400 bài tập toán 7 (bồi dỡng học sinh khá giỏi)
Phần thứ nhất: Đại số
Chơng I: Số nguyên
1 Đ . Tập hợp Z các số nguyên
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Tập hợp Z = { . . .; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . .}gồm các số tự nhiên 0; 1; 2; 3; . . . và các
số mới -1; -2; -3; . . . gọi là tập hợp các số nguyên.
* Biểu diễn trên trục số:
Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a
* Các số -1 và 1; -2 và 2; -3 và 3; ... là các số đối nhau. Số đối của số 0 là chính nó.
2. Các bài toán:
Bài 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai:
a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.
b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.
Bài 2: Đọc nhiệt độ ở các thành phố dới đây:
Hà Nội 18
0
C Bắc Kinh -2
0
C
Huế 20
0
C Matxcơva -7
0
C
TP Hồ Chí Minh 25
0
C Pari 0
0
C
Bài 3: Viết tập hợp M các số nguyên lẻ có một chữ số. Biểu diễn chúng trên trục số.

e. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số nguyên dơng.
g. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số tự nhiên.
h. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số không âm.
1
Bài 6: Cho biết a < b (a 0, b 0). Có tất cả bao nhiêu trờng hợp có thể xảy ra về thứ tự
của ba số a, b, 0?
Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho:
a. -3 < x < 0 b. x < -3 và x < 3 c. x < -3 và x > 3 d. x < -3 hoặc x > 3
Bài 8: Tìm số nguyên a biết:
a. |a| = 2000 b. |a| = -2001 c. |a| = 1999 (a < 0).
Bài 9: Xác định số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng: |x| < 2000
Đ3. Phép cộng trong Z
1. Tóm tắt lý thuyết:
a) Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a với mọi a thuộc Z.
b) Cộng hai số cùng dấu: Cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối với
nhau còn dấu là dấu chung của chúng.
c) Cộng hai số khác dấu:
- Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0.
- tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt
đối nhỏ rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn trớc hiệu tìm đợc.
2. Các bài toán:
Bài 10: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai:
a. Tổng của hai số dơng là một số dơng.
b. Tổng của hai số âm là một số âm.
c. Tổng của một số âm và một số dơng là một số âm.
d. Tổng của một số âm và một số dơng là một số dơng.
Bài 11: Tìm số nguyên x và y sao cho:
a. |x +2| + |y + 5| = 0 b. ||y| + |x + 2|| + |x| = 0.
Bài 12: Tính:
a. |a| + a nếu a 0 b. |a| + a nếu a < 0.

0a nếua
* Phép trừ: a - b = a + (-b) ; a, b Z
2. Các bài toán:
Bài 16: Chứng minh rằng số đối của
a - b là b - a (a, b Z)
Bài 17: Tìm x, biết:
a. |x| + 5 = 7 b. |x| - 3 = 5 c. 3 - |x| = 5
d. |x + 3| = 0 e. |x - 3| = 1 g. |x + 5| = -3.
Bài 18: Tìm số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng:
1996 < |x + 2| < 2000.
Đ6. Quy tắc "dấu ngoặc"
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Số đối của một tổng bằng tổng các số đối
-(a + b) = (-a) + (-b) = -a - b
* Tổng đại số:
Một dãy các phép cộng trừ liên tiếp các số nguyên đợc gọi là một tổng đại số.
Trong một tổng đại số:
a) Ta có thể bỏ dấu ngoặc và:
- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu cộng.
- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu -.
b) Ta có thể thêm dấu ngoặc để nhóm một số hạng tùy ý và:
- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu +.
- Đổi dấu các số hạng nếu trớc dấu ngoặc có dấu -.
2. Các bài toán:
Bài 19: Tính tổng đại số sau:
S = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + ... - 99 - 100 + 101 + 102
Bài 20: Đơn giản biểu thức sau khi bỏ dấu ngoặc:
a. (a + b) - (-c + a + b) b. -(x + y) + (-z + x + y) c. (m - n + p) + (-m + n + p)
Bài 21: Tìm x, biết:
a. 15 - (3 + x) = 4 b. -11 - (19 - x) = 50

