ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007 – 2008
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN AB (Chung cho các lớp Toán, Tin, Lý, Hoá , Sinh)
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. Cho phương trình:




=
−
−++−
x
mmmxx
(1)
a) Tìm m để x = –1 là một nghiệm của phương trình (1). b) Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm.
Câu 2. a) Giải bất phương trình:


−<−−−+
xxxx
.
b) Giải hệ phương trình:





−=+
−=+



BAC
=
. Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C của tam giác
ABC và I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng tam giác INP là tam giác đều.
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC. Chứng minh các điểm I, M, E, K cùng thuộc một đường tròn.
c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP. Hãy tính số đo của
·
BCP
.
Câu 5. Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm, tổ B may 16500 sản phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng lúc.
Nếu sau 6 ngày, tổ A được hỗ trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B. Nếu tổ A được hỗ trợ thêm
10 công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm hơn tổ B 1 ngày. Hãy xác đònh số công nhân ban đầu của mỗi tổ.
Biết rằng, mỗi công nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007 – 2008
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Môn thi: TOÁN NĂNG KHIẾU Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1. a) Giải hệ phương trình:





=+
=+
xyy
xyx



Chứng minh bất đẳng thức
 dcbadcba
+++≥+++
.
b) Cho a, b, c, d là các số dương thoả mãn điều kiện

=
abcd
.
Chứng minh bất đẳng thức
 dcbabcadbdac
++≥++
.
Câu 4. Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD. Biết rằng đường tròn đường kính CD đi qua trung điểm các cạnh bên AD, BC và
tiếp xúc với AB. Hãy tìm số đo các góc của hình thang.
Câu 5.a) Cho a, b, c là các số thực dương phân biệt có tổng bằng 3. Chứng minh rằng trong 3 phương trình


=+−=+−=+−
acxxcbxxbaxx và
có ít nhất một phương trình có 2 nghiệm phân biệt và ít nhất một
phương trình vô nghiệm.
b) Cho S là một tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử tuỳ ý của S là một số chính phương
(Ví dụ
{ } { }
 hoặc
==
SS
là các tập hợp thoả mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng trong tập S có không
quá 1 số lẻ.


− + =


+ =


Câu 3. a) Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào biến x (với x > 1)
    
   
x x x x x x
A
x x x x x x
+ + −
=
− + + +
b) Cho
 a b c
là các số thực khác 0 và thoả mãn điều kiện:
  
  
a b c
bc ca ab
+ − =


+ − =

.Chứng minh rằng:
a b c

là hai nghiệm phân biệt của (1). Chứng minh rằng biểu thức
 
   
 
 
    x x x x
x x
− + − +
+
không phụ
thuộc vào giá trò của m.
2) Giải hệ phương trình:
 
 
 
x y z
y z x
z x y

= +

= +


= +

Câu II. Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường
thẳng EF cắt AI tại J và cắt BC nối dài tại K.
1) Chứng minh các tam giác IDA và IJD đồng dạng.
2) Chứng minh rằng KI vuông góc với AD.

3
≥ D
4
≥ D
5
≥ D
6
). Biết rằng đội bóng với số điểm D
1
thua đúng một trận
và D
1
= D
2
+ D
3
= D
4
+ D
5
+ D
6
. Hãy tìm D
1
và D
6
.
Bộ Giáo dục và Đào tạo
Trường ĐHSP Tp. HCM
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN Năm học 2007 - 2008

=−+
xx
, hãy tính giá trò của biểu thức:











xxxx
xxxx
S
+
++
=
trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 2: 1. Vẽ đồ thò (P) của hàm số


x
y

−
+
=
−
+
+








y
y
x
x
y
y
x
x
Câu 4: Tìm số tự nhiên bé nhất biết rằng khi chia số đó cho 2005 thì được dư là 23 còn khi chia cho 2007 thì được dư 32.
Câu 5:Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Điểm M di động trên cung nhỏ BC, M khác B và C. Dây AM
cắt dây BC tại D.
1.Chứng minh AM =BM + CM.
2.Chứng minh tích AD.AM là một hằng số.
3.Xác đònh vò trí điểm M sao cho độ dài đoạn DM lớn nhất. Tính giá trò lớn nhất này theo R.
4.Tia CM cắt tia AB tại K. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆BKM.
Bộ Giáo dục và Đào tạo

