Tài liệu luyện thi Đại học và cao đẳng
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Bài toán: Tính tích phân của hàm :
f(x) = R(sinx, cosx)
.
1. Bằng phép biến đổi lượng giác hoặc sử dụng phép đặt
2
2 2 2
2 1 2
tan sin ,cos ,
2 1 1 1
x t t dt
t x x dx
t t t
−
= ⇒ = = =
+ + +
, ta có thể đưa tích phân đã cho về tích phân của
hàm hữu tỉ đối với biến t, tuy nhiên trong nhiều trường hợp phép đặt trên dẫn đến một tích phân
phức tạp hơn. để giải quyết vấn đề cần phải đổi biến như thế nào, chúng ta chú ý đến biểu thức
dưới dấu tích phân, ta có thể chia ra các trường hợp sau
1/ Nếu
R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx)
tức là
R(sinx, cosx)
là hàm số lẻ đối với sinx, ta đặt t=
cosx.
Ví dụ 1: Tính
2
5 2
0

sin
c x
I dx
x
π
π
=
∫
Nhận xét.
3
2
os
(sin ,cos )
sin
c x
R x x
x
=
là lẻ đối với cosx, nên ta đặt t= sinx và thực hiện đổi cận, ta có
2
3 2 2 2
4 4 4 2
2 2 2 2
1
6 6 6 2
os os .cos (1 sin ).cos (1 ).
sin sin sin
c x c x x x x t dt
I dx dx dx
x x x t

x c x
π
π
=
∫

Nhận xét.
2 4
1
(sin ,cos )
sin os
R x x
xc x
=
là chẵn đối với sinx và cosx, nên ta đặt t = tanx và thực hiện
phép đổi cận ta có
( )
2
2
1 1
4
2
2
2 4 2
2
3 3
6
2 2
3 3
1

2 2
c x c x
x x
+ −
= =
, nếu một trong hai số m hoặc n là
số lẻ, ta trở lại trường hợp 1 hoặc trường hợp 2.
Ví dụ4:
( ) ( )
2
2 2 2
2
2 4
0 0 0
1 os2 1 os2 1
sin . os . 1 os2 1 os2
2 2 8
c x c x
I x c xdx dx c x c x dx
π π π
− −
 
= = = − −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
5/ Nếu




a x b x a x b x
Ax B a x b x C
+ −
= +
+ +
= + + +
∫ ∫
Ví dụ: Tính
2.sin 3.cos
sin 2cos
x x
I dx
x x
+
=
+
∫
Ta có
Phạm Tiến Hải – Giáo viên Toán trường THPT Nguyễn BỈnh Khiêm
Tài liệu luyện thi Đại học và cao đẳng
2.sin 3.cos (sin 2cos ) ( os 2sin )
8
8 1
5
2.sin 3.cos (sin 2cos ) ( os 2sin )
1
5 5
5
8 1
ln | os 2sin |

Ta phân tích
( ) ( )
.sin .cos '.sin '.cos '. os '.sina x b x A a x b x B a c x b x+ = + + −
, tìm ra các hệ số
A và B. Khi đó
2
.sin .cos 1
( '.sin '.cos ) '.sin '.cos '.sin '.cos
a x b x B
dx A dx
a x b x a x b x a x b x
+
= −
+ + +
∫ ∫
.
Ví dụ. Tính
2
sin 2cos
( 3 sin cos )
x x
I dx
x x
+
=
+
∫

sin 2cos ( 3sin cos ) ( 3 os sin )
2 3

⇒ = + +
+ +
∫
Tích phân
1
3 sin cos
dx
x x+
∫
là dạng tích phân mà chúng ta đã biết cách tính .
Chú ý Hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được tích phân dạng
3
.sin .cos
( '.sin '.cos )
a x b x
dx
a x b x
+
+
∫
Ví dụ: Tính
3
sin 2cos
( 3 sin cos )
x x
I dx
x x
+
=
+

∫ ∫ ∫
∫
p p
p
3 4
2
-p 0 0
p
p p
3
2
4
2 4
p
2
0 0
6
p
p
p
2
2
3
4
4
p p
2 2 2
0
6 4
5

0 0
6
/ cotgdx * 12/ e cosxdx
1
sin
1 2cosx
x
*13/ dx * 14/ (cos4x + cos2x)dx * 15/ dx
2
x (sinx + 1)
*16/ sin2xcos3xdx * 17/ (1 + sinx) cosxdx * 18/ 1 + 4sinxcosxdx
cosx cos x
*19/ dx 20/ sin xdx * 21/ dx
1 + sinx
sin x
*2
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
p
p
p
4
2
p
2
0 0
6
p
2
3