Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Đỗ Thị Phương Quỳnh MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA
ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
Chuyên ngành : Giải tích
Mã số : 60. 46. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai
Thái Nguyên – 2008

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2


n
f
của f như sau:

1
n n 1
ff
f f .f .









Một vấn đề được đặt ra ở đây là dãy
 
n
f
có hội tụ đều trên các tập
compact hay không, và nếu hội tụ thì có hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình
n
h : D  
hay không ?
Vào năm 1926 Wolff và Denjoy đã giải quyết vấn đề trên khi
D 
(


định, thì không thể tiếp tục sử dụng bổ đề Schwarz được nữa mà cần một
công cụ mới để thay thế. Để đáp ứng được yêu cầu đó, định nghĩa về đường
cực hạn đã được sử dụng và bổ đề Wolff: “Cho
:f   
là hàm chỉnh
hình không có điểm cố định. Khi đó tồn tại
x
sao cho với mỗi R>0 có
 
 
 
,,f E x R E x R
” được thay thế cho bổ đề Schwarz. Về bản chất,
đường cực hạn là một đường tròn tiếp xúc trong với biên của

tại x.
Đến năm 1941 Heins đã mở rộng định lí Denjoy - Wolff trên một
miền tổng quát hơn trong

: “ Cho
D  
là một miền hữu hạn liên thông
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
bị chặn bởi đường cong Jordan, và
:f D D
là một hàm chỉnh hình. Khi
đó dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là tự đẳng cấu của D. Hơn
thế nữa giới hạn, khi nó tồn tại, là một ánh xạ hằng
xD


.
Sử dụng dạng chính tắc Jordan của
0
z
df
, dễ dàng kiểm tra được rằng
 
0
n
z
df

hội tụ nếu và chỉ nếu giá trị riêng của nó nằm trong
 
1
và khi đó cho ta
một kết quả như sau: “ Cho D là miền taut, compact tương đối trong
n

,
:f D D
là một ánh xạ chỉnh hình có đúng một điểm cố định
0
zD
. Khi
đó dãy lặp
 
n
f

trình học tập và hoàn thành luận văn tại Trường ĐHSP - ĐHTN. Đồng thời
tôi cũng xin cảm ơn Trường ĐHSP - ĐHTN, Trường ĐHYK - ĐHTN đã
tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu của tôi. Cuối cùng
tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp những người luôn động viên
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008
Đỗ Thị Phương Quỳnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Ánh xạ chỉnh hình [1]
1.1.1. Định nghĩa
+ Giả sử X là một tập mở trong
n

, hàm số
f : X  
được gọi là
khả vi phức tại
0
xX
nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính
n
:
sao cho
   
 
00

xU
.
+ Hàm f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm
thuộc X.
+ Cho ánh xạ
nm
f :X ;
có thể viết dưới dạng
 
1 2 m
f f ,f ,...,f
.
Trong đó
ii
f f : X  
, i=1,...,m là các hàm toạ độ, và
 
m
i
1 2 m i
:
f ,f ,...,f f .




Khi đó f được gọi là chỉnh hình trên X nếu
i
f
chỉnh hình trên X với mọi

n
M
, M là không gian
con hữu hạn chiều.
1.2. Khoảng cách
1.2.1. Định nghĩa [1]
Khoảng cách d trên tập X là một hàm
   
d : X X
x, y d x, y .



thoả mãn điều kiện sau với mọi x, y thuộc X.
i)
   
d x, y 0;d x, y 0 x y   
;
ii) d(x,y)=d(y,x);
iii)
     
d x, y d x,z d z,y
;
Nếu d chỉ thoả mãn ii) và iii) và
 
d x, y 0
thì d được gọi là giả
khoảng cách trên X.
1.2.2. Khoảng cách Bergman Poincaré [4]


