GA tự chọn toán 8
phần hình học
Chủ đề 1
tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học
Soạn:
Giảng:
1. Mục tiêu:
Sau khi học xong chủ đề học sinh:
- Biết phân tích từ kết luận ngợc lên ( Từ gt ) để tìm tòi lời giải cho bài toán, theo
nhiều cách chứng minh khác nhau.
- Hiểu đợc khi nào cần vẽ thêm đờng phụ cho một số bài toán.
- Có kỹ năng trình bày lời giải cho bài toán chứng minh hình học.
2. Phân phối thời gian: 04 tiết
- 01 tiết lý thuyết
- 02 tiết bài tập.
- 01 tiết kiểm tra.
4. Các nội dung chính của chủ đề:
- Hệ thống hoá các phơng pháp chứng minh một số quan hệ hình học ( chứng minh
2 góc băng nhau, 2 đoạn thẳng bằng nhau, 2 đờng thẳng song song hoặc vuông góc với
nhau, 3 điểm thẳng hàng...)
- Giới thiệu phơng pháp phân tích đi lên để tìm lời giải của bài toán.
- Giới thiệu phơng pháp tổng hợp để trình bày lời giải bài toán.
+ Tiết 1: Phơng pháp chung
+ Tiết 2+3: Sử dụng chứng minh tam giác bằng nhau để chứng minh đoạn thẳng
bằng nhau, góc bằng nhau.
+ Tiết 4: Kiểm tra
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Tiết 1
HS nghe hiểu và ghi bài
* GV Đa ra phơng pháp
Thực hiện bốn bớc trong thực hành giải

B. Là các
quan hệ kéo theo nói trên thờng đợc trình
bày dới dạng: A
1


A
2
(lí do).
+ GV hỏi: Trong quá trình tìm tòi lời
giải của bài toán ngời ta thờng khai thác
bài toán bắt đầu từ đâu?
+ GV hỏi: ngợc lại với cách khai thác từ
giả thiết (gt) ta có thể khai thác bài toán
bằng cách nào?
+ GV chốt lại:
1. Cho tam giác ABC vuông tại A và góc
à
B
= 60
0
. Dựng phân giác BE. Gọi Q, I, K
lần lợt là trung điểm của BE, BC, EC.
a- Chứng minh AQIK là hình thang cân.
b- Tính các góc của hình thang AQIK.
+ GV: Cho HS lên vẽ hình và ghi (gt ),
(kl) bài toán
B
Q I
A C

1
ta có thể chứng minh
B
2
,..., cuối cùng ta có thể chứng minh B
n
.
Nếu ta chứng minh đợc A
m


B
n
thì bài
toán A

B đợc chứng minh với sơ đồ sau:
A

A
1


A
2


...

A

= 60
0
BE là phân
giác của góc
à
B
KL a/ AQIK là hình
thang cân
b/ Tính các góc của
hình thang AQIK
GA tự chọn toán 8
bên) và chốt lại.
-HS trả lời theo hớng dẫn của GV bằng
pp phân tích đi lên:
AQIK là hình thang cân


QI // AK ;
à
A
=
à
K




QI là đờng TB ;
à
A

2. Cho tứ giác ABCD; E là trung điểm
Bài giải
a- Có Q là trung điểm của BE (gt)
I là trung điểm của BC (gt)

QI là đờng trung bình của tam giác BEC

QI//BC hay QI//AK(Vì ..)

AQIK là hình thang (1)
Xét tam giác ABE có
ã
BAE
= 90
0
(gt)
BQ = QE =
2
BE
(gt)

AQ = QE =
2
BE


QAE là tam giác cân


ã

ra góc QEA = 60
0
(3) Từ (1) (2) (3) suy ra
QAK = AQI = 60
0
. Do AQIK là hình thang
nên:
ã
QAK
+
ã
AQI
= 180
0
(hai góc kề cạnh bên bù
nhau do đó
ã
QIK
=
ã
AQI
= 180
0
-
ã
QAK
= 180
0
- 60
0

CED nên QF //
EC và QF =
2
1
EC, Suy ra QF // EN và QF
= EN.
Tứ giác NEQF là hình bình hành, do đó NQ
và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng
(1).
Chứng minh tơng tự, tứ giác PEMF là hình
bình hành, do đó MF và EF cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đờng (2).
Từ (1) và (2) suy ra MP và NQ cắt nhau tại
trung điểm mỗi đờng. Vậy tứ giác MNPQ là
hình bình hành.
* Bài tập về nhà:
1. Cho hình bình hành ABCD và một đờng
thẳng d nằm ngoài hình bình hành đó. Gọi
A', B', C', D' lần lợt là hình chiếu của các
điểm A,B,C,D lên đờng thẳng d.
Chng minh AA' + CC' = BB' + DD'.
2. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của
các tia CB và DA lấy tơng ứng hai điểm E và
F sao cho CE = DF = CD. Từ F kẻ đờng
thẳng vuông góc với AE cắt CD tại H.
Chứng minh tam giác CHB là tam giác
vuông cân.
Các cách th ờng dùng để chứng minh hai
GA tự chọn toán 8
Tiết 2

thoi, hình vuông.
- Hai đờng chéo của hình thang cân, hình
chữ nhật.
- Tính chất đờng chéo của hình bình hành,
hình chữ nhật.
- Các đoạn thẳng đối xứng nhau qua một
trục, qua một tâm.
- Tính chất đờng kính với một dây.
- Hai dây cách đều tâm của một đờng tròn.
- Hai khoảng cách từ tâm đến hai dây bằng
nhau trong một đờng tròn.
- Hai đoạn tiếp tuyến cùng xuất phát từ một
điểm đến một đờng tròn.
- Tính chất của đờng nối tâm của hai đờng
tròn cắt nhau.
- Hai dây trơng hai cung bằng nhau của
một đờng tròn.
*. Ví dụ:
GA tự chọn toán 8
R, S, T lần lợt là trung đểm của các đoạn
OA, OB, OC.
a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ
nhật.
b/ Chứng minh rằng 3 đoạn thẳng RN,
MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đờng.
c/ Với điều kiện nào của tam giác ABC
thì MR=RD = MS.

-HS Đọc đề bài, suy nghĩ và vẽ hình, ghi

S T

B N C
* H ớng dẫn giải
a/ Sử dụng tính chất đờng trung bình của tam
giác, ta có:
MP // ST và MP = ST, do đó tứ giác MPTS là
hình bình hành.
Do MP // BC và MS // OA mà OA

BC nên
MP

MS hay SMP = 90
0
. Hình bình hành
MPTS có một góc vuông nên là hình chữ
nhật.
b/ Chứng minh tơng tự tứ giác MRTN là
hình chữ nhật. Hai hình chữ nhật MPTS và
MRTN có chung đờng chéo MT nên ba đoạn
MT, SP, RN bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đờng.
c/ Dễ thấy MS =
2
1
OA, RM =
2
1
OB,

- Hai góc cùng phụ hoặc cùng bù với một
góc thứ ba.
b/ Sử dụng tam giác bằng nhau hoặc tam
giác đồng dạng:
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng
nhau hoặc hai tam giác đồng dạng.
c/ Sử dụng định nghĩa các hình:
- Định nghĩa tia phân giác của góc.
- Hai góc kề một đáy của hình thang cân.
d/ Sử dụng tính chất các hình:
- Hai góc đối đỉnh.
- Hai góc so le trong, đồng vị tạo bởi hai đ-
ờng thẳng song song cắt một cát tuyến.
- Hai góc có cạnh tơng ứng song song hoặc
vuông góc (cùng nhọn hoặc cùng tù)
- Hai góc ở đáy của tam gíac cân, các góc
của tam giác đều.
Hai góc đối của hình bình hành, hình thoi.
- Tính chất đờng chéo của hình thoi, hình
vuông.
- Hai góc đối xứng nhau qua một trục, qua
một tâm.
- Tính chất của hai tiếp tuyến cùng xuất
phát từ một điểm đến một đờng tròn.
- Hai góc nội tiếp hoặc góc tạo bởi tiếp
tuyến và một dây cùng chắn một cung hoặc
hai cung bằng nhau.
* Ví dụ:
GA tự chọn toán 8
c/ Biết góc A = 60

