BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1.

Lời giới thiệu
Số phức là một nội dung quan trọng được đưa vào cuối chương trình

Giải tích 12 với mục đích kết thúc việc giới thiệu hệ thống các tập hợp số cho
học sinh: số tự nhiên, số nguyên, số thập phân, số hữu tỉ, số thực, số phức.
Những năm gần đây, đề thi Đại học – Cao đẳng thường có những bài toán số
phức với đủ các mức độ nhận biết – thông hiểu – vận dụng và vận dụng cao. Do
đó, việc dạy học giải bài tốn này cũng là một trong những nội dung ôn thi
THPT Quốc Gia của các trường THPT. Tuy nhiên, do thời lượng dạy học nội
dung này không nhiều nên đa phần giáo viên chưa quan tâm đến việc phát triển
nhiều phương pháp giải toán cho học sinh. Trong các phương pháp giải toán số
phức, nếu tiếp cận bài tốn dưới góc độ hình học ta có thể tìm được những lời
giải hay và hiệu quả cho bài tốn đó.
Vì vậy, tác giả chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là “Phát triển năng lực
giải bài tốn số phức dưới góc độ Hình học cho học sinh lớp 12 trường THPT
Bình Xuyên”.
2.

Tên sáng kiến

Phát triển năng lực giải bài tốn số phức dưới góc độ Hình học cho học
sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
3. Tác giả sáng kiến
Họ và tên: Đào Thùy Linh
Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên
Số điện thoại: 0914262612 Email:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

Năng lực tốn học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc
điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và tạo
điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương
đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau.
Năng lực giải bài tập toán học là khả năng áp dụng áp dụng tiến trình thực
hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, địi hỏi khả năng tư duy
tích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện.
Giải bài tập toán học vừa là mục đích vừa là phương tiện của việc dạy học
mơn Tốn. Thơng qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất
định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện những hoạt động toán học phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong tốn học, những hoạt động trí tuệ chung
và những hoạt động ngơn ngữ. Nhờ quá trình tập luyện ấy mà năng lực giải bài
tập tốn học của học sinh được hình thành và phát triển.
2


Năng lực giải toán bao gồm các thành phần: năng lực phân tích tổng hợp,
năng lực khái qt hóa, năng lực suy luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy
luận, năng lực tìm ra lời giải hay,... Các năng lực thành phần này thường được
thể hiện qua các phương diện sau:
-

Một là: biết nhìn nhận, hiểu bài tốn.

-

Hai là: biết định hướng giải bài tập toán một cách rõ ràng.

-


Bốn là: biết phân tích lời giải bài tốn.
Từ đó, để học sinh có được năng lực giải tốn và phát triển năng lực ấy thì

người thầy cần cho học sinh tập luyện những hoạt động trí tuệ nhằm rèn luyện tư
duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa, tư duy thuật
giải, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo,... Theo định hướng đổi mới
phương pháp dạy học thì các loại hình tư duy này được rèn luyện qua bốn bước
giải toán của G.Polya dưới tác động của các biện pháp hoạt động hóa người học.
Một số hoạt động để GV cho HS tập luyện nhằm phát triển năng lực giải
toán theo bốn bước giải toán của G.Polya gồm:
3


-

Hoạt động phân tích đề bài, tìm tịi suy đốn, phát biểu bài tốn theo

nhiều cách khác nhau hay tìm sự liên quan giữa các bài toán.
Hoạt động tiếp cận những tri thức phương pháp giải toán và thực hiện
các thao tác như: quy lạ về quen, phân chia trường hợp,…
-

-

Hoạt động luyện tập trình bày lời giải một bài tốn từ cách giải tìm

được; hoạt động theo dõi lời giải cho trước để đánh giá lời giải đó, tìm sai lầm
và sửa chữa sai lầm nếu có.
-


Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya về cách thức giải toán, phương pháp chung để giải bài tốn gồm 4 bước:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

Bước 3: Trình bày lời giải

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

1.2.3. Những yêu cầu của một lời giải bài toán
Một lời giải bài toán cần thỏa mãn các yếu tố: kết quả đúng kể cả các
bước trung gian; lập luận chặt chẽ; lời giải đầy đủ; ngơn ngữ chính xác; trình
bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật. Nếu bài tốn có nhiều cách giải thì lời giải trình
bày theo cách ngắn gọn, hợp lý.
1.3. Mục tiêu của phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc độ
Hình học cho học sinh
a) Về kiến thức:
-

Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan.

