ĐỀ HSG 12 TỈNH LÂM ĐỒNG

NHĨM TỐN VD – VDC
SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG

KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC 2019 - 2020

(Đề thi có 02 trang)

MƠN: TỐN –THPT
Thời gian: 180 phút

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu 1:

(2,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y =
− x3 + 3 x 2 + 3mx − 1 nghịch biến trên
khoảng ( 0; + ∞ ) .

Câu 2:

(4,0 điểm)

a) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 3 ( 5 − 3x ) + x =
0.
b) Giải phương trình cos 2 x + 7 cos x − 3 ( sin 2 x − 7 sin x ) =

x
y
x
4
2
y
x
3



Câu 5:

(4,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật=
AB a=
, AD 2a, SA
vng góc với mặt đáy, SB tạo với mặt đáy một góc 60° , điểm E thuộc cạnh SA và
a 3
. Mặt phẳng ( BCE ) cắt SD tại F . Tính thể tích khối đa diện VABCDEF và
3
khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BE .
AE =

1

NHĨM TỐN VD – VDC

ĐỀ BÀI



1
+
− 1+ z .
2
1+ 4x 1+ 4 y2

PHẦN RIÊNG CHO THÍ SINH HỆ GDXT
n


2
Câu 7B. (2,0 điểm) Tìm hệ số x khi khai triển nhị thức  x 2 −  , với x ≠ 0 , biết rằng n là số
x

7

nguyên dương thỏa 4C n3+1 + 2C n2 =
An3 .
Câu 8B. (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

9 + 8x − x 2 − 7x − x 2 .

------------HẾT------------

2


NHĨM TỐN VD – VDC
SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG



Xét f ( x=
) x 2 − 2 x, x ∈ ( 0; + ∞ ) .
Bảng biến thiên
x

0 1 +∞
+∞

f ( x)

0

−1
Từ bảng biến thiên, suy ra m ≤ f ( x ) , ∀x ∈ ( 0; + ∞ ) ⇔ m ≤ min f ( x ) ⇔ m ≤ −1 .
( 0; +∞ )

Câu 2:

(4,0 điểm)

a) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình log 3 ( 5 − 3x ) + x =
0.
Điều kiện: 5 − 3x > 0 ⇔ x < log 3 5 .
1
Ta có log 3 ( 5 − 3x ) + x =0 ⇔ log 3 ( 5 − 3x ) =− x ⇔ 5 − 3x = x
3


 5 + 21 


 2 

 5 + 21 
 5 − 21 
 5 + 21   5 − 21 
⇒=
S log 3 
=
=
1 0.
 + log 3 
 log 3 
 
 log 3=
 2 
 2 
 2  2 

Vậy tổng tất cả các nghiệm là S = 0 .
b) Giải phương trình cos 2 x + 7 cos x − 3 ( sin 2 x − 7 sin x ) =
8.
Lời giải
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

NHĨM TỐN VD – VDC

Vậy m ≤ −1 .



3
3







 
π
1
−
sin  x + 6  =
2
π
π




.
0⇔
⇔ 2sin 2  x +  + 7 sin  x +  + 3 =
 
6
6
π



NHĨM TỐN VD – VDC

π 
π
 
π
π



4 ⇔ 1 − 2sin 2  x +  − 7 sin  x +  =4
⇔ cos  2  x +   − 7 sin  x +  =
6 
6
6
6



 

(2,0 điểm)
Một chiếc cốc hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm và chiều cao 20 cm bên trong có một
khối lập phương cạnh 6 cm như hình minh họa. Khi đổ nước vào cốc, khối lập phương

1
thể tích của nó lên trên mặt nước (mặt trên khối lập phương song song với
3
mặt nước). Tính thể tích lượng nước đổ vào cốc để mặt trên của khối lập phương
sẽ nổi

4
2
y
x
3



Lời giải

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

NHĨM TỐN VD – VDC

Lời giải


NHĨM TỐN VD – VDC
x ≥ 0
Điều kiện: 
.
y ≥1

0
( x − 2 ) y − 1 − ( y − 3) x =
 2
2
4 2y x + 3

 x + y − x +=


t
trên [ 0; +∞ ) \ {2} .
t −2

< 0 ∀t ∈ [ 0; +∞ ) \ {2} .

Suy ra hàm số: f (t ) =
Do đó:

( y − 3)

NHĨM TỐN VD – VDC

Cách 1:

t
nghịch biến trên mỗi khoảng [ 0; 2 ) ; ( 2; +∞ ) .
t −2

y −1
x
=
⇔ x = y − 1 ⇔ y = x + 1.
( y − 1) − 2 x − 2

Cách 2:

(1) ⇔ x y − 1 − 2 y − 1 − ( y − 1) x + 2 x =0


⇔ x = y − 1 ⇔ y = x + 1.
Thay y= x + 1 vào phương trình (2) ta được:

x 2 + ( x + 1) − x + 4= 2 ( x + 1) x + 3 ⇔ 2 x 2 + x + 5= 2 ( x + 1) x + 3 (3)
2

Đặt u =

x + 3 ⇒ u 2 = x + 3 ⇒ x = u 2 − 3 (u ≥ 3 do x ≥ 0).

