Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
 
≥
 ÷
 
3
3 3
a b a b
2 2
2. Chứng minh:
+ +
≤
2 2
a b a b
2 2
3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh:
+ +
≥
3 3
3
a b a b
2 2
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ ≥ +
a b
a b
b a

+ + + +
 
≥
 ÷
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3
10. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4
11. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2
a b 1 ab a b
12. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz
13. Chứng minh:
+ + + ≥ − + +
4 4 2 2
x y z 1 2xy(xy x z 1)
14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì:
+ ≥

4
> 0
1
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0
2. Chứng minh:
+ + + + ≥ ≥
2 2 2
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
3. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
( )
+ + + ≥ +
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc
với a , b , c ≥ 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
m m
m 1
a b
1 1 2
b a

, a > 0
9. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
+ + + + + ≥
2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc
.
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
 
+ + ≤ + +
 ÷
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c
11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh:
≥ − + −ab a b 1 b a 1
.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( ) ( )
≥ − −
3
a 3 a b b c c
.
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc

6
x 1
, ∀x > 1 c)
+
≥
+
2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh:
+ +
+ + ≤ >
+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
18. Chứng minh:
+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
, ∀x , y ∈ R
19. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +

3 9
4
2 a 3 b 4 c 9 abc
24. Cho
= +
x 18
y
2 x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
25. Cho
= + >
−
x 2
y ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
26. Cho
= + > −
+
3x 1
y , x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
27. Cho
= + >
−
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. Định x để y đạt GTNN.

x
, x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
− ≤ ≤
5
x 5
2
. Định x để y đạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
−
1
2
≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN
37. Cho
=
+
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN

2
≥ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
≥
725
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
≥
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
≥ 2.
7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh:
+ ≥
2 2
1
a b
2
Lời giải :

. ĐPCM.
2. Chứng minh:
+ +
≤
2 2
a b a b
2 2
()
 a + b ≤ 0 , () luôn đúng.
 a + b > 0 , () ⇔
+ + +
− ≤
2 2 2 2
a b 2ab a b
0
4 2
⇔
( )
−
≥
2
a b
0
4
, đúng.
Vậy:
+ +
≤
2 2
a b a b

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ ≥ +
a b
a b
b a
()
() ⇔
+ ≥ +a a b b a b b a
⇔
( ) ( )
− − − ≥a b a a b b 0
⇔
( )
( )
− − ≥a b a b 0
⇔
( ) ( )
− + ≥
2
a b a b 0
, ĐPCM.
5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1:
+ ≥
+
+ +
2 2
1 1 2
1 ab
1 a 1 b
()

( )
− −
+ ≥
+ + + +
2 2
a b a b a b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
⇔
−
 
− ≥
 ÷
+
+ +
 
2 2
b a a b
0
1 ab
1 a 1 b
⇔
( ) ( )
 
− + − −
≥
 ÷
 ÷
+
+ +

2 2 2
a 1 b 1 c 1 0
. ĐPCM.
7. Chứng minh:
( )
+ + + + ≥ + + +
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
⇔
− + + − + + − + + − + ≥
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
ab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4
⇔
       
− + − + − + − ≥
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2
. ĐPCM
8. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2 2
x y z xy yz zx
⇔

a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3 9 3
⇔
+ + + +
≥
a b c ab bc ca
3 3
b. Chứng minh:
+ + + +
 
≥
 ÷
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3


( ) ( )
+ + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 a b c a b c 2 a b c
( ) ( )
≥ + + + + + = + +
2
2 2 2
a b c 2 ab bc ca a b c
⇒
+ + + +

 
2
a
b c 0
2
.
11. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2
a b 1 ab a b
⇔
+ + − − − ≥
2 2
2a 2b 2 2ab 2a 2b 0

⇔
− + + + + + + + ≥
2 2 2 2
a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0

⇔
( ) ( ) ( )
− + − + − ≥
2 2 2
a b a 1 b 1 0
.
12. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz

° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b
3
= (1 – a)
3
= 1 – a + a
2
– a
3

⇒ a
3
+ b
3
=
 
− + ≥
 ÷
 
2
1 1 1
3 a
2 4 4
.
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2

⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

( )
> − −
2
2 2
a a b c
⇒
( ) ( )
> + − + −
2
a a c b a b c

( )
> − −
2
2 2
b b a c
⇒
( ) ( )
> + − + −
2
b b c a a b c

a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0
⇔ 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – a
4
– b
4
– 2a
2
b
2
– c
4
> 0

2
– (a – b)
2
][(a + b)
2
– c
2
] > 0
⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
6
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
⇒
+ ≥a b 2 ab
,
+ ≥b c 2 bc
,
+ ≥a c 2 ac
⇒
( ) ( ) ( )
+ + + ≥ =
2 2 2
a b b c a c 8 a b c 8abc
.
2. Chứng minh:

( ) ( ) ( )
+ + + = + + + + + + +
1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.

