Đề Số 1
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài 150 )
Câu 1: Giải phơng trình.
xx
x


1
36
= 3 + 2
2
xx

Câu 2: Cho hệ phơng trình:
x - 3y - 3 = 0
x
2
+ y
2
- 2x - 2y - 9 = 0
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai nghiệm của hệ phơng trình trên. Hãy tìm giá trị
của biểu thức.

22
=+++
)yy()x
Hãy tính tổng: S = x + y
1
Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn:
0
1
22
22

+
+
yx
yyxx
Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.
Câu 3:
Tìm các số nguyên dơng n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là
những số chính phơng.
Câu 4: Cho hai đờng tròn (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai đ-
ờng tròn này nằm trong đờng tròn (C
3
) và tiếp xúc với (C
3
) tơng ứng tại M và N.
Tiếp tuyến chung tại T của (C


5 13 5 13 5 ...y = + + + + +
Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức:
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
. Chứng minh
rằng :
Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có:
1 1 1 1
n n n n n n
a b c a b c
+ + =
+ +
Bài 3: Giải hệ phơng trình:

2 2 1 9
1 1
x y
x y
+ =


+ =


Bài 4: Cho hệ phơng trình hai ẩn x, y sau:
2
2

2
y x=
a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
x
3
y
3
2y
2
3y 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tơng ứng thuộc các tia Ox và Oy sao
cho OA = OB. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm
giữa O và B. Từ B hạ đờng vuông góc với AM tại H và cắt đờng thẳng OA
tại I
1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp đợc
2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ
tích điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 9: Cho tam giác ABC có
à
0
90A
, M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi
O và
E lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của
M để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.
--------------------------------------------------------
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Bài I (2

y
3
= 7y+3x
Bài III (3
đ
)
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6
đ
)
3
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB CD) M,N lần lợt thứ tự là trung
điểm của các đờng hcéo AC và BD , kẻ NH AD, MH BC. Gọi I là giao điểm
của MH và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.
Bài V (3
đ
)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c 16abc.
đề thi học sinh giỏi - lớp 9
môn toán -thời gian : 150 phút
ngời ra đề : lê thị hơng lê thị tâm
Câu 1: (4 điểm)
Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A =
23
1
12102
3
)2)(34(2

x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz = x (y - z)
2
+ z (x - y)
2
+ y( z-x)
2
(1)
t/m đk:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z) (2)
Câu 4: (3 điểm)
Tìm GTNN của biểu thức

=
2221616
2
10
2
10
)1()(
4
1
)(
2
1




+
+
2
)(
1,Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và
A
Câu 2: ( 5 Điểm)
1, Giải phơng trình: x
2
+ 4x + 5 = 2
32
+
x
2, Cho 1

a

2 và 1

b

2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=
33
2
)(

1
) và (o
2
) tại C và D. Qua A kẻ
đờng thẳng song song với CD lần lợt cắt (o
1
) và (o
2
) tại M và N. Các đờng
5
thẳng BC và BD lần lợt cắt đờng thẳng MN tại P và Q . Các đờng thẳng CM
và DN cắt nhau tại E . Chứng minh rằng:
1, Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD
2, Tam giác EPQ là tam giác cân.
Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9 bảng b
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Rút gọn A=






+





2
6x + 1 thành nhân tử
Bài 3: Tìm m để phơng trình
0
4
15
22
=+
mxx
có hai nghiệm và nghiệm này bằng
bình phơng nghiệm kia.
Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên
( )
( )



=+
+=+
2122
112
mmyx
mymx
Bài 5: Giải phơng trình
55
2
=++
xx
Bài 6: Cho đờng thẳng (d): y = x + 2m 3 gọi A, B lần lợt là giao điểm của d
với Ox, Oy. Xác định m để S

nghiệm dơng của phơng trình : 4x
2
+
2
x-
2
= 0
Bài II ( 6,0 điểm):
1) Giả sử phơng trình : x
2
+ax+b = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
và phơng
trình :x
2
+cx +d = 0 có hai nghiệm x
3
, x
4
.Chứng minh rằng :
2(x
1
+x
3
) (x
1
+x
4

2
thoả mãn x
1
x
2
=1 thì 5a
2
=2b
2
+ac

Bài III (5,0 điểm):
Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA,BB,CC lần lợt là các
đờng cao. H là trực tâm
1) Chứng minh rằng:
2) Cho biết . Hãy tính tgB.tgC theo m
Bài IV (4,0 điểm):
Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta
nối với các đỉnh của hình bình hành đó .
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu
diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác đợc tạo bởi hai trong
các đờng thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành
Bài V (2,0 điểm):
Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phơng trình :
x
2
+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y.
7
24
1

1
322
1

+
++
Bài 2: (5,0đ)
Cho parabol(P): y=
4
1
x
2
a.Viết phơng trình đờng thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và có
hoành độ lần lợt là 2 và - 4.
b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích
lớn nhất
Bài 3: (4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đờng tròn (O;R). Trên cung AC
có chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE
= DC.
a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1
điểm thứ ba cố định.
b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC.
c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài
ấy theo R.
Bài 4: (4,0 đ)
Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có đáy là tam giác đều. Điểm A cách
đều các điểm A, B, C.
a. Chứng minh rằng chân đờng cao hạ từ đỉnh A của lăng trụ trùng với
tam của đáy ABC

+ y
4
= 13
2- Cho biểu thức: A = Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2 : (3 điểm)
Cho Phơng trình : x
2
2 .(m - 1) x + m 3 = 0
1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.
2)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.
Bài 3: (3 điểm)
Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d R.
Hãy chứng minh : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
1
Bài 4: (4 điểm)
9
2x- 1
x
2
+ 2
Cho đờng tròn nội tiếp ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D.
Chứng minh rằng: ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:

=
+ +
, với x < 0.
Câu 2: (2 điểm) Giải phơng trình sau biết phơng trình có 2 nghiệm đối nhau:
x
4
4x
3
+ 3x
2
+ 8x 10 = 0.
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2
,
biết rằng: x
2
+ y
2
xy = 4.
Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: 7x
2
+ 13y
2
= 1820.
Câu 5: (3 điểm)
Cho ABC cân nội tiếp trong đờng tròn (O; R) có AB = AC = R
2
.

1
a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức















=
22
1
1
1
1
yx
B
Bài 3 : Cho phơng trình
2

5168143
=++++
xxxx
Bài 6 : Cho parabol(P) : y=
2
4
1
x

và đờng thẳng (d) : y= mx 2m 1
a) tìm m để đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b)chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định
)(PA

Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình
1820137
22
=+
yx
Bài 8 : Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đờng cao của tam giác
Chứng minh rằng
CBA
S
S
ABC
HIK
222
coscoscos1
=

xxxxx
.
Bài III (2,5 điểm )
1/ Giải hệ phơng trình:



+=+
=+
4477
33
1
yxyx
yx
2/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
3
+ y
3
+ 6xy = 21.
Bài IV ( 2,5 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O ) tâm O. M là điểm chính
giữa cung BC không chứa điểm A. Gọi M

là điểm đối xứng với M qua O.
Các đờng phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đờng thẳng
AM

lần lợt tại E và F .
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đợc trong đờng tròn.
2/ Biết đờng tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.

1
51
1
+
++
+
+
+
+
+
Bài 2 (2 điểm)
Cho ba số dơng x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1
Hãy tính giá trị của biểu thức sau :
S =
2
22
2
22
2
22
1
)1)(1(
1
)1)(1(
1
)1)(1(
z
yx
z
y

Giải hệ phơng trình :



=+
=
1
)(3
33
yx
yxyx
Bài 5 (2 điểm)
Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :
4524428183
22
+++
xxxx
= x
2
+ 6x -5
Bài 6 (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y =
2
4
1
x
và đờng thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có
hoành độ lần lợt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng có hoành
độ x [-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 7 ( 2 điểm)

2
, R
2
) tại N ( các điểm M, N khác A). Tìm tập hợp các trung điểm I của các
đoạn thẳng MN khi đờng thẳng d quay quanh điểm A.
Bài 9 (2 điểm):
Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trớc 33 điểm, trong đó
không có 3 điểm nào thẳng hàng. Ngời ta vẽ các đờng tròn có bán kính đều bằng
2
, có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm nói
trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng
chính là 3 điểm.
Bài 10 (2 điểm):
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau, trong mặt phẳng (BCD)
dựng các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lợt là trung điểm của PR; QR; QP.
Chứng minh rằng AP; AQ; AR đôi một vuông góc./
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút
Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:
225353
42410175175
++
++
=
A
Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử
24x
3
- 26x
2
+ 9x - 1

5112
23

++
=
x
xxx
y
Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đờng a và b thoả a b.
Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D
14
Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C
Thoả IA.ID = IB.IC.
a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đờng tròn
b) Qua D kẻ đờng song song với b cắt AB kéo dài tại F. Hãy xác định điểm
E trên FD sao cho AE FI. Khi đó ICED là hình gì?
Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N trên
AB thoả AM = MN = NB.
P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC
AQ cắt DN, BP lần lợt tại A
1
D
1
CM cắt DN, BP lần lợt tại B
1
C
1
Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A
1
B

+=
b) Tính giá trị biểu thức
132
235
++=
xxxxE
với
21
=
x
Bài 2: Cho
ba

,
ca

,
cb

chứng minh rằng
ba
ba
ac
ac
cb
cb
bcac
ba
abcb
ac

=++
xx
Bài 5: Chứng minh nếu
2
>
a
thì hệ sau vô nghiệm:





=+
=
1
2
22
5
yx
ayx
15
Bài 6: Cho Parabol (P)
2
4
1
xy
=
và đờng thẳng (d):
2
2

, Q là trung điểm của
AN
1
. Đờng kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đờng tròn ngoại tiếp tam giác
BPQ khi đờng kính MN thay đổi.
Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức






+


+

+










+
b)



=+
=++
7yx
4y1x
Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH vẽ đờng tròn
tâm O đờng kính AH. Đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại D và E.
16
a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng
b. Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tơng ứng tại
M và N. Chứng minh M, N lần lợt là trung điểm của các đoạn HB, HC.
c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . Tính diện tích tứ giác MDEN
Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
xy1
2
y1
1
x1
1
22
+

+
+
+
với x 1, y 1

x
x
xx
x
x
xx
P
1
1
1
1
a> Rút gọn P
b> Tìm giá trị lớn nhất của
P
1
2>> Tìm trên đờng thẳng y= x+ 1 những điểm có toạ độ thoã mãn:
y
2
- 3y
x
+ 2x =0
Bài 2: (5 điểm)
1> Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình x
2
+ mx + n =0. Tìm m, n thoã mãn hệ


AE
BE
=
b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. Tính diện tích ABCD
2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại
A. Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Chứng minh tứ giác
BCHK nội tiếp
Bầi 4: (5 điểm)
1> Tìm
Ra

để phơng trình ẩn x sau:
074)
2
11
4(2
22
=+++
axax

có nghiệm nguyên
2> Chứng minh rằng:
3
)(
4
2
2
2
2
222

2
3
1


+
++
+
b. Giải phơng trình:
333
511 xxx
=++
Bài2 (5điểm)
a. Giải hệ phơng trình







=+
=+
=+
14
14
14
yzx
xzy
zyx

ABH đồng dạng với

MKO
b. Chứng minh
3
333
333
IBIHIA
IMIKIO
++
++
=
4
2
Ngân hàng đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9
Thời gian: 150 phút.
Tổ Toán, Trờng THPT Quảng Xơng III
Bài 1:
1) (2đ) Rút gọn biểu thức:
3
243
3
243
3
1
627
3
1
3
1

22
x
yx
22
yyx

.
Bài 3:
1) (2đ) Giải phơng trình:
0121122
224
=+
xxx
2) (2đ) Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A( 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị của
hàm số
xxxxy
+=
22
(C).
Bài 4:
1) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của
cba
T
111
++=
với a, b, c N và T < 1.
19
2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đờng cao BM. Chứng minh rằng
12
2

+
++
+
2. (4đ) Tính giá trị của tổng
B =
222222
100
1
99
1
1..
3
1
2
1
1.
2
1
1
1
1
+++++++++
Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dơng đôi một khác nhau thoả mãn:
3
x
+ 3
y
+ 3
z
= 6831

nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của (P)
và (Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N. Chứng minh rằng.
a. (2đ) HPQ ~ ABC
b. (2đ) KP // AB, KQ // AC.
c. (2đ) tứ giác BMNC nội tiếp đợc
sở gd & đt thanh hoá Đề thi học sinh giỏi
lớp 9
truờng thpt đặng thai mai môn : Toán
------------------------- thời gian: 150 phút
--------------------------

