Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

169

BÀI 5. CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CƠ BẢN
• Đặt vấn đề:
Xét tích phân dạng
( )
I R sin x,cos x dx
=
∫

1. Đổi biến số tổng quát:
Đặt
2
2 2 2
2 2 1
2
2
1 1 1
x dt t t
t tg x arctg t ;dx ; sin x ; cos x
t t t
−
= ⇒ = = = =
+ + +

Khi đó:
( )

R sinx,cosx = R sinx, cosx

thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t
=
cosx.
3. Nếu
(
)
R sinx, cosx
là hàm lẻ theo cosin:
(
)
(
)
− −
R sinx, cosx = R sinx, cosx

thì cần biến đổi hàm số và vi phân để thực hiện phép đổi biến t
=
sinx.
4. Nếu
(
)
R sinx, cosx
thoả mãn điều kiện:
(
)
(
)
− −

(
)
( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
3.2t 2 1 t 1 t dt 1 t 6t 3 dt 1 t 6t 3 dt
I
2 2
1 t t 4t 4 1 t
3 1 t 4.2t 5 1 t t 2 1 t
− − − + + − + −
= ⋅ = ⋅ =
+ + + +
− + + + + +
∫ ∫ ∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

170

Giả sử
( )
( )
( )

(*)
( ) ( ) ( )
( )
2 3 2
t 6t 3 A C t 2A B 4C D t A 4C 4D t 2A B 4D
⇔ + − = + + + + + + + + + + +

Thay t
=

−
2 vào (*) thì
−
11
=
5B
⇒
B
=

−
11/5
(*)
A C 0 A C 0 A 34 25
2A B 4C D 1 2A 4C D 16 5 B 11 5
A 4C 4D 6 A 4C 4D 6 C 34 25
2A B 4D 3 2A 4D 4 5 D 12 25
+ = + = = −
  
  

(
)
( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2
34 dt 11 dt 12 d t 12 dt
25 t 2 5 25 25
1 t 1 t
t 2
34 11 12 12
ln t 2 ln 1 t arctg t c
25 5 t 2 25 25
34 11 12 12
ln tg x 2 ln 1 tg x x c
25 5 tg x 2 25 25
= − − + +
+
+ +
+
= − + + + + + +
+
= − + + + + + +
+
∫ ∫ ∫ ∫


+ −

Đặt
t
=
cos x

⇒

( )
( )
1
3 2 2
2
2t dt 2t dt A Bt C
J 2 dt
t 1
t t 2 t 2t 2
t 1 t 2t 2
− − +
 
= = = − +
 
−
+ − + +
 
− + +
∫ ∫ ∫

Ta có:

− = =
 

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

171

( )
( )
( )
( ) ( )
1
2 2
2
2 2
2
2
2 1 t 2 2 dt 1 2t 2 6
J dt dt
5 t 1 5 t 1 5
t 2t 2 t 2t 2
2 dt 1 d t 2t 2 6 dt
5 t 1 5 5
t 2t 2
t 1 1
2 1 6
ln t 1 ln t 2t 2 arctg t 1 c
5 5 5
2 1 6
ln 1 cos x ln cos x 2 cos x 2 arctg 1 cos x c

− −
∫ ∫ ∫ ∫
2
6
dx
J =
sinxcos x

(
)
( )
6 6 4 2
2 6 3 5
6 2
3 5
t t 1 1 t t 1 t 1 1 1 1
dt dt ln c
t 1 t
t 1 t 3t 5t
t t 1
1 cos x 1 1 1
ln c
1 cos x cos x
3cos x 5 cos x
 
− − + + −
= = − = + + + +
 
+
−

2 dt 2 dt
1
1 2 cos x 1 2t 1 2t
t
2
1 1 2t 1 1 2 cos x
ln 2t c ln 2 cos x c
2 1 2t 2 1 2 cos x
 