Bài 3: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương thoả mãn:






+
+
+
yzx
xyz
zxy






Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi (O’) là đường tròn bất kỳ tiếp xúc ngoài với (O) tại D trên cung BC không
chứa A. Các đường thẳng AD, BD, CD kéo dài cắt đường tròn (O’) lần lượt tại A’, B’, C’.
a) Chứng minh rằng:
CD
CC
BD
BB
AD
AA 
==
.

−
. Chứng minh rằng:
A B+ =
.
c) Cho phương trình:
 
   x m x m m+ + + + + =

a) Tìm k sao cho (D) và (P) tiếp xúc với nhau.
Tìm
m
để phương trình (1) có hai nghiệm
 
x x
thoả mãn
 
 
x x
+ =
.
Câu 2. Cho (P):



y x
= −
và điểm M(0 ; 2). Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc là k.
b) Tìm k sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt thoả mãn AB = 12 và hoành độ của A và B là các số dương.
Câu 3.
a) Giải phương trình:

1
là chân đường vuông góc hạ từ P xuống đường thẳng AD, P
2
là chân đường vuông
góc hạ từ P xuống đường thẳng AC, Q
1
là chân đường vuông góc hạ từ Q xuống đường thẳng AD, Q
2
là chân đường vuông góc hạ từ
Q xuống đường thẳng AC .
a) Chứng minh rằng QKQ
2
C, QKDQ
1
, PP
2
KC, AIQ
2
Q là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng Q
1
, K,

Q
2
thẳng hàng và P
1
,

K, P

Câu I. Giải phương trình:
 
      x x x x x
+ + + + + = +
Câu II. Xét một số tự nhiên A gồm ít nhất 5 chữ số. Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách nào đó ta được số B. Giả sử rằng:
A B
− =
(số tự nhiên gồm n chữ số 1,
 n
< ∈
¥
).
Tìm giá trò nhỏ nhất có thể được của n và chỉ rõ một cặp số tự nhiên A, B để n nhận giá trò nhỏ nhất đó.
Câu III. Cho số thực a thoả mãn điều kiện
 a
≤ ≤
. Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

 
a a
T
a a
−
= +
− +
Câu IV.
1. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho bán kính của các đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD và ACD
bằng nhau. Chứng minh rằng các đường tròn bàng tiếp góc A của hai tam giác ABD và ACD cũng bằng nhau.
2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là trung điểm cung AB. Trên cung BC lấy điểm D di động. Các đoạn
thẳng AD và OC cắt nhau tại E. Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE.

"(=(#EH#IJ%&.>D%#?#('K 8D'':L#EH#IJ%&.>D%#07%&#(E'
Câu 4 (2 điểm) #A
(
)
(
)
 
  x x y y
+ + + + =
Tính S =
yx
+
.
Câu 5 (2 điểm)
#A"84@0C0,-%&52F%MIJ%&,"50#A
 a b
a b
+ +
+
0N%&4@,-%&52F%+(M4@I*0,-0#5%&0G"")@8#$%&'(%#
d a b
≤ +
Câu 6 (6 điểm) #A."'&(C0OP078"&70%#+%%Q(.(RHOPSOC0.(RH.52R%)*(.TP)@0C0%#"5.T(UVMW2
O!,A%&,A%&)*PIX%&.#;%&!U0Y..T(!)@
"#A8(R.
 
  
OB NC
+ =
.Z%#:QM@(:AT%P8#$%&'(%#

"K
a b c
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ +
− − − − − −
"80?#C0%#"5:6('Q.
8K
x 2 x 1 x 2 x 1
x 2x 1 x 2x 1
+ − + − −
+ − − − −
1`
Câu 3 (2 điểm):#A"80M4@0C0,-%&52F%.#a""b8b0bM)@"]MK8]0
#$%&'(%#>c%&<
""

]8

]0

]M

4@.d%&0G"8",-0#Z%#H#IJ%&