Phương trình (3) trở thành

u = 2
2
2u 4 − 2u 3 − 11u 2 + 4u + 20 =0 ⇔ ( u − 2 ) ( 2u 2 + 6u + 5 ) =0 ⇔  2
0 (VN )
 2u + 6u + 5 =
Với u = 2 ⇒ x = 22 − 3 = 1 ⇒ y = 1 + 1 = 2. (thỏa mãn điều kiện)
x = 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: 
.
y = 2
Cách 3:
https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

NHĨM TỐN VD – VDC

⇔ x y −1



vng góc với mặt đáy, SB tạo với mặt đáy một góc 60° , điểm E thuộc cạnh SA và
a 3
. Mặt phẳng ( BCE ) cắt SD tại F . Tính thể tích khối đa diện VABCDEF và
3
khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BE .
AE =



Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên góc giữa SB với mặt đáy là góc SBA ⇒ SBA =
60° .

∆SAB vuông tại =
A ⇒ SA AB=
.tan 60° a 3 , AE =

a 3
AE 1
⇒
= .
3
AS 3

SE SF 2
Dựng F ∈ SD : EF / / AD ⇒ EF / / BC ⇒ EF ⊂ ( BCE ) ⇒ F = SD ∩ ( BCE ) và = =
SA SD 3
.

Theo


1
VS . ECB SE 2
.
==
⇒ VS . ECB =
VS . ACB =
V
3
3 S . ABCD
VS . ACB SA 3
5
4
4 1
8 3a 3
1 2
Như vậy VS .CBEF =
.
+
=
⇒
=
=
=
.
S
.
SA
V
VABCDEF
V

3
3

2a
.
⇒ CM =
3

Trong

( ABCD )

2
SE
=
d ( A, ( SDM ) )
d ( A, ( SDM ) ) .
SA
3
 
dựng AK ⊥ MD ( K ∈ MD ) , =
ta có AK AD
.sin ADK AD.co s CDM
=

a
a.
= 2=
2
 2a 

SA. AK
=
SA2 + AK 2

a 3.

(a 3)

2

6a

6a
13
=
.
2
5
 6a 
+

 13 

2
4a
.
=
d ( A, ( SDM ) )
3
5

NHĨM TỐN VD – VDC

NHĨM TỐN VD – VDC
 x3 + x 2 + x 9   3 
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f  4
+ =
  có ít
2
 x + 2x +1 4   2 
m

nhất ba nghiệm phân biệt.
Lời giải
x3 + x 2 + x 9
3
Đặt
=
u u=
+ , phương trình trở thành f ( u ) =  
( x) 4
2
x + 2x +1 4
2

Có u ′ ( x )

=

( 3x
=

.
NHĨM TỐN VD – VDC

2

( *) .

+ 2 x + 1)( x 2 + 1) − ( x3 + x 2 + x ) .2.2 x. ( x 2 + 1)

− x 4 − 2 x3 + 2 x + 1

(x

m

 x = −1
u ′ ( x )= 0 ⇔ 
x = 1
Bảng biến thiên của u = u ( x ) :

Từ bảng biến thiên suy ra u ∈ [ 2;3] , đồng thời với u =
9 
u ∈ [ 2;3] \   cho ta 2 giá trị x thỏa mãn.
4

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

9
cho ta 1 giá trị x , với mỗi
4

m


 x3 + x 2 + x 9   3 
Vậy với m ∈  log 3 2;log 3 3 thì phương trình f  4
+
=
   có ít nhất ba
2
 x + 2x +1 4   2 
2 
 2

1 ≥ 2 xy
1

0 < x + y ≤ 1 
 xy ≤
Từ giả thiết ta có 
⇒
4.
1 ⇒
z
=
 xyz = 1

 z ≥ 4
xy

1

⇒
− 1+ z ≤ 1− 5 .
− 1 + z ≤ 5 1 + 4

z
1

 x= y=
Vậy max P = 1 − 5 đạt được khi 
2.
 z = 4

Do đó P=

nguyên dương thỏa 4C n3+1 + 2C n2 =
An3
Lời giải
Điều kiện: n ≥ 3
4C n3+1 + 2C n2 =An3 ⇔

4.(n + 1)!
2.(n !)
2.(n + 1)
1
n!
+
=
⇔
+
=1


9 + 8x − x 2 − 7x − x 2

Lời giải
Điều kiện: x ∈ [0;7]
=
y'

4−x

7 − 2x
2 7x − x 2

NHĨM TỐN VD – VDC

9 + 8x − x 2

−

(4 − x )(7 − 2x ) ≥ 0
y ' =0 ⇔ 2(4 − x ) 7x − x 2 =(7 − 2x ) 9 + 8x − x 2 ⇔ 
2
2
2
2
4(4 − x ) (7x − x ) = (7 − 2x ) (9 + 8x − x )
Từ bảng biến thiên suy ra
min y = 2 khi x =

7


2 ⇔ (x + 1)(7 − x ) = 9x − x 2 ⇔ x =

)

2

+2≥2

7
3

NHĨM TỐN VD – VDC

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc