Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa
HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hệ tọa độ trong không gian :
a) Hệ tọa độ trong không gian:
o Hệ gồm ba trục
, ,
Ox Oy Oz
đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc
trong không gian.
o Nếu ta lấy ba vectơ đơn vị
, ,
i j k
r ur ur
lần lượt nằm trên
, ,
Ox Oy Oz
thì
2 2 2
1
i j k
= = =
r ur ur
và
. . . 0
i j j k k i
= = =
r ur ur ur ur r
.

1 1 1 2 2 2
; ; & ; ;
u x y z v x y z
r r
.
Khi đó:
o
1 2
1 2
1 2
x x
u v y y
z z

=

= ⇔ =


=

r r
.
o
( )
1 2 1 2 1 2
; ;
u v x x y y z z
± = ± ± ±
r r

, tức là
2 1
2 1
2 1
x kx
y ky
z kz

=

=


=

hay
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z
= =
.
e) Tích vô hướng của hai vectơ : Cho
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; & ; ;
u x y z v x y z
r r
. Khi đó:
o

x x y y z z
c u v
x y z x y z
+ +
=
+ + + +
r r
.
o
1 2 1 2 1 2
0
u v x x y y z z
⊥ ⇔ + + =
r r
.
f) Tích có hướng của hai vectơ : Trong không gian
Oxyz
, cho hai vectơ
( )
1 1 1
; ;
u x y z
r
và
( )
2 2 2
; ;
v x y z
r
.

u v u u v v
   
⊥ ⊥
   
r r r r r r
.
o
( )
, . .sin ,
u v u v u v
 
=
 
r r r r r r
.
o
&
u v
r r
cùng phương khi và chỉ khi
, 0
u v
 
=
 
r r r
.
o Ba vectơ
, ,w
u v

.
o Thể tích tứ diện:
1
, .
6
ABCD
V AB AC AD
 
=
 
uuur uuuur uuuur
.
h) Mặt cầu:
o Mặt cầu tâm
( )
; ;
I a b c
, bán kính
R
có phương trình là:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
x a y b z c R
− + − + − =
.
o Phương trình
2 2 2
2 2 2 0

vuông góc với
( )
α
, viết tắt là
( )
n α
⊥
ur
.
o Nếu hai vectơ
( ) ( )
1 1 1 2 2 2
; ; & ; ;
u x y z v x y z
r r
không cùng phương và giá của chúng song
song hoặc nằm trên
( )
α
thì vectơ
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ; ;
y z z x x y
n u v
y z z x x y
 
 
= =
 ÷

, với
2 2 2
0
A B C
+ + ≠
. Khi đó,
( )
; ;
n A B C
ur
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
d) Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát của mặt phẳng
Xét mặt phẳng
( )
α
có phương trình
0
Ax By Cz D
+ + + =
. Khi đó:
o
( )
0
D α
= ⇔
qua gốc tọa độ.
o
( )
0, 0
C D α

Oyz
.
o Các trường hợp khác tương tự……
e) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng
( )
: 0
Ax By Cz Dα
+ + + =
và
( )
' : ' ' ' ' 0
A x B y C z Dα
+ + + =
.
Khi đó:
o
( ) ( )
α α
≡ ⇔ = = ='
' ' ' '
A B C D
A B C D
.
o
( ) ( )
α α
⇔ = = ≠/ / '
' ' ' '
A B C D

, có phương trình theo đoạn chắn là:
( )
1 0
x y z
abc
a b c
+ + = ≠
.
g) Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng
( ) ( )
: 0 & ' : ' ' ' ' 0
Ax By Cz D A x B y C z Dα α
+ + + = + + + =
.
Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
( ) ( )
& '
α α
,
khi đó:
2 2 2 2 2 2
' ' '
cos
. ' ' '
AA BB CC
A B C A B C
ϕ

3. Phương trình đường thẳng:
a) Phương trình đường thẳng qua một điểm và có một vectơ chỉ phương
Đường thẳng d qua
( )
0 0 0
; ;
M x y z
và có vectơ chỉ phương
( )
; ;
u a b c
r
. Khi đó:
o Đường thẳng d có phương trình tham số là
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct

= +

= +


= +

.
o Nếu

( ) ( )
'
d α α
= ∩
.
HH12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 3 of 14
Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa
Khi đó một vectơ chỉ phương của d là
, '
u n n
 
=
 
r ur uur
với
( ) ( )
; ; & ' '; '; '
n A B C n A B C
ur uur
.
c) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1
d
qua
1
M
có vectơ chỉ phương
1
u

, 0
, 0
u u
d d
u M M

 
=

 
≡ ⇔

 
=

 

ur uur r
ur uuuuuuur r
.
o
1 2
1 2
1 1 2
, 0
/ /
, 0
u u
d d
u M M

 

 
≠

 

ur uur uuuuuuur
ur uur r
.
o
1 2
&
d d
chéo nhau
1 2 1 2
, . 0
u u M M
 
⇔ ≠
 
ur uur uuuuuuur
.
Lưu ý: Có thể xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng cách giải hệ phương trình để
tìm giao điểm của hai đường thẳng (nếu có và xét thêm phương của chúng trong trường hợp
hệ vô nghiệm).
d) Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1 2
,

u u
a a b b c c
c
u u
a b c a b c
ϕ
+ +
= =
+ + + +
ur uur
ur uur
.
e) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng
d
có vectơ chỉ phương
( )
; ;
u a b c
r
và
( )
α
có vectơ pháp tuyến
( )
; ;
n A B C
ur
. Gọi
ϕ

1
M
, đường thẳng
∆
qua
0
M
và có vectơ chỉ phương
u
r
.
Khi đó
( )
1 0
1
,
,
M M u
d M
u
 
 
∆ =
uuuuuuur r
r
.
g) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
HH12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 4 of 14
Gv: Lê Minh Giấy THPT Thủ Khoa Nghĩa
Cho hai đường thẳng chéo nhau:

u u
 
 
∆ ∆ =
 
 
ur uur uuuuuuur
ur uur
.
II. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
1. Cho ba vectơ
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2
a b c
− −
r r r
:
a) Tính tọa độ của vectơ
1
4 3
3
u a b c
= − +
r r r r
b) Tính tọa độ của vectơ
4 2
v a b c
= − −
r r r r
2. Cho hình hộp

với
( ) ( )
6;4; 3 & 2;8;1
A B
−
.
b)
( )
S
có tâm thuộc
Oz
và đi qua hai điểm
( ) ( )
0;1;2 & 1;0; 1
M N
−
5. Cho bốn điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 , 2;1; 2
A B C D
− −
.
a) Chứng minh rằng
, , ,
A B C D
là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện đó.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD.
d) Tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A.
6. Cho các vectơ

là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tìm tọa độ của điểm
M
là đỉnh thứ tư của hình bình hành
ABCM
.
c) Tìm tọa độ các điểm tương ứng là chân đường phân giác trong, ngoài của góc
A
của
ABC
∆
.
d) Chứng minh
, , ,
O A B C
là bốn đỉnh của một tứ diện. Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện
đó.
8. Cho các điểm
( ) ( ) ( )
2;1; 2 , 3;0;1 , 2; 1;3 ,
A B C D Oy
− − ∈
.
a) Tính diện tích
ABC
∆
.
b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh
A
của

Oyz
.
HH12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 5 of 14