-

Các phép toán về số phức: cộng, trừ, nhân, chia; các phép toán về liên hợp của

một số phức và modun của số phức.
-

Tri thức phương pháp giải bài tốn tìm điểm biểu diễn của một số phức, tìm tập

-

Tính cẩn thận, chính xác và tính thẩm mĩ.
5


Chương 2: Phát triển năng lực giải bài toán số phức dưới góc
độ Hình học cho học sinh lớp 12 trường THPT Bình Xuyên.
2.1. Lý thuyết
2.1.1. Kiến thức cơ bản:
a) Định nghĩa số phức:
+ Dạng đại số:
Các kết quả: Cho số phức z = a + bi , (a, b
+ Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i.
+ Môđun của số phức : | z |
+ Số phức liên hợp :
+

Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) là : M(a ; b).

Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng
tương ứng bằng nhau.
+

b)

Các phép toán đối với số phức

Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và
nhân các số thực với chú ý i2 = - 1.

2


1

c) Phương trình bậc hai với hệ số thực.
* Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có
+ Nếu

+ Nếu

+ Nếu
1,2

2

* Cho phương trình bậc hai : ax + bx + c = 0.
Khi b chẵn có b’ = b/2 ;
+ Nếu
1,2

+ Nếu
a

+ Nếu
1,2

2.1.2. Các phép tốn về modun của số phức.
có:
1)


,z'

z'


5) z

OM .

6) z

z ' MN .
7


7) z z ' 2OI , với I là trung điểm của đoạn thẳng MN.
2.2. Giải bài toán số phức dưới góc độ hình học
2.2.1. Bài tốn về điểm biểu diễn số phức
Cách giải: Số phức z
phẳng phức là M( a; b).
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số
phức
A. z
C. z
Điểm M( 2;1)
Câu 2: Trong mặt phẳng phức gọi M là điểm biểu diễn cho số phức z
(a,b
sau đây đúng?


A.
Ta có: A(1; 2) ,
Câu 6: Cho bốn điểm M , N , P , Q là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ
tự biểu diễn các số
tạo bởi ba điểm còn lại?
A. M.

Tọa độ các điểm: M(0; 1) ,
0

Dễ thấy

B.
Câu 7: Cho M, M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z
0

z'

1 i

z

2

1 i

và z '

2

2 4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

A. 8.
Phân tích: Trong bài tốn này, việc gắn hình học vào bài tốn số phức là
bắt buộc khi cần tính yếu tố diện tích của một tam giác thơng qua nhận dạng tam
ABCD .

giác đó.
Lời giải

Ta có A(2;0) , B(0; 4) , C(2; 4) suy ra
Do

đó tam
1

S
ABC

CA.CB

2

Với ý tưởng tương tự, tăng cường thêm mức độ, ta có bài tốn sau:
Câu 9: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D lần lượt là các điểm biểu diễn số


phức z1 1 i , z 2 1 2i , z 3 2 i , z 4 3i . Gọi S là diện tích tứ giác Tính S .
17


; iz và z i z tạo thành một tam giác có diện tích bằng 18 . Mơ đun của
số phức z bằng
A.2 3.

B.3 2.

C.6.

D.9.

