Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
5 3 29 12 5A = − − −
b)
8 4
4 2
3 4
2
x x
B
x x
+ +
=
+ +
Bài 2: Cho phương trình
2
2( 1) 2 4 0.x m x m− − + − =
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 2
M x x= +
Bài 3: Chứng minh rằng:
a)
( )
2
2 2
2
x y
x y
+

10
3 3
x x
x x
 
+ = −
 ÷
 
d)
2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + − + − − − =
Bài 5: Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 3 0
2 0
xy y x
y x y x

− + =


+ + =


Bài 6:
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
5 7
x

và
2
2 5 0x x m+ + − =
Bài 9:
a) Cho hai số dương x và y thoả mãn:
10x y+ =
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( ) ( )
4 4
1 1A x y= + +
c) Chứng tỏ rằng:
7 2 3 2 3 29
5 20
2 2 3 2 2 3
+ −
< + <
+ + − −
Bài 10:
a) Giải hệ phương trình:
2 2 2
0
0
( ) ( ) ( )
x y z
x y y z z x
x y z
x y y z z x

+ + =

− + −
Bài 11:
a) Giải phương trình:
( )
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + = − +
b) Giải hệ phương trình:
2
2 2
4 4 2
5
x xy x y
x y

− + + =


+ =


c) Cho ba số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1x yz y zx z xy xy yz xz+ + + + + ≥ + + +
Bài 12:
a) Cho phương trình:
2
1 0x mx m− + − = có hai nghiệm x
1
và x
2
*) Tìm giá trị của biểu thức:

1 4 2n n n+ + < +
Bài 13:
a) Chứng minh rằng:
( )
2 3 1 2 3n = + −
là số hữu tỉ
b) Rút gọn biểu thức:
2 1 2 1M x x x x= + − + − −
với
1x ≥
c) Cho
10a b+ =
. Chứng minh:
( ) ( )
4 4
1 1 101x y+ + ≤
Bài 14:
a) Cho phương trình:
( )
2
2 1 2 1 0m x mx− − + =
. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
x
1
và x
2
thoả mãn:
2 2
1 2
1x x− =

c) Cho
1; 1x y≥ ≥
. Chứng minh rằng:
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+ ≥
+ + +
Bài 15:
a) Rút gọn biểu thức:
2 2
1
1 1
x x x x
M x
x x x x
− +
= − + +
+ + − +
với
0 1x
≤ ≤
b) Giải phương trình:
3 3 3
1 1 5x x x+ + − =
c) Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2 5 3x x x x x x− + − = +
d) Giải phương trình:
3 2

2 ; 0; 0x y xy y x y− = ≠ + ≠
. Tính giá trị của biêủ thức:
x y
Q
x y
−
=
+
d) Tìm hai số tự nhiên a và b biết
a
a b
b
− =
Bài 17:
a) Cho hai số dương có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1
P
a b
= +
b) Cho hệ phương trình:
2 2
3 3 0
2 2 9 0
x y
x y x y
− − =


+ − − − =



+ =



( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
x xy y x y 185
x xy y x y 65

+ + + =


− + + =


Bài 18:
a) Tìm các số nguyên x,y thoả mãn:
2 2 2
2 1 2y x x y x y xy+ + + = + +
b) Cho các số thực x,y,z thoả mãn:
6x y z xy yz xz+ + + + + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2
3x y z+ + ≥
c) Tìm m để phương trình:
4 2
2 4 0x mx+ + =

4106
4610
yx
yx
Bài 19:
a) Cho biểu thức:
( )
2
2 1
2
1 1
x
x x x x
P
x x x x
−
− +
= − +
+ + −
*) Rút gọn P. *) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
b) Giải phương trình và hệ phương trình:
*)
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +
*)
1 4
7
x y
x y


b) Giải hệ phương trình:
2 2 2
6
1
14
x y z
xy yz xz
x y z

+ + =

+ − = −


+ + =


3 3
1
21
x y
x y
+ = −


+ = −

c) Tìm k để phương trình:
( ) ( )
2

x y x y

+ + =


+ + =


c) Cho
2a b+ ≥
. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có
nghiệm:
2 2
2 0; 2 0x ax b x bx a+ + = + + =
Bài 22: Cho phương trình:
2
2 6 9 0x mx m− − − =
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn:
2 2
1 2
13x x+ =
Bài 23:
a) Giải các hệ phương trình:
2 2
11
30
x y xy
x y xy
+ + =

b) Giải các phương trình: *)
( ) ( ) ( )
2
6 7 3 4 1 6x x x+ + + =
*)
( ) ( ) ( ) ( )
2
4 5 6 10 12 3x x x x x+ + + + =
Bài 24:
a) Giải phương trình:
4 3 2x x− − =
b) Tìm m để phương trình:
( )
2
1 2 0x m x m− + + =
có hai nghiệm là độ dài hai cạnh
góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.