Bài 24: Cho a là một số nguyên dơng. Hỏi b là số nguyên dơng hay nguyên âm nếu:
a) a.b là một số nguyên dơng.
b) a.b là một số nguyên âm.
Bài 25: Không thực hiện phép tính hãy điền dấu > hoặc < vào ô trống:
a) -105 . 48 0 b) -250 . (-52) . 7 0 c) -17 . (-159) . (-575) 125 . 72
Bài 26: Tìm x, biết:
a. -x . (x + 3) = 0 b. (x - 2)(3x - 9) = 0 c. (3 - x)(|x + 5|) = 0
d. (|x| + 1) (4 - 2x) = 0.
Bài 27: Cho 11 số nguyên viết trên một vòng tròn trong đó tích của hai số liền nhau
luôn bằng 4. Tìm các số đó. Nếu viết 10 số nh vậy thì kết quả ra sao?
Đ8. Tính chất của phép nhân
1. Tóm tắt lý thuyết:
a. Giao hoán: a.b = b.a với mọi a, b thuộc Z.
b. Kết hợp: a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c thuộc Z.
c. Nhân với 1: a.1 = 1.a = a , với mọi a thuộc Z.
d. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
a(b + c) = ab + ac
(b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c thuộc Z.
`* Chú ý: Khi thực hiện phép nhân nhiều số, ta có:
+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn.
+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ.
2. Các bài toán:
Bài 28: Bỏ dấu ngoặc:
a. (-a) (b - c + d) a, b, c, d Z
b. (a + b) (1 + x + y) a, b, x, y Z
4
c. (a - b) (a + b) - (b - a)b a, b Z.
Bài 29: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. a(b + c) - b (a - c) = (a + b)c ; a, b, c Z
b. a(b - c) - a(b + d) = -a(c + d) ; a, b, c, d Z.

2. Các bài toán:
Bài 31:
a. Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; tổng của năm số
nguyên liên tiếp chia hết cho 5.
b. Tổng của hai số nguyên liên tiếp có chia hết cho 2 không? Tổng của bốn số nguyên
liên tiếp có chia hết cho 4 không? Có thể rút ra kết luận gì?
Bài 32: Cho a, b, c là những số nguyên chứng minh rằng nếu a - b chia hết cho c thì có
số nguyên t để a = b + ct và ngợc lại.
Bài 33: Cho biết a - b chia hết cho 6. Chứng minh các biểu thức sau đây chia hết cho 6
a. a + 5b; b. a + 17b; c. a - 13b.
Bài 34: Tìm các số nguyên x và y biết:
a. (x + 3)(y + 2) = 1 b. (2x - 5)(y - 6) = 17 c. (x - 1)(x + y) = 33.
Ôn tập chơng I
Bài 35: Cho đẳng thức: 36 = 15 + 12 + 9 + 6 + ... Hỏi tổng ở vế phải của đẳng thức có
bao nhiêu số hạng và số hạng cuối cùng là bao nhiêu?
Bài 36: Cho 5 số nguyên a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
. b
1
, b
2
, b

(x - 2)
2
. (y - 3) = -4
Bài 39: Tìm các số nguyên x, y sao cho
(x + 2)
2
+ 2((y - 3)
2
< 4
Bài 40: Tìm số nguyên x, biết rằng:
(3x - 1)(4x - 1)(5x - 1)(6x - 1) - 120 = 0
5
Chơng II:
Số hữu tỷ
Đ1. Phân số
1. Tóm tắt lý thuyết
*
b
a
là một phân số với a, b Z; b 0
*
bcad
d
c
b
a
==
*
mb
ma

;
37
12
và
3
1
b) Cho a và b là hai số nguyên (b 0). Chứng minh rằng các phân số sau bao giờ cũng
bằng nhau:
b
a
và
b
a


;
b
a

và
b
a

Bài 42:
a) Viết các phân số sau dới dạng phân số có mẫu dơng:
12
7


;

6

;
5
3
và
2
7


b) Quy đồng mẫu các phân số:
3
8

và
4
10
;
5
2
,
10
1

và
6
5

Đ2. Tập hợp Q các số hữu tỉ.
1. Tóm tắt lý thuyết:

a. 2000 b. -2000 c.
7
3
d.
7
3



Bài 45:
a. Tìm |x| , biết: x = -7; x =
12
11

; x =
5
3


; x = 0
b. Tìm x, biết:
|x| =
11
34
; |x| = 0; |x| =
5
2

; |x| =
23

1. Tóm tắt lý thuyết:
* x, y Q; x =
m
a
, y =
m
b
(m > 0)
x < y <=> a < b
x < y <=> y > x
Nếu x < y thì trên trục số điểm x ở bên trái điểm y.
* Số hữu tỷ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỷ dơng.
Số hữu tỷ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỷ âm
Số 0 không là số hữu tỷ dơng cũng không là số hữu tỷ âm.
2. Các bài toán:
Bài 47:
a. Sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự tăng dần:
6
5
;
3
11
;
6
7
;
3
2
;
4

11
b.
12
23

và
2
5

c.
4
3
và
14
15
d.
2000
2001
và
1999
1998
Bài 49: Cho hai số nguyên a, b trong đó
a <b và b > 0. Chứng minh:
1
1
+
+
<
b
a



2
1
; [-4] ; [-4,75] ;







3
4
.
Đ4. Phép cộng và phép trừ trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* x, y Q; x =
m
a
, y =
m
b
(m > 0)
x + y =
m
a
+
m
b

b. Chứng minh rằng số đối của một số hữu tỷ dơng là một số hữu tỷ âm và ngợc lại.
Bài 54: Tìm x, biết:
a. x - 12 =
13
1
b. x -