= = = − = −
 
− − −
 
−
+ +
= − + = − +
− −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

•
(
)
( )
2 2
2 2
0 0
4 4 1
1 1
sin x cos x
sin x dx d cos x

∫ ∫

•
2 2 2
2
3 2 2
6 6 6
3 4 3 4 4 1
sin x dx sin x dx sin x dx
sin x sin x sin x cos x
π π π
π π π
= = =
− − −
∫ ∫ ∫ ∫
π 2
2
5
π 6
sin x
J = dx
sin3x

( ) ( )
( )
( )
3 2
6 3 2 3 2
2 2 2
0


•
( )
( )
( )
4 4
8 2 2
20 20 20
1 1cos x sin x t
cos x dx d sin x dt
sin x sin x t
− −
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
9
1
20
cos x
K = dx
sin x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 6 8
20 19 17 15 13 11
19 17 15 13 11
1 4t 6t 4t t 1 4 6 4 1
dt c
t 19t 17t 15t 13t 11t
1 4 6 4 1
c

( )
( )
2
2 2 4 2
2 4 2 2
2 2
1 t 1 t t 3t 2 2 6
dt dt 1 dt
t t t 1 t
t 1 t
2 2
t 6 arctg t c sin x 6 arctg sin x c
t sin x
− + − − +
 
= = = + −
 
+ +
 
+
= − − + = − − +
∫ ∫ ∫

4. Dạng 4:
(
)
(
)
− −
R sinx, cosx = R sinx,cosx

cos x tg x
π π
π

•
( )
( )
3 3 3
3
3 8 2 3
4 4
4
4 4 4
d tg x
dx dx
tg x cos x cos x . tg x
tg x
π π π
π π π
= = =
∫ ∫ ∫ ∫
π 3
2
4 3 5
π 4
dx
L =
sin xcos x
( ) ( ) ( )
( ) ( )

cos x
sin x
dx
cos x
cos x sin x cos x
π
=
+
∫ ∫
π 4
2
3
3 3
0
sin xdx
L =
cosx 2sin x + 3cos x( )
(
)
( )
( )
4 4 4
3
2 2
3 2 3 3
0 0 0
4

sinx

•
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
3 3 6 3
1
1
2 2
4
2 8
2 2 2 2 2
x x
tg d tg
dx dx
x x x x x
sin cos tg cos tg
+

 
−
= = + + +
 
 
 
 
∫

Cách 2:

(
)
( )
(
)
( )( )
[ ]
1
3 4 2 2
2
d sin d d cos d cos
sin sin
1 cos 1 cos
1 cos
x x x x x
A
x x
x x
x

1 cos x 2 sin x
1 cos x 1 cos x
− − +
 
= + + = − +
 
−
−
− +
 
∫

•
(
)
(
)
(
)
5 5 10
dx dx
=
x x x x
2 sin cos 32 tg cos
2 2 2 2
=
∫ ∫ ∫
2
5
dx

1 4 tg 6 tg 4 tg tg
1 1
2 2
2 2 2 2 x
d tg
2
16 16
x x
tg tg
2 2
1 1 2 x 1
x x
6 ln tg 2 tg tg c
2 2
16 2 4
x x
4 tg tg
2 2
+
+ + + +
= =
 
−
= − + + + +
 
 
 
 
∫ ∫


3
3
1 1 cos x 1 cos x 1 1 1
d cos x d cos x
8 1 cos x 1 cos x 8 1 cos x 1 cos x
 
− + + −
 
= = +
 
 
+ − − +
 
 
∫ ∫

( ) ( )
( )
( )
1
2 2 2 4
2
1 1 1 3 d cos x cos x 3
A
8 2 4
4sin x
2 1 cos x 2 1 cos x
1 cos x
 
− −

(
)
2 1
2sin cos
2 2
n
dx
x x
+
=
∫ ∫
3
2n+1
dx
A =
sinx
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