+ + ≥
3
a b c 3 abc
,
+ + ≥
3
2 2 2
ab ac bc 3 a b c

( ) ( ) ( )
( )
+ + + ≥ + + + = +
3
3
2 2 2
3 3
1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
   
+ + + ≥
 ÷  ÷
   
m m
m 1
a b

+ ≥ =
2
bc ba b ac
2 2b
a c ac
,
+ ≥ =
2
ca ab a bc
2 2a
b c bc
⇒
+ + ≥ + +
bc ca ab
a b c
a b c
.
6. Chứng minh:
+
≥ − ≥
6 9
2 3
x y
3x y 16 ; x,y 0
4
()
() ⇔
+ + ≥
6 9 2 3
x y 64 12x y

4 4 2 2
2
1
a a a 1 4a
1 a
.
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm:
+
+
4 4 2
2
1
a , a , a 1,
1 a
( )
+ + + + ≥ + =
+ +
4 4 2 4 4 2 2
4
2 2
1 1
a a a 1 4 a a a 1 4a
1 a 1 a
8. Chứng minh:
( )
> −
1995
a 1995 a 1
() , a > 0
() ⇔

 
+ + ≤ + +
 ÷
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c
°
≤ =
+
2 2
a a 1
2ab 2b
a b
,
≤ =
+
2 2
b b 1
2bc 2c
b c
,
≤ =
+
2 2
c c 1
2ac 2a
a c

= − + − + − + − ≥ − − −
2
4
x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1

Tương tự:
( )
( )
( )
≥ − − −
2
4
y 4 x 1 y 1 z 1
;
( )
( )
( )
≥ − − −
2
4
z 4 x 1 y 1 z 1
⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( ) ( )
≥ − −
3
a 3 a b b c c
.
°
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )
( )
( ) ( )
 
− = − − = − − − ≤ − = +
 
2 2
2
4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc
° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥
=2 bc.2 ac.2 ab 8abc
c)
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c
°
+ + +
   
+ = ≥
 ÷  ÷
   
4
2
1 a a b c 4 a bc
1


( )
( )
( )
( )
−
= − + + ≥ =
− −
3
x y y
1
VT x y y 3 3
x y y x y y
16. Chứng minh:
a)
+
≥
+
2
2
x 2
2
x 1
⇔
+ ≥ +
2 2
x 2 2 x 1
⇔
+ + ≥ +
2 2

+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
° Vì :
+ ≥a b 2 ab
⇒
≤ =
+
ab ab ab
a b 2
2 ab
,
≤ =
+
bc bc bc
b c 2
2 bc
,
≤ =
+
ac ac ac
a c 2
2 ac
°
+ + ≥ + +a b c ab bc ca
, dựa vào:
+ + ≥ + +
2 2 2
a b c ab bc ca

( )
= ≤ =
+
+
2 2 2
4 2 2
y y y 1
8
1 16y 2.4y
1 4y

+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
19. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +
a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
Đặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
° a + b + c =
1
2
(X + Y + Z)
°

1 1 1 3
b c a c a b b c a c a b
( ) ( ) ( )
[ ]
 
= + + + + + + + −
 ÷
+ + +
 
1 1 1 1
a b b c c a 3
2 b c a c a b
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
°
( ) ( ) ( )
[ ]
 
+ + + + + + + ≥ − =
 ÷
+ + +
 
1 1 1 1 9 3
a b b c c a 3
2 b c a c a b 2 2
20. Cho a , b , c > 0. C/m:

+ + ≤
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1

≤ + + =
 ÷
+ + + + + + + +
 
1 1 1 1 a b c
VT
ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc
10
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a.
+ + + ≥
4
a b c d 4 abcd
với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 số)

+ ≥ + ≥a b 2 ab , c d 2 cd

( )
( )
+ + ≥ + ≥ ≥
4
a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd
b.
+ + ≥
3
a b c 3 abc
với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 số )

+ + + +

abc
3
⇔
+ + ≥
3
a b c 3 abc
.
22. Chứng minh:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
; a , b , c > 0
°
+ ≥
3 2
a abc 2a bc
,
+ ≥
3 2
b abc 2b ac
,
+ ≥
3 2
c abc 2c ab
°
( )
+ + + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c 3abc 2 a bc b ac c ab
⇒

, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
= + ≥ =
x 18 x 18
y 2 . 6
2 x 2 x
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔
= ⇔ = ⇔ = ±
2
x 18
x 36 x 6
2 x
, chọn x = 6.
Vậy: Khi x = 6 thì y đạt GTNN bằng 6
25. Cho
= + >
−
x 2
y ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.