+ H ớng dẫn giải:
a/

ADB và

ADC có:

à
D
=
à
E
= 90
0
(gt)

à
A
chung
Do đó

ADB ~

AEC (gg)
Suy ra
AE
AD
=
AC
AB


ABC (c.g.c ), suy ra
ADE = ABC và AED = ACE (hai góc tơng
ứng)
c/ Do

ADE ~

ABC (theo câu b), nên

)(
)(
ABCS
ADES
=






AB
AD
2
, suy ra S(ADE) =












2
1
2
. 120 = 30 (cm
2
)
Vậy diện tích của tam giác ADE là 30 cm
2
.
GA tự chọn toán 8
- HS chép bài tập tự luyện
* Bài tập: Cho hình chữ nhật ABCD. Hãy
xác định điểm E trên AB sao cho AED =
DEC.
GA tự chọn toán 8
Tiết 4 Kiểm tra
Ngày soạn: 20-9-2006
Ngày giảng: 27-9-2006
Đề bài
Bài 1:
a- Cho

ABC và một đờng thẳng d tuỳ ý. Vẽ


, B
'
, C
'
lần lợt là điểm đối xứng của O qua P, N, M. Chứng minh rằng các đ-
ờng thẳng AA
'
, BB
'
, CC
'
đồng quy.
Bài 5:
Cho

nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CA còn R, S, T, lần lợt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC.
a) Chứng minh tứ giác MPTS là HCN.
b) Chứng minh rằng 3 đoạn thẳng RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm
mỗi đờng.
c) Với điều kiện nào của

ABC thì MR = RD = MS.
GA tự chọn toán 8
Tiết 5+6+7+8+9
Chủ đề 2: phân tích đa thức thành nhân tử
Môn: Đại số 8
1, Mục tiêu:
- HS nắm đợc cấu trúc của các p
2

- P
2
đặt nhân tử chung.
- P
2
nhóm các hạng tử
- P
2
dùng HĐT
- P
2
phối hợp nhiều p
2
.
II. Lý thuyết và bài tập áp dụng
1) Phối hợp nhiều p
2
+ Ví dụ: PTĐTTNT
(x + y + z) - x
3
- y
3
- z
3
= [(x + y + z)
3
- x
3
] - (y
3

= (y + z)(3x
2
+ 3xy + 3yz + 3xz)
= 3(y + z)[(x + y) + z(x + y)]
GA tự chọn toán 8
C2: áp dụng p
2
nhóm
- C3 dùng p
2
tách
+ áp dụng: PTĐTTNT
a) a
3
- 5a
2
- 4a + 20
- HS trình bày cách khác
b) x
3
+ 5x
2
+ x + 5
- Có thể tách 1 hạng tử ra 2 hay
nhiều hạng tử để làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc hằng đẳng
thức.
+ áp dụng
a) x
2

) - (4a - 20)
= a
2
(a - 5) - 4(a - 5)=(a - 5)(a
2
-4)
=(a - 5)(a - 2)(a + 2)
C2 = (a
3
- 4a) -(5a
2
- 20) = (a(a
2
- 4) - 5(a
2
- 4)
= (a
2
- 4)(a - 5) = (a + 2)(a - 2) (a - 5)
C3 = (a
3
- 2a
2
) - (3a
2
- 6a) - (10a - 20)
= a
2
(a - 2) - 3a(a - 2) - 10(a - 2)
= (a - 2)(a

4
+ 64 = (x
4
+ 16x
2
+ 64) - 16x
2
= (x
2
+ 8)
2
- (4x)
2

= (x
2
- 4x + 8)(x
2
+ 4x + 8)
a) x
2
- 4x + 3 = x
2
- x - 3x + 3 = (x
2
- x) - (3x -
3)
= x(x - 1) - 3(x - 1) = (x - 1) (x -
3)
b) x

) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y
2
)
c) x
3
+ y
3
- 3xyz

5. HDVN:
- Xem lại bài giải
- Tìm hiểu thêm p
2
: Đặt ẩn phụ và tìm
nghiệm của đa thức
Tiết 6
- HS phát biểu cách tìm ẩn phụ
- GV: Em nào có thể nêu cách
làm theo p
2
đặt ẩn phụ
- HS nhận xét
3. Củng cố:
+ Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu

+ z
2
- xy - xz - yz)
3. Bài mới
3) P
2
đặt ẩn phụ
Ví dụ:
A = (x
2
+ 3x + 4)
2
+ 2x(x
2
+ 3x + 4) + x
2
đặt y = x
2
+ 3x + 4
Khi đó:
A = y
2
+ 2xy + x
2
= (x + y)
2
Thay vào ta có
A = (x + x
2
+ 3x + 4 )

A = n
3
- 4n
2
+ 4n - 1 là số nguyên tố
GA tự chọn toán 8
4. HDVN:
Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu
thức
B = n
3
- 6n
2
+ 9n - 2 là 1 số nguyên tố
Tiết 7 (tiếp)
Bài mới
- GV: Dựa vào đâu ta có thể biết
đợc nghiệm của đa thức?
a) A = 2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3
- GV: Đa thức trên có bậc mấy?
Nếu viết dới dạng tích thì tích có bậc
mấy?
A = (n

- 1)- ( 4n
2

giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà
f(x) & g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ
số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau
f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
+ +a
1
x + a
0
g(x) = b
n
x
n
+ b
n-1
+ +b
1
x + b
0
f(x) = g(x)

a
n
= b
n
, a

+ 8x - 3 = (ax + b)(cx
2
+ dx
+ m)
= acx
3
+( ad + bc)x
2
+ (am + bd)x + bm
GA tự chọn toán 8
- HS nghe hiểu.
A = a
3
- a, B = a
3
+ 5a , C = a
3
+ 11a ,
D = a
3
- 19a
Chia hết cho 6 ( a

N)
3. Củng cố:
Chứng minh rằng các số sau đây:
A = a
3
- a
B = a

bm = -3 d = -2; m = 3

2x
3
- 5x
2
+ 8x - 3 = ( 2x- 1 )(x
2
- 2x + 3)
b) x
2
+ 3x + 2 = (x + a)(x + b)

x
2
+ 3x + 2 = x
2
(a + b) x + ab

a + b =
3
ab = 2

a = 1, b = 2 hoặc a = 2 , b = 1
Vậy x
2
+ 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)
Bài tập
A = a
3

a
3
- a

6 ( CMT) 6a

6

ĐPCM
c) C = a
3
+ 11a = ( a
3
+ 5a) + 6a
mà a
3
+ 5a

6 ( CMT)
6a

6

ĐPCM
d) B = a
3
- 19a = (a
3
- a) - 18a
Mà a

- GV: Ta đã chứng minh đợc:
Nếu có đẳng thức A = B thì đẳng thức
luôn đúng với mọi giá trị gán cho các
biến tơng ứng
- HS trả lời
- HS nghe và ghi bài
- Xác định các hệ số a, b để phép chia
f(x) cho g(x) với
f(x) = 6x
4
- 7x
3
+ ax
2
+ 3x + 2
g(x) = x
2
- x+ b
Là phép chia hết
1) Tìm các giá trị của x, y thỏa mãn xy
+ 1 = x + y

6) Ph ơng pháp xét giá trị riêng
Nếu có đẳng thức A = B thì đẳng thức luôn
đúng với mọi giá trị gán cho các biến tơng ứng
VD:
A = (x + y + z)
3
- x
3

+ 2xy + 2xz + 2yz+ x
2
+
xy + xz + x
2
- y
2
+ yx - z
2
)

A/(y + z) Với ĐK y

-z
Vai trò của x, y ,z là nh nhau trong đa thức A
nên phân tích tơng tự ta cũng có
A/(x+ z) Với ĐK x

-z
Và A/(x+ y) Với ĐK x

-y

A = k(x+ y) (x+ z)(y + z) = (x + y + z)
3
(1 +
1)
= (1 + 1 + 1)
3
- 1

- x+ b
Là phép chia hết
+ HD : - Thực hiện phép chia
- Tìm số d R
- Gán số d = 0

Phép chia hết

Tìm hệ số
7) áp dụng
1) Tìm các giá trị của x, y thỏa mãn xy + 1 = x
+ y
xy + 1 = x + y

xy + 1 - x - y = 0

(x - 1) (y - 1) = 0

x - 1 = 0

x = 1; y
tùy ý
GA tự chọn toán 8
a) x
2
- 7x + 12
b) 4x
2
- 3x - 1
c) x

b) 4x
2
- 3x - 1 = 4x
2
- 4x + x - 1
= 4x(x - 1) + (x - 1)= (x - 1)(4x +
1)
c) x
3
- 7x - 6 = (x + 1)(x + 2) ( x - 3)
d) x(x - 1)(x + 2)(x - 3) = (x
2
+ 3x + 1)
2
e) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- y
2
) = (x - y)(y - z)(z - x)
Bài tập tự luyện
1-Phân tích các đa thức thành nhân tử.
a) x
2
- 7x + 12 = x
2
- 4x - 3x + 12

+ 9n - 2 là 1 số nguyên tố.
Hớng dẫn
BT1: KQ x = y = 2
GA tự chọn toán 8
Tiết 9 Kiểm tra
Ngày soạn: 24-10-2006
Giảng: 1-11-2006
I. Mục tiêu bài dạy
- Kiểm tra đánh giá kết quả học tập của HS qua phần phân tích đa thức thành nhân tử.
- Rèn luyện kỹ năng trình bày .
- Giáo dục tính tự giác, trung thực
II. Ph ơng tiện thực hiện
- GV: Đề bài + đáp án
- HS: Giấy làm bài + Kiến thức
III. Tiến trình bài dạy
A) Tổ chức:
Lớp 8A:
Lớp 8B:
B) Kiểm tra
Kiểm tra tự chọn
Môn : Đại số
Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a- x
2
+ xy + x + y
b- 3x
2
- 3xy + 5x
c- x
2

)
2
B. (x - y)(x + y)(x
2
- y
2
)
C. (x - y)(x+y)(x
2
+ y
2
) D. (x - y)(x + y)(x - y)
2Câu 5: Đa thức x
4
- y
4
đợc phân tích thành nhân tử là :
GA tự chọn toán 8
A. (x
2
- y
2
)
2
B. (x - y)(x + y)(x
2
- y

2
chứng minh tứ giác là các hình hoặc chứng minh các T/c
đặc trng: Góc, đờng thẳng //, đồng quy ..
- Phát triển t duy sáng tạo.
II. ph ơng tiện thực hiện
- GV: P
2
nhận diện các loại tứ giác.
- HS: Ôn lại chơng tứ giác.
III. tiến trình bài dạy
1. Tổ chức:
Lớp 8A:
Lớp 8B:
2. Kiểm tra
Lồng vào bài giảng
3. Bài mới
Hoạt động của giáo viên và HS Kiến thức cơ bản
- GV: Đa ra yêu cầu cần nhớ về
các hình ?
- Nêu các hình đã học
- Nêu các đ/n hình: Tứ giác lồi, &
t/c của nó
- Nhắc lại đ/n hình thang, hình
thang cân, hình thang vuông.
- GV: Cho HS nhắc lại t/c và dấu
hiệu của các hình.
Cho tứ giác ABCD biết
à
A
:

0
( 2 góc
đồng vị)
+ Tơng tự Góc
ã
CDE
= 72
0
+ Trong

CDE có:
Góc CDE = 180
0
- (
ã
CDE
+
ã
DCE
)
= 180
0
- ( 36
0
+ 72
0
) = 72
0
4. Củng cố
- GV chốt lại p

+
à
3
C
+
à
4
D
=
à à
à
à
0
0
360
36
1 2 3 4 10
A B C D+ + +
= =
+ + +
Góc (
à à
à
à
A B C D+ + +
= 360
0
)
Do đó
Góc

D
= 36
0
+ 144
0
= 180
0
Nên 2 đt AB & CD song song ( 2 góc trong
cùng phía bù nhau)
c) Do góc
à
A
+
à
B
= 36
0
+ 72
0
= 108
0
Nên AD & BC không // do đó chúng cắt nhau
tại E
- Góc CDE là góc ngoài tại đỉnh D của tứ giác
ABCD nên góc
ã
CDE
+
à
D

1. Tổ chức
Lớp 8A:
Lớp 8B:
2. Kiểm tra:
- Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình thang, hình bình hành.
- Nêu các p
2
cơ bản để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
3. Bài mới
Hoạt động của giáo viên và HS Kiến thức cơ bản
Cho

ABC cân ( AB = AC) Phân
giác BD & CE . Gọi I là trung điểm
của BC; J là trung điểm của ED; O
là giao điểm của BD & CE.
Chứng minh
a) Tứ giác BEDC là hình thang cân
b) BE = ED = DC
c) Bốn điểm A, I, O, J thẳng hàng
- GV cho HS ghi gt & kl
-1 HS lên vẽ hình
- Để CM là hình thang ta CM gì?
- Để CM 2đt // ta CM góc nào bằng
nhau

liên quan đến

nào?
- Vậy ta phải CM

=
ả
2
B
;
à
1
C
=
ả
2
C
;
à
B
=
à
C
( 2 góc ở đáy của

ABC cân)
GA tự chọn toán 8
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần l-
ợt là trung điểm của AB, CD Biết
MN =
2
BCAD
+
CMR tứ giác
ABCD là hình thang

à
0
180
2
A
(1)

ABC cân tại A

ã
ABC
=
à
0
180
2
A
(2)
Từ (1) &(2)

ã
ADE
=
ã
ABC

ED//BC
Hay BEDC là hình thang cân
Bài tập 3:
B C

2
DEAD
+
(1)
Mặt khác trong

ABE có MN là đờng trung
bình của

đó nên MN =
2
AE
(2)
Từ (1) & (2)

AE = AD = ED
Đẳng thức chỉ xảy ra khi 3 điểm A, D, E thẳng
hàng
Do

NBC =

NED nên Góc BCD = EDC do
GA tự chọn toán 8
4. Củng cố
- GV chốt lại p
2
chứng minh
5. HDVN:
- Xem lại bài chữa.

GV

OAR và

OCS có:
AR = CS
OA = OC


ã
OAR
=
ã
OCS
= 45
0
OAR =

OCS (cgc)

OR = OS ;
ã
AOR
=
ã
COS
1) Chữa bài về nhà

= 90
0


MRCS là hình chữ nhật

MC = RS và cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đờng.
b)

MAR vuông ở R lại có
à
A
= 45
0
(

ABC
vuông cân tại C)


MAR là vuông cân


RA = RM nhng RM = CS ( Cạnh đối của
hình chữ nhật)

AR = CS.
CO là trung tuyến của tam giác vuông cân ABC
nên CO là phân giác của