2
+ + +
+
+
+
= =
+ + + + +
=
∫ ∫
∫( ) ( )
(
)
(
)
0 n 1 n 1 2n
2 2n
n
2n 2n 2n 2n
2n
2n 2n 2
C C C C
1 x
x x
C ln tg tg tg c
2 2
2 2 2n
2

k n
0 1 2 k 2 n 2
n n n n
1 k n
2k 1 2n 1
0 3
n n n
n
C C cotg x C cotg x C cotg x d cotg x
C C C
C cotg x cotg x cotg x cotg x c
3 2k 1 2n 1
+ +
 
= − + + + + +
 
 
= − + + + + + +
 
+ +
 
∫

2. DẠNG 2: MẪU SỐ LÀ BIỂU THỨC THUẦN NHẤT CỦA COSIN
( )
∫
n
dx
cos x


d d d
sin
sin
2sin cos 8 tg cos
2
2 2 2 2
1 tg d tg
2 2
1 1 1 1
2 ln tg tg ;
4 4 2 2 2 2
tg 2 tg
2 2
x
u u u
u
u u u u
x
u u
u u
c u x
u u
π
+
= = = =
π
+
+
 
π

x x
x
= = =
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫
1
3
dx
B =
cos x

( ) ( )
( )( )
( ) ( )
2
2
1 1 sin 1 sin 1 1 1
d sin d sin
4 1 sin 1 sin 4 1 sin 1 sin
x x
x x
x x x x
 + + −
 
= = +
 
 
+ − − +
 

(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 2 1
2 1
2
2
2 1 4 2 2 2 1
2 1
d
d d
2
sin
sin
2sin cos
2

∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
i
2
2n+1
dx
B =
cos x

(
)
(
)
(
)
(
)
0 1 1 2
2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
1
ln tg tg tg
2 2
2 2 2
2
2 tg 2 tg
2 2
n n n

0 3
1 tg tg
tg tg tg tg
tg tg tg tg
3 2 1 2 1
n
k n
k n
n n n n
k n
k n
n n n
n
x d x
C C x C x C x d x
C C C
C x x x x c
k n
+ +
= + =
 
= + + + + +
 
 
= + + + + + +
 
+ +
 
∫ ∫
∫

tg
3 12
42
4 tg 3 20 tg 3 17
6 42 42
5
tg 3
2
4
x
x x x
x x
x
arc c
x x
x
=
 
+ − +
 
+
= = = +
+ −
+ +
∫ ∫
∫ ∫
2
dx
C =
5sin3x + 2cos3x - 21

(
)
( )
2
2
2 2
x
x
d tg 1
tg 1 5
dx 1
2
2
ln c
x
x x x
2 5
x
tg 1 5
cos 4 tg 8 2 tg
tg 1 5
2
2 2 2
2
−
− −
−
= = − = +
− +
+ −

Ta có:
( )
( )
( )
*
1 1 1
*
1 1 2
cos x sin x
E E dx dx x c
sin x cos x
cos x sin x d sin x cos x
E E dx ln sin x cos x c
sin x cos x sin x cos x
+

+ = = = +

+


− +

− = = = + +

+ +

∫ ∫
∫ ∫


2 3 5 3
*
cos x dx
E
cos x sin x
=
−
∫

Ta có:
( )
( )
( )
*
2 2 1
*
2 2 2
2cos3x 5sin3x
2E 5E dx dx x c
2cos3x 5sin3x
5cos3x 2sin3x 1 d 2cos3x 5sin3x ln 2cos3x 5sin3x
5E 2E dx c
2cos3x 5sin3x 3 2cos3x 5sin3x 3
−

− = = = +

−




= ⋅ + = + +
 
−

 
−


−

 
−

= ⋅ + = − +
 
−

 
−


•
( )
( ) ( )
∫
4
3
4 4
sin x

∫ ∫
(1). Mặt khác:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
4 4
2 2 2 2
*
3 3
4 4 2
2 2 2 2
cosx sin x cos x sin x cos x sin x
E E dx dx
sin x cos x
cos x sin x 2 cos x sin x
− + −
− = =
+
+ −
∫ ∫

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

177

( )