. Vậy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8

 
ab
1
1 ba
a,b log .
ab
1
1 ba









1.2.3. Giả khoảng cách Kobayashi [1]
1.2.3.1. Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tuỳ ý của X.
Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô
compact mở. Xét dãy các điểm
0 1 k
p x,p ,...,p y
của X, dãy các điểm
1 2 k



,
trong đó
x,y

là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong
X.
Khi đó
X
d : X X
là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Tổng
 
k
Di
i1
0,a



được
gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình.
1.2.3.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi
+ Nếu
f : X Y
là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f
làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

     

x
C
trong X
được định nghĩa như sau
     
 
x
C p,q sup f p ,f q ; p,q X  
.
Trong đó supremum được lấy theo toàn bộ
 
f Hol X,
. Khi

là
đĩa đơn vị thuần nhất, nó thoả mãn để lấy supremum trên toàn bộ tập con
   
 
F f Hol X, D ;f p 0  

1.2.4.2. Một số tính chất
*Mệnh đề 1
Cho đa tạp phức X, ta có
   
XX
d p,q C p,q , p,q X
.
Chứng minh:
Như trong định nghĩa của
 


     
 
   
 
   
 
kk
i i i i i i
i 1 i 1
1 1 k k
a ,b f f a ,f f b
f f a ,f f b
f p ,f q ,

  






Trong đó bất đẳng thức thứ nhất được suy ra từ bổ đề Schwarz và bất đẳng
thức thứ hai là hệ quả của tiên đề tam giác. Do đó ,

       
 
 
k
X i i X


   
p,q C p,q , p,q .

   

Từ định nghĩa của
C

, xét phép biến đổi đồng nhất của

, ta thu được bất
đẳng thức
   
p,q C p,q , p,q .

   

* Mệnh đề 4: Cho X là không gian phức
a) Nếu
X

là một giả khoảng cách như sau

   
 
   
X
f p ,f q p,q f Hol X, ;p,q X      


f z z ; z D  

ii) Nếu
 
00
f z z
với điểm
0
z0
nào đó trong

thì
 
f z z

trong đó
1
.
Chứng minh:
Với r tuỳ ý , 0<r<1 theo công thức tích phân Cauchy ta có

 
 
 
D 0,r
f
1
f z d
2 i z


2 i z 2 i z



     

       



tức là hàm
 
   
 
 
D 0,r
f z f
1
zd
z 2 i z


   
   


chỉnh hình trên hình tròn

. Vì r<1 tuỳ ý nên


fz
z 1, z
z
    

hay
 
f z z , z  

Nếu
 
 
0
0 0 0
0
fz
z 1, z ,0 z
z
     

thì theo nguyên lí môđun cực đại
 
fz
const
z

.
Tức là
 
f z z; 1   

và đa đĩa
m
r
D
là hyperbolic.
+ Một miền bị chặn trong
m

là hyperbolic, vì nó là tập con mở của
tích các đa đĩa.
+
m

không là hyperbolic, vì
m
d0

.
1.4. Đa tạp phức [1]
1.4.1. Định nghĩa
Giả sử X là một không gian tôpô Hausdorff.
+ Cặp
 
U,
được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là
tập mở trong X và
n
:U
là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thoả
mãn:

U ,U
mà
ij
UU  
, ánh xạ

   
1
j i i i j j i j
. : U U U U

      
là ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên X. Hai atlas A và B được gọi là tương đương
nếu hợp A

B là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các
atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X
cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
1.4.2. Ví dụ
Giả sử D là miền trong
n

. Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với
bản đồ địa phương
 
 
D

d z, D
là khoảng cách Ơclit của điểm z đến biên
D
,đa điều hòa
dưới trong D.
Ví dụ: trên mặt phẳng

miền tuỳ ý là giả lồi.
1.5.2. Miền giả lồi mạnh [10]
1.5.2.1. Định nghĩa
Cho X là một miền bị chặn trong
n

với
n
z
 
1 2 n i
z z ,z ,...,z ,z
,
X là miền giả lồi mạnh với biên
2
C
nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới


xác định trong một lân cận U của biên
X
sao cho:
i)