Phân tích: Việc dùng cơng cụ hình học ở bài toán này thể hiện ở ràng
buộc diện tích cho trước. HS phải biết đưa ràng buộc đó về biểu thức tính mơ
đun của z.
Lời giải
Gọi z a
Ta có: iz
Ta gọi A( a , b) ,
Vậy S

1

AB, AC

2

11


Câu 11: Trong mặt phẳng phức, cho M, M’ theo thứ tự là các điểm biểu diễn số
phức z 0 và z’. Biết rằng tam giác OMM’ vuông cân tại M’ (O là gốc tọa độ).


Dựa vào kiến thức hình giải tích trong mặt phẳng để kết luận về tập hợp

điểm M.
Các loại quỹ tích cơ bản:


a)

Loại 1: Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng

Cách giải 1: Sử dụng phương pháp giải cơ bản trên.

Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thuần ảo là?
12

A. Tia.

Phân tích: Dựa vào định nghĩa số
bằng 0 nên HS dễ dàng chọn đáp án C.
Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2: Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z
A. Trục hồnh.
C. Đường thẳng x = 2.
Phân tích: Trong bài toán này, HS sử dụng cách giải cơ bản ở mức độ
đơn giản để chỉ ra tính chất của điểm biểu diễn cho số phức z.
Đặt z

x yi x , y

Do (1
Vậy tập hợp các điểm
0 và y

x 1

Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 5:

Cho S là

nghiệm phức mà điểm biểu diễn của ngh

tâm O(0;0), bán kính bằng 2 đơn vị. Tín
A.
Phân tích: Bài tốn này trở nên khó hơn khi HS phải biết phân chia
trường hợp của tham số để tìm ra phần thực, phần ảo của z .

Ta có:
Trường hợp 1 :
Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực: z
+ Với z

1

+ Với z

1

Trường hợp 2 :

trung trực của AB .
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1:

Cho số phức z
số phức z
A. Hai đường thẳng.
C. Một đường thẳng.

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
cho các số phức z1

Suy ra tập hợp M là đường trung tr
Mức độ 2: Thông hiểu.
Câu 2:

Cho số phức z

số phức z
A. Đường trịn tâm I(1; 2) , bán kín
B. Đường thẳng có phương trình 2

C. Đường thẳng có phương trình x

D. Đường thẳng có phương trình x

Chọn C
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z
phức z1
z 1

Suy ra tập hợp M là đường trung trực của AB có phương trình y
Chọn đáp án D
Mức độ 4: Vận dụng cao.
Câu 4: Có bao nhiêu số phức z
A. 0.
Phân tích: Để giải được bài toán này, nếu biến đổi đại số thơng thường,
học sinh sẽ khó đưa được từng ràng buộc về để tìm số lượng số phức z. Do đó,
HS cần biết các phép tốn về mơ đun của số phức để đưa các dữ kiện đó về dạng
z z1

Lời giải
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm
A(1;0),B(0;1),C(0; 3), D(0;
z1

1, z2

i,

Gọi số phức z
Ta có
AB có phương trình x – y =0.

z
z

i


z


z z'

Dấu

hiệu

R,

R 0

Cách giải
-

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z. Các điểm A, B, C... biểu diễn cho các

số phức liên quan z A , z B , zC ...
-

Tìm mối liên hệ giữa M với A, B, C...

-

Kết luận về tập hợp điểm M thỏa mãn

tâm I, bán kính R, I là điểm biểu diễn cho số phức z’.
Mức độ 1: Nhận biết.
Câu 1: Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z
A. Một đường tròn.
C. Một đường parabol.

C. I(2;
Phân
z

z'

R,

Lời giải
Chọn A
Gọi số phức z
Ta có:
z

Vậy tập
z

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho số ph

Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
A. Tâm I(3;
C. Tâm I( 3;1) ,
Phân


w

w'


z

25 b

1

2

100

9

3

Cách 2: sử dụng hình học giải tích

19


z

10 2i z 2 14i nên điểm M biểu diễn số phức z di động trên

đường thẳng
z

1

( I ; R) với I (1;10), R

nào dưới đây?

A.

C. ( x