Câu1:(4đ)
1.Đơn giản các biểu thức sau:
249225
++=
A
1
22
5
56
+
+
=
a
aaa
B
;
1

a

21
3
=
xx
với
21

x
Câu3: (4đ)
Cho họ đờng thẳng (D
m
) có phơng trình :
11
1
2
2
2
++
+
++
+
=
mm
m
x
mm
m
y
1.Tìm điểm cố định của họ đờng thẳng (D
m

/
, C
/

thẳng hàng.
3.Trên đờng tròn tâm O đã cho lấy điểm M
1
M. Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lợt là
hình chiếu của M
1
lên các đờng thẳng BC , CA , AB . Tìm vị trí của điểm
M
1
trên đờng tròn tâm O để đờng thẳng A
1
B
1
C
1
vuông góc với đờng thẳng
A
/
B
/

môn toán
( Thời gian: 150 phút)
Câu 1:
a.(1 đ) Rút gọn biểu thức
A =
52104
++
+
52104
+
b.(1 đ) Tính giá trị biểu thức
B =
x
x
211
21
++
+
+
x
x
211
21


với x =
4
3
Câu 2:(1 đ) Cho phơng trình x
2

-9) = 27
b.(1.5 đ) Giải phơng trình nghiệm nguyên:
z
xy
+
x
yz
+
y
zx
=3
Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn
(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z
Chứng minh rằng: (x + y + z) là bội của 27
22
Câu 5: Cho đờng tròn( O, R) và hai đờng kính AB, MN. Các đờng thẳng BM, BN
cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn( O) tơng ứng tại M và N. Gọi P, Q theo thứ tự
là các trung điểm MA và NA
a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNNM nội tiếp.
b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đờng cao của

BPQ cắt nhau tại trung điểm của
bán kính OA.
c.(1 đ) Giả sử AB cố định, MN thay đổi. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích

BPQ theo R.
sở gd&đt thanh hóa
trờng thpt tĩnh gia 3
đề thi tuyển sinh vào chuyên toán trờng
lam sơn hệ thpt

+x-1) =y
2
+2xy -2 (2)
Câu 2 (1.5điểm)
Giải phơng trình nghiệm nguyên
x
2
y
2
-x
2
-8y
2
= 2xy (1)
Câu 3 (1.5 điểm )
Cho ba số thực dơng x,y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z

1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q =
)
111
(3)(2
zyx
zyx
+++++
Câu 4 (1điểm)
Tìm các số tự nhiên m,n sao cho
A=
43

2
1
xy
=
, điểm I(0;2) và điểm M(m;0)
0

m
a\ Vẽ (P)
b\ Gọi d là đờng thẳng đi qua I và m. Chứng minh rằng đờng thẳng d luôn cắt (P)
tại 2 điểm phân biệt A, B
c\ Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B lên trục Ox. Chứng minh rằng tam giác
IHK vuông.
d\ Chứng minh rằng độ dài đoạn AB>4
0

m
Bài 3:(4đ) Cho phơng trình: (m-1)x
2
-2(m-2)x+m+1=0
a. Giải và biện luận theo thámố m
b. Khi phơng trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
độc

23453434
++

+

+
=
xxxxxxxxxxx
P
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức:
A =
( )
96
164
2
2
22
++
+
xx
x
xx
a) Rút gọn A
b) Tìm
x
nguyên để A nguyên
Bài 2: (4điểm) Cho phơng trình:

( )
0112

=++
y
x
y
x
3
1
=++
y
x
y
x
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O); H là trực tâm tam giác; M là một
điểm trên cung BC không chứa điểm A.
a) Tìm vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b) Gọi E,F lần lợt là 2 điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh
rằng E,H,F thẳng hàng.
Bài 6: (2 điểm) Cho
[ ]
1;0

a
Chứng minh rằng:
211
22
+++
aaaa
dấu
bằng xảy ra khi nào?

= 32
Bài 2: (4 điểm)
25