   
   
− −
   

•
( )
( ) ( )
∫
π 2
99
4
99 99
0
cosx
E = dx
sinx + cosx
. Xét tích phân:
( )
( ) ( )
2
99
4
99 99
0
*
sin x
E dx
sin x cos x
=

thì
2
u
π
=
. Ta có:
( )
( ) ( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( ) ( )
99
2 2
99 0 99
*
4 4
99 99 99 99 99 99
0 2 0
sin u du
sinx dx cosu du
2
E E
sinx cosx cosu sinu
sin u cos u

2
sin x cos x
π π
π
+ π
+ = = = =
+
∫ ∫
⇒

*
4 4
E E
4
π
= =

•
( ) ( )
∫
π 2
2 2
5
0
E = cos3x cos6x dx
. Xét tích phân:
( ) ( )
2
2 2
5

2 2 12 4
π
π
π
 
= + = + =
 
 
∫
. Mặt khác:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
5 5
0 0
2
2
3
2
*
6 6
0
0
E E cos 3x sin 3x cos 6x dx cos 6x cos 6x dx
1 1 sin 6x
1 sin 6x d sin 6x sin 6x 0 E E
6 6 3 8
π π

3
0
*
cos x dx
E
sin x cos x
=
+
∫
π

Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

178

Ta có:
( )
( ) ( )
2 2
6 6
3 2
0 0
cos x sin x dx dx
E E
sin x cos x sin x cos x
π π

= = = + = + =
π
 
π
+
+
 
 
∫ ∫

Mặt khác:
( )
( )
( )
( )
2 2
6 6
3 3
0 0
cos x sin x dx d sin x cos x
E E
sin x cos x sin x cos x
π π
∗
− +
− = =
+ +
∫ ∫

⇔

(
)
(
)
a sin x b cos x m n sin x n m cos x , x
α β α β
+ = − + + ∀

⇔

2 2
2 2
am bn
m n a
m n
n m b bm an
m n
α
α β
α β
β
+

=

− =


+ +
+ +
+ − +
= +
+
+ +
+ −
= + + +
+ +
∫ ∫
∫ ∫

b. Các bài tập mẫu minh họa:
•
−
∫
1
4sin2x 7cos2x
F = dx
5sin2x + 3cos2x
( )
1 4sin 2x 7cos 2x 1 4sin u 7cos u
d 2x du
2 5sin 2x 3cos2x 2 5sin u 3cos u
− −
= =
+ +
∫ ∫

Giả sử

. Khi đó ta có:
( )
( )
( )
1
1 4sin u 7 cos u 1 5sin u 3cos u 47 5cos u 3sin u
F du du du
2 5sin u 3cos u 68 5sin u 3 cos u 68 5sin u 3cos u
1 47 d 5sin u 3cos u 1
du u 47 ln 5sin u 3cos u c
68 68 5sin u 3cos u 68
1
2x 47 ln 5sin 2x 3cos 2x c
68
− − + −
= = −
+ + +
− + −
= − = + + +
+
−
= + + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫

c. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
4sin 3x 5cos3x 2sin 5x 7cos5x 4sin 9x 5cos9x
F dx ; F dx ; F dx
7 cos3x 8sin 3x 3sin 5x 4cos5x 7cos9x 3sin 9x

+ + = − + + + + ∀

( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
m n a
am bn m n
n m b bm an m n
am bn
c p
p c
m n
α β
α
α β β
γ
α γ
− =


= + +




⇔ + = ⇔ = − +

+ +
+
 
+ −
 
+ +
+
 
∫ ∫
∫

(
)
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
sin cos
dx
sin cos sin cos
ln sin cos
sin cos
d m x n x p
am bn bm an am bn dx
c p
m x n x p m x n x p
m n m n m n
am bn bm an am bn dx
x m x n x p c p
m x n x p
m n m n m n
+ +

−
Trần Phương

180

Giả sử
(
)
(
)
2 3 2 3 2
sin x cos x sin x cos x cos x sin x , x
α β γ
+ − = − + + + + ∀

