ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM 2010 MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề).
I: PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH .
Câu I Cho hàm số
1
12
−
+
=
x
x
y
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B .
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu II 1. Giải phương trình:
xx
xx
2sin
2
1
cos2)
2
cos
2
(sin3
33
+=−
2. Giải hệ phương trình :


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
3
2 2 2 2 2 4 2 2
2 4 2
2
2
z y z x y z x z x z z x y xy x y
z z x y xy
x y
x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 
+ + +
 
≤ + +
+
Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt
là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt
phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
II, PHẦN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chương trình chuẩn )
Câu Va 1. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh:
A(-2;3),B(
)0;2(),0;

= =
-
.
.Câu VIa Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10
1).12(48
22
++=++
xxmx
.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao ) .
Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0);
Q(1;2) lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng (
∆
) và (
)'
∆
có phương trình .
ĐỀ CHÍNH
THỨC
( )
( )





+=

2
−
+−
=
x
xx
y
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tổng
khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.
******** Hết ********
Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng
n¨m 2010
Híng dÉn chÊm m«n to¸n
Câu Nội dung Điểm
I.1
Khảo sát hàm số y=
1
12
−
+
x
x
1,00
1. Tập xác định: R\{1}
2. Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
22
)1(
3
)1(

x
y
x
x

+∞=
−
+
=
+
+
→
→
1
12
limlim
1
1
x
x
y
x
x
Do đó đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng

2
1
12
limlim
=






−
+
1
3
2;
0
0
x
x
∈(C)
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3
2)(
)1(
3
0
0
2
0
−
++−
−
−
=

63.212
1
6
2
1
0
0
==−⋅
−
⋅
x
x
(đvdt)
0,25
0,25
* ∆IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA=
IB (HS tự chứng minh).




−=
+=
⇒−=
−
31
31
12
1
6

xcos2)
2
x
cos
2
x
(sin3
33
+=−
( )
xcosxsin2
2
x
cos
2
x
sin1
2
x
cos
2
x
sin3
+=













−⇔
2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x
cosxsin2xsin
2
1
1
2
x
cos
2
x
sin3
0
2

*
x x x x
sin cos 0 sin 0 k x k2 (k )
2 2 2 4 2 4 2
π π π
 
− = ⇔ − = ⇔ − = π ⇔ = + π ∈
 ÷
 
Z
*
2xsin0xsin2
−=⇔=+
(vô nghiệm)
0,5
*
22
3
4
xsin
2
3
42
x
sin2
2
3
2
x
cos






=−++
=+−+−
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx

* Hệ phương trình tương đương với





=−++
=−+−
022)2(
4)3()2(
22
222
xyx
yx
2 2 2
2 2


+ + =


2
0
u
v
=


=

hoặc
0
2
u
v
=


=

thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là :
2
3
x
y
=



= −


=


;
1,00
0,25
0,25
0,25

0,25
Câu Nội dung Điểm
III.1
( )
( )
( )
( )
( )
2
0
2 2 2
0 0 0
2
2
0
0
sinx cos 2 2 cos sinx 2

= − −
+ +
+ +
= − + + −
 
− +
 ÷
 
∫
∫ ∫ ∫
∫
2
2
0
1
2 ln(1 2) ln(1 2)
2 2
os ( )
2 8
dx
x
c
π
π
π
 
= − + − + −
 
−
∫

x y
 
+ − − + + − + + + + +
 
 
+ + +
 
≤ + +
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
z y z x x y z x z y x y
z y z x
z y z x x y x y
x y
⇔ + + − + + + + − + +
+ +
+ + + ≤ + +
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
Từ (1)
3

( )
2
2 5c ab c ab≤ +
Cộng (3); (4); (5) ta được:
( ) ( )
2
2 2a c b c b c a c c ab ab c− + − + ≤ +
đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a. 2z+y=2z+x=4x+2y
b. x=y=
2
5
z
0,25
0,25
0,25
0,25