Chương 5c Tích phân
chuong3a – nick yahoo, mail:
.................................................................................................................................................. 2
............................................................................................................................................. 2
............................................................................................................................................. 2
............................................................................................................................................. 3
............................................................................................................................................. 4
............................................................................................................................................. 5
............................................................................................................................................. 5
............................................................................................................................................. 6
........................................................................................................................................... 7
............................................................................................................................................. 8
............................................................................................................................................. 8
4/ ........................................................................................................................................ 8
............................................................................................................................................. 9
............................................................................................................................................. 9
......................................................................................................................... 10
5/ Tích phân hàm lượng giác: ................................................................................................. 10
........................................................................................................................................... 10
........................................................................................................................................... 12
.......................................................................................................................................... 13
........................................................................................................................................... 13
.......................................................................................................................................... 14
.......................................................................................................................................... 15
.......................................................................................................................................... 16
........................................................................................................................................... 17
.......................................................................................................................................... 18
.......................................................................................................................................... 18
........................................................................................................................................... 19
.......................................................................................................................................... 21
........................................................................................................................................... 22

'
'
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2
2 2
dx
a / I , put x a t x x a t x t 2t.x x
x a
t a .2t 2t . t a
t a
x , dx .dt
2t
4t
4t 2t 2a t a
.dt .dt
4t 2t
= + = − ⇒ + = − = − +
+
− − −
−
⇒ = =
− + +
= =
∫
2 2
2
2 2
2 2

∫ ∫ ∫
∫
2 2
dx 1 i.a
1b / ln tan .arcsin
2 x
x a
 
 
=
 
 
 
 
+
∫

( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2
2
'
2 2
2 2
2 2

⇒ = = =
 
 
   
⇒ = − = −
   
   
−
 
+
−
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
i.a.cos t.dt 1 i.a.cos t.dt 1
sin t sin t
1 sin t cos t
a a
sin t sin t
i.a.cos t.dt sin t dt t 1 i.a
ln tan ln tan .arcsin
i.a.cos t sin t 2 2 x
sin t

∫
2 2
put a i.b
dx 1 i.b
ln tan .arcsin
2 x
x b

=


 
 
⇒ =
 
 
 
 
+
∫
2 2
dx i.x
1c / iarcsin C
a
x a
= − +
+
∫

( )

 
= ⇒ = ⇒ = = = −
−
⇒ = = − +
− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
dx x
* I Put x a.sin t dx a.cos t.dt, t arcsin
a
a x
a.cost.dt a.cos t.dt x
I dt t arcsin
a
a a .sin t a cos t
i.dy i.y
Put x i.y I arcsin
a
a y
dy i.y
i.arcsin
a
a y
= = ⇒ = =
−
⇒ = = = = =

i.y
ln x x a i.arcsin
a
i. i
1
ln 1 1 a i.arcsin i.arcsin , arcsin z iln z z 1
a a
−
−
−
−
= ⇒ = = − = = −
⇒ = =
+ +
− − +
⇒ + + = −
−
 
⇔ + + = − = − = − ± +
 
 
∫ ∫ ∫
iw iw
2i.w iw iw 2
2 2
e e
w arcsin z z sin w
2
e 2z.e 1 0 e z z 1
i.w ln z z 1 w arcsin z iln z z 1

I Put x a.tan t dx , t arctan
a
cos t
x a
a.dt a.dt dt
I
1
cos t a .tan t a a.cos t tan t 1
cos t
cos t
dt t dx 1 x
ln tan I ln tg .arctan
cos t 2 4 2 a 4
x a
dx 1
ln x x a i.ln tg .a
2
x a
= = ⇒ = =
+
⇒ = = =
+ +
 π  π
   
= + ⇒ = = +
   
 
   
 
+

1
2
2
1
1
dx dx dx
so why but
x a
x 1.a 1.x a
1 i.a
ln x x a i.ln tg .arcsin
2 x
i.x 1 x
iarcsin ln tg .arctg
a 2 a 4
= =
+
− − − − +
 
   
+ + ≠
 
 
 
  
 