(
)
(
)
(
)
2 3 2 2 3
sin x cos x sin x cos x , x
α β α β α γ
⇔ + − = + + − + + + ∀

2 1 3 5
2 2 4 5
3 3 6 5
α β α

−
= + − + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫

2 3
dx
J
sin x cos x
=
− +
∫
(
)
(
)
2 2 2 2
dx
x x x x x x
2sin cos 2 cos sin 3 cos sin
2 2 2 2 2 2
= =
− − + +
∫

(
)
(
)
(

2 2
arctg c arctg c
5 5 2 2 2
x 1 2
tg
2 5 5
x
5 tg 1
3 4 6
2
G x ln sin x 2 cos x 3 arctg c
5 5 5 2
= =
+ +
+ +
+ +
= = ⋅ + = +
+ +
+
−
⇒ = + − + − +
∫ ∫
∫

•
2
−
∫
2
0

α β β
α γ γ
− = = −
 
 
⇔ + = − ⇔ = −
 
 
+ = =
 
. Khi đó ta có:
Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

181

( )
2 2 2
2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
2
0
1 sin x 2cos x 3 3 cos x 2sin x 8 dx
G dx dx
5 sin x 2cos x 3 5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2 cos x 3
1 3 d sin x 2cos x 3 8 dx
dx
5 5 sin x 2 cos x 3 5 sin x 2 cos x 3
1 3 8 3 5 8

)
(
)
2 2
2 2 2 2
0 0
2 2
2
2 2 2
0 0
2
2
2
2
02
0
dx dx
J
x x x x x x
sin x 2 cos x 3
2sin cos 2 cos sin 3 cos sin
2 2 2 2 2 2
x
d tg
dx
2
2
x x
x x x x
tg 2 tg 5

∫ ∫
∫ ∫
∫
1
g
2

8. DẠNG 8:
( )
∫
2
a sin x + b cos x
H = dx
m sin x + n cos x

a. Phương pháp:
Giả sử
(
)
(
)
a sin x b cos x m sin x n cos x m cos x n sin x , x
α β
+ = + + − ∀

⇔

(
)
(



=

+

. Khi đó ta có:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
sin cos cos sin
dx dx
sin cos sin cos
dx sin cos
sin cos
sin cos
dx 1
sin cos sin cos
am bn m x n x bm an m x n x
H
m n m n
m x n x m x n x
am bn bm an d m x n x
m x n x
m n m n
m x n x
am bn bm an

( )
−
∫
1
2
7 sin x 5 cos x
H = dx
3 sin x + 4 cos x
.
Giả sử
(
)
(
)
7 5 3 4 3 4
sin x cos x sin x cos x cos x sin x ; x
α β
− = + + − ∀

⇔

(
)
(
)
7 5 3 4 4 3
sin x cos x sin x cos x; x
α β α β
− = − + + ∀


2
7sin x 5cos x 1 3sin x 4cos x 43 3cos x 4sin x
H dx dx dx
5 5
3sin x 4cos x 3sin x 4cos x 3sin x 4cos x
1 dx 43 d 3sin x 4 cos x 1 43
J
5 3sin x 4cos x 5 5 5 3sin x 4cos x
3sin x 4cos x
− + −
= = −
+ + +
+
= − = +
+ +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫

3 4
dx
J
sin x cos x
=
+
∫

(
)
(

= +
+

⇒

( )
1
x
2 tg 4
2 43
2
H ln c
x
25 5 3sin x 4cos x
2 tg 1
2
−
−
= + +
+
+

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
( ) ( )
1 2
2 2
2sin 5x 3cos 5x 5sin 7x 4cos 7x
H dx ; H dx
4 cos 5x 9 cos5x 2sin 7x 3cos 7x
− +

( ) ( )
2 2
a sin x b sin x cos x c cos x
+ + =( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
mp r sin x np mq sin x cos x nq r cos x ; x
= + + + + + ∀