Khi X là miền giả lồi mạnh biên
2
C
vì dạng
0
,x
L

là xác định dương,
X
compact, tồn tại hai số dương
12
c ,c
sao cho
 
0
22
1 ,x 2
c L c

    
.
1.5.2.2. Một số tính chất
Bổ đề
Cho
r
B
là cầu Euclid bán kính r tâm O. Khi đó với mọi
r
zB

x , .

chuẩn hoá nên
     
0 0 0 0
, 1, , 1, \     x x x z z X x
.
Định lí 2
Cho
n
X  
là miền bị chặn với biên
2
C
và K là một tập con
compact của X. Khi đó tồn tại một hằng số
1
c 
chỉ phụ thuộc vào X và K
sao cho
 
 
0 1 0
, log , , ,     
X
d z z c d z X z X z K
.
Định lí 3
Cho
n

0
x , .
là chỉnh hình trong X’ và nó chuẩn hoá vì
thế
     
0 0 0 0
x , x 1, x ,z 1, z X \ x     
, và định nghĩa

 
 
 
 
 
00
0
0
0
: X X X D
1 x,z x,z
x,z , .
1 x,z
1 x,z
    
    
  

  
.
Khi đó có

0
x,z

là một hàm chỉnh hình yếu trên X tại
xD
thoả mãn
 
0
x,z 0
z0
.
Cho
 
P x,
là đa đĩa bán kính

tâm x. Cho
0
x X,z K 
và
 
z P x,
.
     
 
 
0
0 0 0
x,z
x,z x,z x,z

, với mỗi

>0
sao cho
U

là compact tương đối trong X.
Xét 2 trường hợp:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
+)
z X U

 
. Chọn
xX
sao cho
 
d z, X z x    
. Khi đó
 
 
00
x,z x,z 0
X D, z 0   
, ta có

   
 
 

d z, X  
. Do đó,
     
X 0 2
C z ,z 0 log logd z, X c logd z, X       

Miền giả lồi mạnh và miền taut có mối liên hệ khá chặt chẽ với nhau.
1.6. Miền taut [4]
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử M là một không gian phức:
a. Dãy
 
k
k1
f Hol( ,M)



được gọi là phân kì compact nếu với mỗi
tập compact
K 
và với mỗi tập compact
LM
tồn tại số
 
0
j j K,L

sao cho
 

cho
qB
.
 
 
2 2 2
s 1 2 n 1 n
B w , w ,...,w ;| w | ... | w | s 1    
.
 
 
s
V p ' M; p,p ' s   
.
 
2
z ; z 1

     
.
1.6.2.1. Định nghĩa : Một cặp có thứ tự
 
r,
các số dương được gọi là có
tính chất A nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình
f : M
với
 
r
f 0 B

0 1 m 1 m 1 m
L p p ,p ,...,p q;a ,...,a ;f ,...,f  
là một dây chuyền
Kobayashi nối p và q. Theo giả thiết, không mất tính tổng quát ta có thể giả
sử
1 k / 2 0 1 k 1 r k r
a ,...,a ,p ,p ,...,p B ,p B

  
.
Khi đó :
   
   
kk
ii
i 1 i 1
k
B i 1 i B k
i1
| L | d 0,a c d 0,a
c d p ,p cd 0,p c'.






  



fB
. Dãy
 
i
f
không có dãy con hội tụ đều trên tập compact hoặc
phân kì compact. Do đó M không là taut.
ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên
 
Hol ,M
là đồng liên tục. Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tập con
bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy
 
Hol ,M
là chuẩn tắc, do
đó M là taut. 
1.6.2.3. Nhận xét
Mọi miền giả lồi mạnh và bị chặn X với biên
2
C
là hyperbolic đầy.
Theo định lý Kiernan không gian hyperbolic đầy cũng là miền taut. Suy ra
miền giả lồi mạnh cũng là miền taut.