CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN
Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a
•
Phương pháp :
)()(lim afxf
ax
=
→

Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
a.
1)²3³(lim
1
−=+−
→
xxx
x
b.
0)²(lim
0
=−
→
xx
x
c.
3)1²(lim
2
=−
−→
x
x

=
→
– Nếu
0)(
=
aQ
và
0)(
≠
aP
thì
∞=
→
)(
)(
lim
xQ
xP
ax
– Nếu
0)(
=
aQ
và
0)(
=
aP
thì
)(
)(

Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
1.
3
1
5²
lim
1
=
+
+
→
x
x
x
2.
∞=
−
+
→
3
1²
lim
3
x
x
x
3.
1)2(lim
3
)2)(3(

111
−=
−−
=
−−+
+
=
−−−
+
−→−→−→
xxx
x
xx
x
xxx
5.
2
1
1
12
lim
)1)(1(
)12)(1(
lim
1²
13²2
lim
111
=
−

−
=
+−
−−
=
−+
+−
→→→
x
x
xx
xx
xx
xx
xxx
7.
32)4²)(2(lim
2
)4²)(2)(2(
lim
2
16
lim
22
4
2
=++=
−
++−
=

−
−−
=
−
+−
→→→
2
1
lim
)²2(
)1)(2(
lim
)²2(
23²
lim
222
x
x
x
xx
x
xx
xxx
10.
3
4²
8³
lim
2
=

2²
42³
lim
22
−=
+−+
=
+
+−
−→−→
x
xxx
xx
xx
xx
Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai
•
Phương pháp : Khử dạng vô định
0
0
bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp
Cần nhớ :
•
a – b =
))(( baba
−+

•
a – b =
)².²)((

==
++++
−
=
→
xxxx
x
x
2.
)2)(2)(321(
)2)(321)(321(
lim
2
321
lim
44
+−++
+++−+
=
−
−+
→→
xxx
xxx
x
x
xx
3
4
)321).(4(

−+
+−
→→
xxx
xxx
x
xx
xx
8
9
)2).(2.(4
)314).(2)(1(
lim
2
=
++−
++−+
=
→
xxx
xxx
x
4.
2
111
lim
0
=
−−
→

=
−+−+
=
−−
→→
xxx
x
x
x
xx
7.
3
2
23²
1
lim
3
1
−=
−+
+
−→
x
x
x
8.
2.2
3
)1²).(1).(21(
1²).(21).(21(

∞
∞
)
•
Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
1.
3
2²
15²3
lim
=
−
+−
∞→
x
xx
x
2.
1
)5)(2(
1²
lim
=
−+
−
∞→
xx
x
x

+−
+−
∞→
xx
xx
x
6.
3²5
²22²3
lim
4
+
+−+
∞→
x
xxx
x
=
5
3
7.
∞=
+
−+
∞→
72
1²
lim
3 5
x

+∞→
xxx
x
11.
+∞=−+−
−∞→
)234²4(lim xxx
x
Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai

•
Phương pháp :
– Trường hợp 1 : Khử dạng vô định
∞
∞
bằng cách chia tử và mẩu cho lũy
thừa lớn nhất
– Trường hợp 2 : Khử dạng vô định
∞−∞
bằng cách nhân thêm lượng
biểu thức liên hợp
•
Cần nhớ : x
→
+
∞
thì x =
²x
x
→

=
+−
−++
∞→∞→∞→
xx
xx
x
xx
x
xxx
xx
xxx
xxx
2.
)3²(
)3²)(3²(
lim)3²(lim
xxx
xxxxxx
xxx
xx
−+−
−+−++−
=++−
−∞→−∞→
xxx
xxx
x
−+−
−+−

xxx
x
xx
3.
xxx
x
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
+−
−
=
+−
+−−−
=−−
+∞→+∞→+∞→
4²
4
lim
4²
)4²)(4²(
lim)4²(lim
=
2
)1
4
1(
4
lim

xx
x
6.
)4²).(3(lim xxx
x
−++
+∞→
( dạng
∞
.0 ) đs : 2
7.
[ ]
4
7
27²4lim
−=++
−∞→
xxx
x
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
0
x
:
Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện
– Tính
)(
0
xf
– Tính

−
+
=
→→
x
x
xf
xx
)(lim
1
xf
x
→
= f(1)
Vậy f(x) liên tục tại x = 1
Tại x = 2 thì f(x) không xác định
Vậy f(x) không liên tục tại x = 2
2.f(x) =





≤+
>
−
−−
132
1
1

1
=+
−
→
x
x
Không tồn tại
)(lim
1
xf
x
→
Vậy f(x) không liên tục tại x = 1
3. f(x) =





≠
+−
−
=
2
23²
)2(2
22
xkhi
xx
x

= f(2)
Vậy f(x) liên tục tại x = 2
4. f(x) =





≠
−
−+−
=
1
1
22²³
14
xkhi
x
xxx
xkhi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 )
5.f(x) =





>
−
≤+

xf
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x = 2 )
7.







≠
−
=
=
0
²sin
cos1
0
4
1
)(
xkhi
x
x
xkhi
xf
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x = 0 )
8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1
a. f(x) =
1






−=−
−≠
−
+−
11
1
1
23²
xkhi
xkhi
x
xx