VẤN ĐỀ 2. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
1.1 Nguyên hàm của hàm số lượng giác suy trực tiếp từ đổi biến số cơ bản
Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số
3
( ) sin cosf x x x=
Ta có:
4
3 3
sin
( ) sin cos sin (sin )
4
x
f x dx x xdx xd x C= = = +
∫ ∫ ∫
Bài 2. Tìm họ nguyên hàm của
( )f x tgx=
Ta có
sin (cos ) 1
( ) ln cos
cos cos 2
xdx d x
f x dx tgxdx x C
x x
= = = − = +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
cos sin cos
( )
2 sin
x x x

sin3 .sin 4
( )
cot 2
x x
f x
tgx g x
=
+
Ta có:
sin3 .cos4 sin3 .cos4 sin3 .cos4
( )
sin cos2 cos
cot 2
cos sin 2 cos .sin 2
x x x x x x
f x dx dx dx dx
x x x
tgx g x
x x x x
= = =
+
+
∫ ∫ ∫ ∫
1 1
sin 2 .sin3 .sin 4 (cos cos5 )sin 4 (sin5 sin3 sin 9 sin )
2 4
x x xdx x x xdx x x x x dx= = − = + − +
∫ ∫ ∫
1 1 1 1
cos5 cos3 cos9 cos

= − − − + − = − − + − +
 ÷
 
= + + + = + +
Bài 6. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4
1
( )
cos sin
f x
x x
=
Ta có
4 2 4 4 2
cos cos
( ) ....
cos sin cos sin sin (1 sin )
dx xdx xdx
f x dx
x x x x x x
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫
3
1 sin 1 1 1
ln
2 sin 1 sin
3sin
x
C

3 3
( ) sin cos3 cos sin3f x x x x x= +
Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4
( ) sinf x x=
Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
4
( )f x tg x=
Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
sin cos
( )
sin cos
x x
f x
x x
−
=
+
(ĐS:
ln | sin cos |x x C− + +
)
Bài 16. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
cos2
( )
sin cos
x
f x
x x
=
+

 
Đặt
4 4
t x x t dx dt
π π
= − ⇒ = + ⇒ =
. Vậy:
2 2 2
2
sin
(sin cos )
2 sin 1
4
2
( )
4 cos
2cos 2cos cos
t
x x
t
f x
t
x x t
π
 
+
+
 ÷
 
 

ln
8
4cos sin 1
4 4
x
C
x x
π
π π
 
− −
 ÷
 
= + +
   
− − +
 ÷  ÷
   
Bài 18. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
cos .cos
4
f x
x x
π
=
 
+
 ÷

3
x x
f x
x x
x
π
+
= =
 
+
+
 ÷
 
, từ đó tìm nguyên hàm
Bài 20. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
sin 2 2sin
f x
x x
=
−
Ta có:
2 2
1 sin sin
( )
2sin (cos 1)
2sin (cos 1) 2(1 cos )(cos 1)
x x
f x

Bài 23. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
( )
2 sin cos
f x
x x
=
+ −
Bài 24. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
1
( )
sin .cos
f x
x x
=
1.2 Hàm lượng giác với mẫu số là biểu thức thuần nhất của sin:
(sin )
n
dx
x
∫
Bài 1. Tìm nguyên hàm của
1
( )
sin
f x
x
=
Ta có:

Bài 1. Tìm họ nguyên hàm của
1
( )
cos
f x
x
=
Ta có:
2 2
cos (sin ) 1 sin 1
( ) ln
cos 2 sin 1
cos sin 1
dx xdx d x x
f x dx C
x x
x x
−
= = = − = − +
+
−
∫ ∫ ∫ ∫
Vậy
33 7 3
( ) sin 4 cos8
64 64 512
f x dx x x x C= + + +
∫
Bài 2.
1 2 4

=
− +
. Vậy
1 3 5
( ) ln
2 1
tgx
f x dx C
tgx
−
= +
−
∫
Bài 2. Tính các nguyên hàm sau:
1 2
2 2
3 4
2 2 2 2
, ,
(3sin 5cos ) 1 (4cos2 7sin 2 )
,
3sin 4cos 2sin 5sin .cos 3cos
dx dx
I I
x x x x
dx dx
I I
x x x x x x
= =
− + −

2
ln
2 5
3 5
3 2 2 2 1
2 2 2
2 4 4
x x
x
d tg d tg
tg
C
x x x
x
tg tg tg
tg
   
−
 ÷  ÷
   
= = − = − +
   
+ − +
− −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
Bài 2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
( )

a x b x
=
+
∫
Bài 1. Tính
1
sin
3cos 7sin
xdx
I
x x
=
+
∫
Bài 2. Tính
1
sin3
2cos3 5sin 3
xdx
I
x x
=
−
∫
Bài 3. Tính
4
1
4 4
sin
cos sin

Ta có
/ 2 / 2 1
2 2 2
0 0 0
(sin ) 1 (sin ) 1
2 2 6 2
8 2sin 4 sin 4
d x d x du
I
x x u
π π
π
= = = =
− − −
∫ ∫ ∫
Bài 2. Tính
/ 2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
Ta có:
/ 2 /2 / 2

∫
Ta có:
2
sin cos sin cos 4 2
2 2 2 2
x x x x
I dx dx
π π
π π
− −
 
= − = − =
 ÷
 
∫ ∫
Bài 4. Tính
/ 2
/ 2
| sin |I x dx
π
π
−
=
∫
(Đáp số
2I =
)
Bài 5. Tính
/ 4
/ 4

0
1 cos2I xdx
π
= +
∫
(Hướng dẫn
0
2 | cos | 2 2I x dx
π
= =
∫
)
Bài 8. Tính
0
| cos | sin (I x xdx
π
=
∫
Đáp số
4
3
I =
)
Bài 9. Tính
2
0
1 sinI xdx
π
= +
∫

Bài 11. Tính
/ 2
0
cos
2 cos2
xdx
I
x
π
=
+
∫
(Ta có
/ 2
2
0
(sin )
3 2sin
d x
I
x
π
=
−
∫
)
Bài 12. Tính
/ 2
/ 4
cos sin

2
0 0
sin 2 sinI x xdx t tdt
π π
= =
∫ ∫
, tích phân từn phần kết quả
2
2 8
π
−