PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm:
( )
; ;M x y z OM xi y j zk⇔ = + +
uuuur r r r
O(0; 0; 0)
đặcbiệt:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
; ;0 ;0;0
0; ; 0; ;0
;0; 0;0;
M Oxy M x y M Ox M x
M Oyz M y z M Oy M y
M Oxz M x z M Oz M z
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
∈ ⇒ ∈ ⇒
2. Toạ độ vectơ:
( )
; ;u x y z u xi y j zk= ⇔ = + +
r r r r r
(1;0;0); (0;1;0); (0;0;1)i j k= = =
r r r
3. Các công thức tính toạ độ vectơ:
( )
; ;
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −

' '; '; 'u x y z=
ur
;
' ; ; ( ' '; ' '; ' ')
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u u yz zy zx xz xy yx
y z z x x y
 
∧ = = − − −
 ÷
 
r ur
Nhận xét:
+)
;u v
r r
cùng phương thì
( )
0 0;0;0u v∧ = =
r r r
⇒
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi
0AB AC∧ =
uuur uuur r
+)
u v v u∧ = − ∧
r r r r
+)
( ); ( )u u v v u v⊥ ∧ ⊥ ∧

HộpABCDA’B’C’D’
=
[ , ]. 'AB AD AA
uuur uuur uuur
. +) V
Tứdiện ABCD =
1
[ , ].
6
AB AC AD
uuur uuur uuur
.
7. Các công thức tính độ dài và góc
+)
2 2 2
u x y z= + +
r
( )
2
2 2
) ( ) (
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
+)
( )
2 2 2 2 2 2
. ' ' ' '
cos ; '
'
. ' ' '

a) Tìm tọa độ hình chiếu của các điểm A, B, C trên các trục tọa độ, trên các mặt tọa độ.
b) Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các mp tọa độ.
c) Tìm tọa độ của các điểm đối xứng với A (B, C) qua các trục tọa độ.
d) Tìm tọa độ của điểm đối xứng với A (B, C) qua gốc tọa độ.
e) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua C.
Bài 4. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;2;1 , 5;3;4 , 8; 3;2A B C −
.
a) CMr: ∆ABC vuông tại B.
b) Tính diện tích của ∆ABC .
c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC .
Bài 5. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1A B C
. Tính các góc của ∆ABC .
Bài 6. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1A B C D− −
.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của một hình chữ nhật
b) Tính độ dài các đường chéo, xác định toạ độ của tâm hình chữ nhật đó.
c) Tính côsin của góc giữa hai vectơ
AC
uuur
và
BD
uuur
.

b) Tính diện tích tồn phần của hình hộp.
c) Tính thể tích V của hình hộp.
d) Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 2: MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R− + − + − =
(1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x
2
+y
2
+z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0, (2)
đk: A
2
+ B
2
+ C
2
- D >0 (*)
Tâm I
1
(-A; -B; -C) và bán kính R
1
=

c) x
2
+y
2
+z
2
-6x + 4y + 2z - 11 = 0
d) (x - 1)
2
+(y +3 )
2
+(z - 2)
2
= 49
e) x
2
+y
2
+z
2
-2x +2z - 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
a) mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
b) mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
c) mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
d) mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: ( TN03-04)Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2)Gọi
A’ là hình chiếu của A lên Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp (Oxy)
Bài 5: Viết phương trình mặt cầu

r
b. Nếu điểm M(x
1
; y
1
; z
1
)
∈
(P) thì Ax
1
+By
1
+Cz
1
+D=0
 Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ không cùng phương
; 'u u
r ur
có
giá song song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT của mp là:
'n u u= ∧
r r ur
3. Các trường hợp đặc biệt:
a) Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
b) Mp song song với các mặt tọa độ:
song song với (Oxy): Cz + D = 0,
song song với (Oyz): Ax + D = 0 ,
song song với (Oxz): By + D = 0
c) Mp song song hoặc chứa các trục tọa độ:

a) (
α
) vuông góc với AB tại A, biết A(1;0;−2), B(2;1;1).
b) (
α
) qua ba điểm M(2;−1;3), N(4;2;1), P(−1;2;3).
Bài 3. Trong không gian cho A(−1;2;1),
OB j k= +
uuur r r
,
4OC i k= +
uuur r r
.
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).Chứng tỏ A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng:
a) chứa trục Ox và điểm A(1; 2; 3) b) chứa trục Oy và điểm B(- 2 ; 3 ; 5)
c) chứa trục Oz và điểm C(2 ; -1 ; 2)
Bài 6. Cho tứ diện ABCD có A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a) Viết phương trình mp (ACD) và (BCD)
b) Viết phương trình mp chứa AB và song song CD
c) viết phương trình mp chứa CD và song song AB.
Bài 7. Viết phương trình các mp qua M(1; 3; -5) và lần lượt song song các mp tọa độ.
Bài 8. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các trục
toạ độ.
Bài 9. Cho điểm M(-2; 3; 1). Viết ptmp đi qua các điểm lần lượt là hình chiếu của M lên các mp toạ
độ.
Bài 10. ( TN 07 -08) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; -1),

, A
2
, A
3
lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mp (P) qua A
1
, A
2
, A
3
.
Bài 14. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
3;1;0 , 1;2;1 , 2; 1;3A B C− −
.
a) CMr: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Tìm M sao cho
2 3AM BA CM+ =
uuuur uuur uuuur
.
d) Viết pt mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng BC.
Bài 15. Trong kg Oxyz, cho A(0; 2; 0) và mặt phẳng (α):
2 3 4 2 0x y z+ − − =
.
a) Viết pt mp (β) qua A và song song với mặt phẳng (α).
b) Viết pt mp
( )
γ
qua OA và vuông góc với mặt phẳng (α).