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

183

⇔

( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
a c m bn
p
m n
mp r a mp r a

=

+

. Khi đó ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
a c m bn a c n bm an cm bmn dx
I sin x cosx dx
msin x ncos x
m n m n m n
a c n bm a c m bn an cm bmn dx
sinx cosx
msin x ncosx
m n m n m n
 
− + − − + −
= + +
 
+
+ + +
 
− − − + + −
= − +
+
+ + +

)
(
)
( )
2 2 2
3 3
cos x a c sin x a b sin x cos x b c cos x ; x
⇔ = + + + + + ∀

0 1 4
3 0 3 4
1 4
3 1
a c a
a b b
c
b c
+ = = −
 
 


⇔ + = ⇔ =





=


 
= − +
 
π π
 
+
∫ ∫( )
3
3 3
0 0
0
1 1 dx 1 1 x
cos x dx sin x ln tg
2 6 8 2 6 8 2 6
sin x
3
1 1 1 1 1 1 1
ln 3 ln 3 ln 3 1 ln 3
2 8 4 8 4 4 4
π
π π
 
π π π
     
= + + = + + +
     
 

•Gọi
1 2
,
λ λ
là nghiệm của phương trình
0
a b
b c
− λ
=
− λ

⇔

( )
2 2
0
a c ac b
λ − + λ + − =

⇔

( )
2
2
1 2
4
2
,
a c a c b

+ +
− λ − λ

Đặt
1 2
1 2
b b
u cos x sin x ;u cos x sin x
a a
= − = −
− λ − λ
;
1 2
1 2
1 1
k ;k
a a
= =
− λ − λ

( ) ( )
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2
1 1
1 1
A cos x bk sin x ; A cos x bk sin x
b k b k
= − = −
+ +

∀
x
⇔

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 1
1 2
2 1 1 2
1 2
p q m
bm n a bm n a
p a ;q a
p q n
b b
a a b
+ =

− − λ − − λ

⇔ = − λ = − λ

λ − λ λ − λ
+ =

− λ − λ

∫ ∫

Bài 5. Các phép đổi biến số cơ bản và nâng cao tích phân hàm lượng giác

185

b. Các bài tập mẫu minh họa:
•
(
)
−
∫
1
2 2
sinx + cosx dx
J =
2sin x 4sinxcosx + 5cos x

1 2
,
λ λ
là nghiệm của phương trình
2 2
0
2 5
− λ −
=
− − λ

⇔

( )
(
)
1
2
2
sin x cos x p sin x cos x q sin x cos x
+ = − + +

1 6
p ; q
5 5
−
⇔ = =

⇒

( )
(
)
1 6
1
sin x cos x sin x 2 cos x sin x cos x
2
5 5
−
+ = − + +

(
)

sin x 2cos x 1 6 cos x 2 sin x
3 1 6 cos x 2sin x
arctg sin x 2cos x ln c
5
10 6 6 cos x 2 sin x
− +
= +
− + − +
+ +
= − + +
− −
∫ ∫

11. DẠNG 11: CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ TỔNG HỢP
•
( ) ( )
∫
1
dx
K =
sin x + a sin x + b
( )
( ) ( )
[
]
( ) ( )
1 sin x a x b
dx
sin a b sin x a sin x b
+ − +

cotg x b cotg x a dx ln c
sin a b sin a b sin x a
+
 
= + − + = +
 
− − +
∫

•
( ) ( )
∫
2
dx
K =
cos x + a cos x + b
( )
( ) ( )
[
]
( ) ( )
1 sin x a x b
dx
sin a b cos x a cos x b
+ − +
=
− + +
∫

Chương II: Nguyên hàm và tích phân

− + +
+
 
= + − + = +
 
− − +
∫
∫

•
( ) ( )
∫
3
dx
K =
sin x + a cos x + b
( )
( ) ( )
[
]
( ) ( )
1 cos x a x b
dx
cos a b sin x a cos x b
+ − +
=
− + +
∫
∫