−
= + +
−
x 1 2 1
y
2 x 1 2
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
−

5
2
26. Cho
= + > −
+
3x 1
y , x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.

+
= + −
+
3(x 1) 1 3
y
2 x 1 2
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
( )
+
+
3 x 1 1
,
2 x 1
:
( ) ( )
+ +
= + − ≥ − = −
+ +
3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3
y 2 . 6

3
thì y đạt GTNN bằng
−
3
6
2
27. Cho
= + >
−
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. Định x để y đạt GTNN.

−
= + +
−
2x 1 5 1
y
6 2x 1 3
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm
−
−
2x 1 5
,
6 2x 1
:
− − +
= + + ≥ + =
− −

+
=
30 1
x
2
thì y đạt GTNN bằng
+30 1
3
28. Cho
= +
−
x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
12
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
°
( )
− + − −
= + = + + ≥ + = +
− − −
x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x
f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5
1 x x 1 x x 1 x x
Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
− −
 
= ⇔ = ⇔ =
 ÷

x 1 1 x x 1 x x 1 3
x 3
2 2 2 2
4
x x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
= =
2
x x 1
2 2
x
⇔
=
3
x 2
.
° Vậy: GTNN của y là
3
3
4
khi
=
3
x 2
30. Tìm GTNN của
+ +
=
2
x 4x 4
f(x)

 
 
3
2
2 2 2 2
2
5
3 3 3 3 5
2 x x x 1 1 x 1 5
x 5
3 3 3 3
27
x x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
= ⇔ =
2
5
3
x 1
x 3
3
x
⇔ x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là
5
5
27
khi
=
5

.
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . Định x để y đạt GTLN.
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6):
°
( ) ( )
= + − ≥ −6 x 6 x 2 x 6 x
⇒ x(6 – x) ≤ 9
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3
° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
5
2
. Định x để y đạt GTLN.
 y = (x + 3)(5 – 2x) =
1
2
(2x + 6)(5 – 2x)
 Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,
 
− ≤ ≤
 ÷
 
5
3 x
2
:
°
( ) ( ) ( ) ( )
= + + − ≥ + −11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x
⇒

 
− ≤ ≤
 ÷
 
5
x 5
2
:
°
( ) ( ) ( ) ( )
+ + − ≥ + −2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x
⇒
1
2
(2x + 5)(10 – 2x) ≤
625
8
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 5 = 10 – 2x ⇔
=
5
x
4
° Vậy: Khi
=
5
x
4
thì y đạt GTLN bằng
625
8

x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
°
+ ≥ =
2 2
2 x 2 2x 2x 2
⇔
≥
+
2
1 x
2 2
2 x
⇒
≤
1
y
2 2
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
= ⇒
2
x 2 và x > 0 x= 2
° Vậy: Khi
=x 2
thì y đạt GTLN bằng
1
2 2
.

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
= ⇔ = ±
2
x 1 x 1
° Vậy: Khi
= ±x 1
thì y đạt GTLN bằng
1
27
.
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2
≤ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) () BĐT Bunhiacopxki
() ⇔
+ + ≤ + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b 2abcd c d a b a d c b c d
⇔
+ − ≥
2 2 2 2
a d c b 2abcd 0

⇔ 3a
2
+ 4b
2
≥ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
≥
725
47
.

− = −
2 3
2a 3b 3 a 5 b
3 5
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
−
2 3
, 3 a , , 5 b
3 5
:
15
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Duy Thái
°
( )
 
− ≤ + +

3 5
, 7 a , , 11b
7 11
:
°
( )
 
− ≤ + +
 ÷
 
2 2
3 5 9 25
7 a 11b 7a 11b
7 11
7 11
⇔ 7a
2
+ 11b
2
≥
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
≥ 2.
 Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
°

( )
≤ + ≤ + + ⇔ + ≥
2 2 2 2 2 2
1
1 a b 1 1 a b a b
2
16
Trần Duy Thái Tuyển tập Bất đẳng thức
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:
+ + + + ≥ +
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
≥ x + y + z.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: A = x + y + z +
+ +
1 1 1
x y z
4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y =

+ + + + + +
+ + ≥
a b c a b c a b c
9
a b c

8. (CĐKTYTế1 2006)
Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y ≤ 0; x
2
+ x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1
thì:
 
+ + ≥ + +
 ÷
 
a b c a b c
1 1 1 a b c
3
3 3 3 3 3 3
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a
2
+ b
2
+ c