
2
y
2
z
2

(*)
Lại có: (x
3
– xyz)

6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +
≥
2y
4
xz (2)
z
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z
3
+ +
≥
2z
4
xy (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: x
6
+ y
6
+ z
6
+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z+ +


(*’)
Ta có:
6 6 6
x y z
3
+ +
≥
x
2
y
2
z
2
. Do đó: x
6
+
6 6 6
x y z
3
+ +

≥
2x
4
yz
Tương tự: y
6
+
6 6 6

4
xy
⇔
7x
6
+ 7y
6
+ 7z
6

≥
7x
4
yz + 7y
4
xz + 7z
4
xy (5)
Cộng theo vế (*’) và(5) ta có: 8x
6
+8y
6
+8z
6
+7
3 3 3 3 3 3
x y 7y z 7x z+ +
≥
9x
4

y
2
z
2

+
3 3 3 3 3 3
x y y z x z+ +
)
⇔
8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2

≥
9(x
2
(y
2
z
2
+ x
2
yz + xy
3

+ x
2
yz + xy
3
+ xz
3
)
⇔
8(x
3
+ y
3
+ z
3
)
2

≥
9(x
2
+ yz)(y
2
(z
2
+ xy) + xz(z
2
+ xy)) = 9(x
2
+ yz)(y
2

2
. Bài giải:
Do x > y => x – y > 0
Ta có:
yx
yx
−
+
22
=
yx
xyyx
−
+−
2)(
2
=
yx
yx
−
+−
2)(
2
= (x – y) +
yx
−
2
≥
2
yx

2
( )+ + +c d d a
+ 2
( )+ + +a b b c ( )+ + +c d d a
≤
8
⇔
a + b + c + d + 2
( )( )+ +a b b c
+ a + b + c + d + 2
( )( )+ +c d d a
+ 2
( )( )+ +a b c d
+ 2
( )( )+ +a b d a
+ 2
( )( )+ +b c c d
+2
( )( )+ +b c d a ≤
8
⇔
2(a + b + c + d)+ 2
( )( )+ +a b b c
+ 2
( )( )+ +c d d a
+ 2
( )( )+ +a b c d
+ 2
( )( )+ +a b d a
+ 2

≤
8a + 8b + 8c + 8d = 8(a + b + c + d) = 8 = VP (vì a + b + c + d = 1.)
Vậy + + + + + + +a b b c c d d a
≤

2 2
Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c = d = 1/4
Bài 10: Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 2.CMR:
2 2 2 2
( )+x y x y ≤
2
Bài giải:
Ta có:
2 2
+x y
=
2
( )+x y
- 2xy =
2
2
- 2xy = 4 – 2xy
Mặt khác: áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có: x + y
≥
2
xy
⇔
2
≥
2

Bài giải:
p dụng bất đẳng thức cô si: a
3
1 b c+ −

≤
a
1 1 1 b c
3
+ + + −
=
3a ba ca
3
+ −
Tương tự: b
3
1 c a+ −
≤

3b bc ba
3
+ −
và c
3
1 a b+ −
≤

3c ac bc
3
+ −

=
3(a b c)
3
+ +
=
3
3
= 1 (dpcm)
Vậy a
3
1 b c+ −
+ b
3
1 c a+ −
+c
3
1 a b+ −
≤
1 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Bài 12: Cho 3 số dương a,b,c thoả a
2
+b
2
+c
2
=1.CMR:
2 2
b
1
c+

+
=
2
2 2
b
a
c+
+1 +
2
2 2
c
b
a+
+ 1 +
2
2 2
a
c
b+
+ 1 =
=
2
2 2
b
a
c+
+
2
2 2
c

Vậy
2 2
1
b c
+
+
2 2
1
c a+
+
2 2
1
a b+

≤
3 3 3
a b c
2abc
+ +
+ 3. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
1
3
Bài 13: Cho3 số dương a, b, c thoả a + b + c =
3
2
. CMR: B = (1+
3
1
a
)(1+

1
a
+
3 3
b c
1
+
3 3 3
1
a b c
B
≥
1 +3
3
3 3 3
1
a b c
+ 3
3
3 3 3 3 3 3
1
a b c a b c
+
3 3 3
1
a b c
= 1 + 3
1
abc
+ 3

⇒
B
≥
(1+ 1:
1
8
)
3
= 9
3
=729
Vậy B = (1+
3
1
a
)(1+
3
b
1
)(1+
3
c
1
)
≥
729. Dấu bằng xảy ra khi a = b =c =
3
2
: 3 =
1

+
2
c a
b
+
+ 2
Bài giải:
Ta có: (a + b)
2
(
2
1
a
+
2
1
b
)
≥
4ab.
2
ab
=8
⇒
2
1
a
+
2
1

2
1
a
+
2
1
b
) + (b + c)(
2
1
b
+
2
c
1
)+ (a + c)(
2
1
a
+
2
c
1
) =
=
2
a b
a
+
+

2
a b b c
b
+ + +
+
2
b c c a
c
+ + +
=