•
(
)
( )
3 tg cos
cos sin
dx dx
3 cos sin
3 tg cos
x x
x x
x x
x x
+
+
= =
−
−
∫ ∫ ∫
4
3 + tgx
K = dx
3 - tgx
3

( ) ( )
( )
3

4 4
sin sin
dx dx
cos
sin cos
x x
x
x x
π π
π π
= =
∫ ∫ ∫
π 3
5
π 4
K = tgxdx
3
4
1 2 sin
d
2 2sin cos
x
x
x x
π
π
=
∫

( ) ( ) ( ) ( )

 
− +
 
= −
 
− − + −
 
∫ ∫

( ) ( ) ( )
3
2
4
1
arcsin sin x cos x ln sin x cos x sin x cos x 1
2
π
π
 
= − − + + + −
 

(
)
( )
(
)
4 4
3 1 3 3 1 3
1 3 1 1 3 1

+ −
∫ ∫ ∫
π 4
6
6 6
π 8
dx
K =
sin x+ cos x

( )
(
)
( )
(
)
4 4
1
2
2
4 2 4 2
2
4 2 2
8 8
2 1
1 tg x d tg x
dx 1 u du
tg x tg x 1 u u 1
cos x 1 tg x 3tg x
π π

u
arctg arctg arctg 3 2
1
u
2 1
1
u 1
u 1
u
u
−
− −
 
+
−
 
− −
 
= = = = = +
−
+ −
− +
∫ ∫

•
12
16
cos 2 cos 6 cos 4 sin 8
dx
sin 4 sin 8 cos 4 cos8

16
16
1 1 8 2 7
1 1 1
sin16 sin12 sin4 dx
cos16 cos12 cos4
4 4 384
16 12 4
x x x
x x x
π
π
π
π
− −
 
= + + = =
+ +
 
 
∫

•
( )
2 2
0 0
1 2 cos 1 2 cos
sin dx d cos
1 3cos 1 3cos
x x

+ +
∫ ∫ ∫

( )
2
3 2
0
1 4 34
1 3cos x 2 1 3cos x
9 3 27
π
−
 
= + + + =
 
 

(Đề thi TSĐH khối A 2005)
•
(
)
( ) ( )
2 2
2
0 0
1 cos 1 1
2 cos 2 1 cos cos
1 cos 1 cos
x
d x x d x


(Đề thi TSĐH khối D 2005)
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương

188

•
(
)
(
)
( )
6 6
0 0
dx dx
2 2
cos sin cos
2 cos cos
4
x x x
x x
π π
= =
π
−
+

•
(
)
(
)
4 4
2
0 0
dx 1 dx
2 2
sin
2 1 cos
2 8
4
x
x
π π
= =
π
 
π
−
+
− +
 
 
∫ ∫ ∫
π 4
11
0

+
− −
π
 
= = + = − + =
 
π
+
∫

•
( )
( ) ( )
( )
4 4
2 2
0 0
sin dx 1 cos sin cos sin
dx
2
sin cos sin cos
x x x x x
x x x x
π π
+ − −
= =
+ +
∫ ∫ ∫
π 4
12

sinx cosx sinx cosx
sin x
4
d cos x
1 1 d sinx cosx 2 x 1
4
ln tg
2 2 8 2 sinx cosx
2 2 2
sinx cosx
cos x 1
4
π π π π
π
π π
+ +
= − = −
π
+
+ +
+
 
π
+
 
+ π
 
 
 
= − = + +

x x
π π
π π
= =
− −
−
∫ ∫ ∫
π 2
13
π 3
dx
K =
sin2x 2sinx

( )
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0 0 0
2 2 2
2
3
3 2 3 2 3 2
0
3 2

( )
2 6
3
1 2
2 2 2 2
0 0
sin 2x dx sin x dx
K , ab 0 ; K
3sin 4x sin 6x 3sin 2x
a sin x b cos x
π π
= ≠ =
− −
+
∫ ∫