 
π
   
≠ − ≠ +

a x
x
a 1
a
dx 1 a.du x
arcsin
a a
a x 1 u
= = ⇒ = =
−
⇒ = = = = =
−
= = ⇒ = ⇒ =
−
 
−
 
 
⇒ = =
− −
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
2 2
2 2
dx
2b / i.ln i.y a y C
a x
= − + − +

t a i t a i i t a .2t 2t i t a
t a
x , dx dt
2t.i 2t
2t.i
2t
i 2t 2a i t a
i4t 2t .i 2i.a
dt dt
4t 4t 2t
= + = −
−
+
⇒ − + = − = − −
− − − − − + −
−
⇒ = = = =
− + − +
− + −
= = =
∫ ∫
5
(
)
(
)
(
)
(
)

2t
i. t a dt i. t a dt i. t a dt
t. t a
i t a t a
2t t 2t t
2t 2t
i.dt
i.ln t C i.ln i.x a x C
t
− +
− +
⇒ = =
−
 
− −
−
 
−
 
 
 
− + − + − +
= = =
   
+
− −
   
+ −
   
   

−
⇒ = − + − +
−
= = = − + −
−
∫
∫
∫
∫
2
2
2 2
2 2 2 2
i.y i.y i.y
arcsin z iln z z 1 , arcsin i.ln 1
a a a
i.y a y
i.ln i. ln i.y a y lna i.ln i.y a y C
a
 
 
= − ± + ⇒ = − + +
 
 
 
 
+ −
 
= − = − + − − = − + − +
 

i 1
i x a x a
a. sin t dt
a a.cos t.dt a
dat x dx t arcsin
sin t x
sin t sin t
= =
−
− − −
−
= = = −
− −
−
−
= ⇒ = = =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( )
2
2
2
2
2 2
2
2
i a.cost.dt
1
I .
sin t

2
22
2 2
1 1
1
dx dx dx
Vay tai sao : nhung
a x
1 x ai.x a
x 1 a
arcsin i.ln tg .arcsin ln i.x a x
a 2 x
= =
−
− −+
 
 
   
≠ ≠ + −
 
 
 
 
   
 
 
∫ ∫ ∫
2 2
dx 1 a
3a / I ln tg .arcsin

cos t.dt sin t dt t 1 a
. ln tg ln tg .arcsin
cos t sin t 2 2 x
sin t
−
−
= ⇒ = = =
−
− −
⇒ = =
−
−
−
 
= = − = − = −
 
 
∫
∫ ∫
∫ ∫
7
( )
2
2
2 2
dx
3b / ln x x i.a C
x a
= + + +
−

x i.a
x 1.a
t a
Dat x i.a t x x a t x t 2t.x x x ,
2t
t a .2t 2t t a
4t 2t 2a t a
dx dt dt dt
4t 2t
2t
t a
dt
dx dt
2t
ln t C ln x x i.a C
t
t a
x a
t
2t
= =
−
+
+ −
+
+ = − ⇒ − = − = − + ⇒ =
+ − +
− − −
= = =
−

i.dx i.dx x
i.arcsin
a
i . a x a x
dx dx dx
Vay tai sao :
x a 1 a x
x 1.a
1 a x
ln tg .arcsin ln x x a i.arcsin
2 x a
= =
− − − −
−
= = = −
− −
= =
− − −
+ −
 
− ≠ + − ≠ −
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
4/
2 2
dx
I

   
 
= + + =
 
 
+
π
 
= − = +
 
 
∫ ∫ ∫
∫
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2
2
1 1 1
2
2
2
2 2
2
2
1
1
1
2
2

   
≠ − ≠ − +
 
 
 
   
 
∫ ∫ ∫
∫
2 2
dx 1 x
5 / I .arctan C
a a
x a
= = +
+
∫

( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2
dx x
* I Dat x a.tgt dx a tg t 1 dt, t arctan
a
x a

( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2
2
dx dx dx dx
* I i 1
x i.a x i.a
x a
x i.a
x 1.a
1 A B
A x i.a B x i.a 1
x i.a x i.a x i.a x i.a
x A B i.a A B 1
= = = = = −
− +
+
−
− −
= + ⇒ + + − =
− + − +
⇔ + + − =
∫ ∫ ∫ ∫
9
( )
( ) ( )
( )
( )

− = ⇒ = = = =


+ − −
+ −
 
+
⇒ = − = =
 
+ − −
 
 + 
 
= = ≠
 
 
−
 
 
+
−
∫ ∫
∫ ∫
2
2 2
dx
6 / I
x a
=
−

+ = ⇔ = −


⇔ + + − = ⇔

− = ⇒ = = −


− − +− +
 
−
⇒ = − = =
 
− + +
 
∫ ∫
∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2
2
2

+
− −
= = = = = +
+ +
 −
=

+

−
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
2
2
1
1
i x
.arctg
a i.a
 −
 
≠

 
 

5/ Tích phân hàm lượng giác:
dx

cos x/2
cos x/2 tg x/2 1 1 t
2 tg x/2 1
x 1 1 1 t
cosx 2cos 1 2 /
2
cos x/2 cos x/2 tg x/2 1 1 t
= ⇒ = = =
+
= = =
+ +
− +
 
−
 
= − = − = =
 
+ +
 
(
)
(
)
( )
( )
( )
2
2 2
2 2 2
2

= =
+
−
− + + +
+ +
− −
=
−
 
+
+ + −
 
− −
−
 
∫ ∫
∫ ∫
∫
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( ) ( )
( )
2 2 2

−
−
 
− −
− − > ⇒ =
−
+ = + = ⇒ =
− −
⇒ = = =
+ + − −
+
∫
∫ ∫
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
4 c b a
If 4 c b a 0 put q
4 c b
dx 2 dy 2 dy 2 q y
I ln
asin x bcosx c c b b c b c 2q q y
y q q y

a
y t when y t , x 2arctan t
2 c b
a
when y 0 t ,
2 c b
a a
x 2arctan t 2arctan 2arctan
2 c b 2 c b
when y t , x 2arctan t with 4 c b a 0
= + ⇒ → +∞ ⇒ → +∞ = → π
−
−
→ ⇒ →
−
   
−
= → = −
   
   
− −
   
→ −∞ ⇒ → −∞ = → −π − − <
( )
( )
1
2 2
0
a
2arctan

− −
 
∫ ∫
( )
( )
(
)
2
2 2
y
2 2 2
y
dx 2 dy
J
a sin x bcos x c b c
y q
2 q y
ln 0 With 4 c b a 0
b c 2q q y
π +∞
−π −∞
=+∞
=−∞
 
= =
 
+ + −
 
−
 

4 c b
+∞
π +∞
−∞
−π −∞
− − >
 
⇒ = = =
 
+ + − −
+
 
= +∞ − −∞
−
π π
= =
− − − −
−
−
∫ ∫
12

( ) ( )
( )
(
)
n n
n 1 n 1
2 2 2
sin x.dx cos x.dx

dx
I a 0 with 4 c b a 0
a sin x bcos x c
I a a sin x bcos x c dx
a sin x bcos x c . a sin x bcos x c dx
sin x.dx
u a u a . u a 0
a sin x bcos x c
π
−π
π
−
−π
π
−
−π
π
− −
−π
= = − − <
+ +
 
 
⇒ = + +
 
 
= − + + + +
 
−
 

n
n
n
n
n 1 n 1
n
n
n
n
n 1
1 2sin x.dx
sin x.dx
I a 0
a sin x bcos x c a sin x bcos x c
1 n!.sin x.dx
sin x.dx
I a 0 0
a sin x bcos x c a sin x bcos x c
1 n!.cos x.dx
cos x.
I b 0
a sin x bcos x c
π π
−π −π
π π
+ +
−π −π
π
+
−π

( )
( )
(
)
( )
(
)
2 2 2
2 3
2 2 2
2
sin x.dx 4 .a
* with 4 c b a 0
a sin x bcos x c
4 c b a
π
−π
− π
= − − >
+ +
− −
∫

13