.
f.Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
g. Tính V
ABCD
.
h. Tính chiều cao DH của tứ diện ABCD.
Bài 21. Trong k/gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; -1; 1), B (-2; 1; 3), C (4; -5; -2) và D (-1; 1; -2).
a.Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua B.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Suy ra ABCD là một tứ diện.
c.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .Xác định tâm và bán kính của nó
d. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
e.Viết phương trình mặt phẳng đi qua AB và song song với CD
f.Tính góc giữa AB và CD.
Bài 22. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; -1; -2), B(3; 1; 1) và mp
( ) : 2 2 5 0x y z
α
− − − =
.
a. Viết phương trình mặt phẳng
( )
β
song song với mặt phẳng
( )
α
và cách
( )
α
một khoảng bằng
5.
b. Viết phương trình mặt phẳng

r ur
1. (P) // (P’)
( ) ( )
; ; '; '; '
'
' '
A B C k A B C
n kn
D kD D kD

=
=
 
⇔ ⇔
 
≠ ≠
 
 
r ur
2.
( ) ( )
( ) ( )
; ; '; '; '
'
'
' '
A B C k A B C
n kn
P P
D kD D kD

thì (P’) chứa hoặc chứa
( ; ; )n A B C=
r

Bài tập:
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) trong các trường hợp sau:
a) (
α
) qua A(0; −2; 1) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3z+1=0.
b) (
α
) qua B(2 ; 3 ; -2) và song song với mặt phẳng (
β
): x−3y + 2z - 1=0.
c) (
α
) qua C( -1 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng (
β
): 2x + y - 2z+4=0
d) (
α
) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (
β
): 4x + y - z+1=0.
2. Viết phương trình mặt phẳng (
α

β
):
3 2 6 0x y+ − =
3. Viết phương trình mp qua B(4 ; -2 ; -1) và vuông góc với 2 mp (Oxy), mp (P) : x - y + 2z + 1
= 0
4. (TN 06 - 07)Trong không gian Oxyz, cho M(-1; -1; 0) và mp(P): x + y - 2z - 4 = 0. Viết
mp(Q) qua M và song song với (P)
5. (CĐ 08 - 09) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P
1
) : x + 2y + 3z + 4
= 0 và (P
2
) : 3x + 2y − z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 1; 1),
vuông góc với hai mặt phẳng (P
1
) và (P
2
)
6. Xác định các giá trị của m, n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mp song song với
nhau
a) 2x + my + 3z - 5 = 0 và nx - 8y - 6z +2 = 0
b) 3x - 5y + mz - 3 = 0 và 2x + nx - 3y - 3z + 1 = 0
Tóm tắt một số cách viết phương trình mặt phẳng :
Loại 1 : Biết một điểm M
0
(x
0
;y
0
;z

Ax+By+Cz+m=0
,
( )
α
uur uur
β
n =n
.
* Thay tọa độ điểm A vào (α) để tìm
( )
( )
A A A
m, m=- Ax +By +Cz
.
Loại 4: (α) đi qua hai điểm M, N và vuông góc với mặt phẳng (β):
Ax+By+Cz+D=0
,
(MN không vuông góc với (β):
* (α) có
α
∧
uur uuur uur
β
n =MN n
.
* Điểm thuộc mặt phẳng: M (hoặc N). Thay các kết quả vào (1).
III. Khoảng cách từ một điểm đến 1 mặt phẳng:
Định lý: Cho điểm M(x
0
; y

này, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mặt phẳng kia.
Loại 3: Khoảng cách giữa đường thẳng
∆
và mp(β) song song: Lấy một điểm M tùy ý trên đường
thẳng
∆
, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mặt phẳng (β).
Loại 4: Khoảng cách giữa đường thẳng
∆
và
'∆
chéo nhau:
B1: Lập phương trình mp(Q) chứa
'∆
và song song
∆
B2: Lấy một điểm M tùy ý trên đường thẳng
∆
, tính khoảng cách từ điểm M đó đến mp(Q).
Hoặc ta có thể làm ngược lại
Bài tập:
1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), biết:
a) M (1; 2; 3), (P): 2x - y + 2z - 10 = 0
b) M( 2; -2; 3), (P): 4x - 3z + 3 = 0
c) M ( 0; -1; 3), (P): 3y - 11 = 0
2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình: x + 2y + 2z + 11 = 0 và x +
2y + 2z + 2 = 0
3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có phương trình(P): 2x - 3y + 6z + 19
= 0
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng

10. Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1). Tính độ dài đường cao của hình
chóp A.BCD
11. (ĐH - khối B - 09)Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3),
C(2; -1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ
C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Hướng dẫn: có 2 trường hợp :
(P) chứa AB và song song CD ( Đs : 4x + 2y + 7z - 15 = 0
(P) qua A, B và M là trung điểm của CD ( Đs : 2x + 3z - 5 = 0)
12. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) . Tính thể
tích tứ diện ABCD.
13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật OABC.O’A’B’C’ có các
đỉnh A(3; 0; 0), C(0; 4; 0), O’(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và điểm B’ là đỉnh đối diện với O.
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACO’) và tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng này.
b) Tìm tọa độ điểm B’. Tính khoảng cách từ O đến (ACB’)
14. Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải các bài toán liên quan:
AD1: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng cho trước


Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến
mp(P)
15.Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2). Viết
phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
16.Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0), D(-2; 1; 0).Viết phương
trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc mp (ABC).
17.( TN năm 06 - 07) Trong không gian Oxyz, cho mp(α): x + 2y - 2z +6 = 0.Viết phương trình
mặt cầu tâm là gốc toạ độ và tiếp xúc với mp(α).