4
3
12
1
= 0 c. |x - 3| = 3
Bài 55: Chứng minh rằng:
a.
)1(1
+
=
+

+
bb
a
b
a

a. Với mọi số hữu tỷ x ta đều có : 0 {x} <1.
b. {x} = 0 nếu x là số nguyên và ngợc lại.
Bài 58: Tìm {x}, biết:
x =
2
3
;
4
15

; 0,95 ; -3,25 .
Đ5. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ x, ký hiệu |x| đợc xác định nh sau:
|x| =



<

0x nếu x
0x nếu x
* Trong một tổng đại số các số hữu tỷ, ta có thể:
1) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng.
2) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhng chú ý rằng nếu trớc dấu
ngoặc là dấu "-" thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc.
2. Các bài toán:
Bài 59: Tính giá trị của biểu thức khi x =
2
1

với x > 2
Bài 61: Tìm x, biết:
a.
5
4
4
3
=
x
b. 6 -
x

2
1
=
3
2
Bài 62: Tính:
a.
20
1
12
1
6
1
2
1
+++
b.
100.99

a. Nếu tích xy = 0 thì một trong các thừa số của tích phải bằng 0.
b. x.y =




dấu khácy x, nếu |)y|.|x(|
dấu cùng y x, nếu |y|.|x|
Bài 64: Cho x, y Q. Chứng minh rằng:
a. -(xy) = (-x)y = x(-y) b. |xy| = |x| . |y|
Bài 65: Tìm x, biết:
a. x (x +
3
5
) = 0 b. (x +
2
3
)(
4
3
- x) = 0 c. (|x + 1| + 2)(x +
5
3
) = 0 với x >
3
1
Đ7. Phép chia trong Q
1. Tóm tắt lý thuyết:
* Mỗi số hữu tỷ x 0 đều có số nghịch đảo ký hiệu là x
-1

, biết:
a. x = -0,175; b. x =
3
5
:
3
1
; c. x =
3
4
4
3
2
1








; d. x =
4
5
- (2 - 0,75)
10
Bài 68:
a. Chứng minh rằng nghịch đảo của một số dơng là một số dơng, nghịch đảo của một số
âm là một số âm.

y
z
x
z
yx
+=
+
z
y
z
x
z
yx
=

2. Các bài toán:
Bài 70: Khai triển các tích:
a. (a - b)(a + b) + b(2a + b) - a(2b -1) Với a, b Q
b. a(a - b) - b(b - a) Với a, b Q
c. (x + y)(x
2
- xy + y
2
) Với x, y Q.
Bài 71: Đặt thừa số chung : (a, b, c, d, e Q)
a. ab + bd - ac - cd
b. ad - bd - be + ce + cd + ae
Bài 72: Cho a, b, c, d Q. Chứng minh rằng :
a. a (b + c) - b (a - c) = ( a + b)c
b. a ( b - c) - a (b + d) = -a (c + d)

c.
1025
2
<+
xx
Đ9. 10. 11. Lũy thừa của một số hữu tỷ
1. Tóm tắt lý thuyết :
* Lũy thừa với số mũ tự nhiên :
x
n
= x.x...x (n thừa số x); n 0, x 0
Với x
n
gọi là một lũy thừa, x là cơ số, n là số mũ
x
o
= 1 (x 0)
*Các tính chất của lũy thừa ;
11
Với x, y Q, m, n Z, ta có :
1. x
m
. x
n
= x
m + n
2. x
m
: x
n

0
b. (3
2
)
2
- (-5
2
)
2
+ [(-2)
3
]
2
c. 2
4
+ 8 [(-2)
2
:
2
1
]
0
- 2
-2
. 4 + (-2)
23
Bài 77: Tìm x, biết : a. x
2
+ 2x = 0
b. (x - 3) + 2x

b. 100
2
- 99
2
+ 98
2
- 97
2
+ ...

+ 2
2
- 1
2
c. (20
2
+ 18
2
+ 16
2
+ ... + 4
2
+ 2
2
) - (19
2
+ 17
2
+ 15
2

9
+ 10
8
+ 10
7
chia hết cho 222
c. 81
7
- 27
9
- 9
13
chia hết cho 45
d. 24
54
. 54
24
. 2
10
chia hết cho 72
63
Bài 82: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì :
a. 3
n + 2
- 2
n + 2
+ 3
n
- 2
n

3
+ 14a
2
+ 6a +12 chia hết cho 2a + 1
Bài 85: Tìm x, biết : a. (x - 2)
2
= 1 ;
b. (2x - 1)
3
= -8 ; c. (x - 1)
x + 1
= (x - 1)
x + 4
.
Bài 86: tìm x và y biết: (3x - 5)
100
+ (2y + 3)
200
0 .
_________________________________________________________
Đ12. 13. Tỉ lệ thức - Các tính chất
1. Tóm tắt lý thuyết:

Tỉ số : Thơng trong phép chia số hữu tỉ a cho số hữu tỉ b (b 0) gọi là tỉ số
của a và b.
12