I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI VÀ CÁC HỆ QUẢ
A.Một số ví dụ:
1. Chứnh minh : (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si)
Giải:
( a - b ) = a - 2ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b
2. Chứng minh: . (Với a , b ≥ 0)
Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab .Đẳng
thức xảy ra khi a = b.
3. Chứng minh: (Với a , b ≥ 0)
Giải:
2(a + b) - ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ 0 ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ). Đẳng thức xảy ra
khi a = b.
4. Chứng minh: .(Với a.b > 0)
Giải:
+ = .Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 .Hay + ≥ 2 . Đẳng thức xảy ra khi a = b
5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải:
+ = - .Do ≥ 2 ⇒ - ≤ -2. Hay + ≤ - 2. Đẳng thức xảy ra khi a = -b.
6. Chứng minh: . (Với a , b > 0)
Giải:
+ - = = ≥ 0 ⇒ + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi a = b.
7. Chứng minh rằng: .
Giải:
2(a +b +c) - 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0
⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a =
b;b = c;c = a ⇔ a = b= c.
•
0A B A B
≥ ⇔ − ≥
• Cần lưu ý tính chất:

2
+ 3c
2
> 2a + 12b + 6c – 14
5. 10a
2
+ 5b
2
+12ab + 4a - 6b + 13
≥
0
6. a
2
+ 9b
2
+ c
2
+
2
19
> 2a + 12b + 4c
7. a
2
– 4ab + 5b
2
– 2b + 5
≥
4
8. x
2

12. x
5
+ x
4
y + xy
4
+y
5

≥
0 với x + y
≥
0
13. a
4
+ b
4
+c
4

≥
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c


+
≥
+
baba
17.
2
222
33






++
≥
++
cbacba
18.
b
c
c
a
a
b
a
c
c
b

thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra.
A – B =
( )
2
22 bca
−+
Bài 2:
4A – 4B =
( ) ( ) ( ) ( )
2222
2222 eadacaba
−+−+−+−
Bài 3:
A – 1 =
( )( )( )( )
96431
+−−−−
xxxx
=
( )
2
3
+
Y
Bài 4:
A – B =
( ) ( ) ( )
113321
222
+−+−+−

4
3
2
2
2
yy
x
+






−
Bài 9:
.x
2
– xy + y
2
-3x – 3y + 3 =
( ) ( )( ) ( )
22
1111
−+−−−−
yyxx
.
Biến đổi tiếp như bài 8
Bài 10: Tương tự bài 9
Bài 11:

d )
=
( )( )
badc
−−
Bài 16:
A - B =
( )
( )
4
2
2
22
baba
+−+
.
Bài 17: Xem bài tập 16
Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)( .
(Với a
≥
b
≥
c
≥
0)
Bài 19:
A - B =
( ) ( )
ab
baab

= + +
 ÷
 
Suy ra
2
4ac-b
=
4a
MinP
Khi
b
x=-
2a
• Nếu a < 0 :
2
2
2
4 a c+b
ax + bx +c =
4 a 2
b
P a x
a
 
= − −
 ÷
 ÷
 

Suy ra

−
= + − + = + + = + +
.
Suy ra
31 5
8 4
MinA Khi x= = −
.
2. Tìm GTLN của A = -2x
2
+ 5x + 7
Giải: A = -2x
2
+ 5x + 7 = -
2
5 25 25
2( 2. ) 7
4 16 16
x x
− + − +
=

2 2 2
5 25 56 25 5 81 5
2( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
+
= − − + + = − − = − −
≤ .

+ 2x + 1.
9. Tìm GTNN của G =
122510
234
++− xxx
10. Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y.
11. Tìm GTNN C =
( )
513413
2
+−−−
xx
12. Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3)
13. Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y
HƯỚNG DẪN
5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)
2
+ 2001,75
⇒ MinA = 2001,75 khi x = 2,5
6. B = 1 + 3x - x
2
= -1,25 - ( x - 1,5)
2

7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)
2

8. F = x
4
+ 2x