www.tanbachkhoa.edu.vn
Biên soạn: Tiến sỹ Đặng Văn Vinh
Thời gian làm bài: 90 phút.
Hình thức thi: Tự luận.
Thang điểm: câu 1: 1 điểm, các câu còn lại: 1.5 điểm.
Đề luyện tập số 11.
Câu 1. Vẽ khối
Ω
giới hạn bởi
2 2 2
2x y z y+ + ≤
,
2 2
y x z≥ +
.
Câu 2. Trên mặt phẳng
2 0x y z+ − =
tìm điểm sao cho tổng khoảng cách từ đó điểm hai mặt phẳng
3 6 0x z
+ − =
và
3 2 0y z+ − =
là nhỏ nhất.
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
3 3 3 2
1
(3 1)!
1 2 5n
n
n
∞

V
I y z dxdydz= +
∫∫∫
, trong đó V là vật thể được giới hạn bởi
2 2 2 2 2 2
, 4, 2z x y x y z x y= + + = = + +
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
(2 )
S
I x y dydz= +
∫∫
, với S là phần mặt
2 2
z x y= +
bị cắt bởi mặt
4z =
, phía trên theo hướng trục Oz.
Đề luyện tập số 12.
Câu 1. Tính
'
(1,1)
x
f
của hàm
2 2
( , ) 2 4f x y x y= + − −
và biểu diễn hình học của đạo hàm riêng này
như là hệ số góc của tiếp tuyến.
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của

+ ×
Câu 5. Tính tích phân kép
{ }
max ,
D
I x y dxdy=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
0 4,0 4x y≤ ≤ ≤ ≤
.
Câu 6. Tính tích phân bội ba
V
I xdxdydz=
∫∫∫
, trong đó V là vật thể được giới hạn bởi
2 2 2 2 2
0, 4x y z x y z+ + ≤ + + ≤
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
3 3 3
S
I x dydz y dxdz z dxdy= + +
∫∫
với S là mặt phía ngoài của vật thể
giới hạn bởi
2 2 2
,0 1x z y y+ ≤ ≤ ≤
.
Đề luyện tập số 13.

+ −
Câu 4. Tìm chuỗi Taylor của
2
2 3
( )
5 6
x
f x
x x
+
=
− +
, tại
0
1x =
và tìm miền hội tụ của chuỗi này.
Câu 5. Tính tích phân kép
D
I xy dxdy=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
1 4.x y≤ + ≤
Câu 6. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi
( )
2
2 2
2 , , 0 ( 0) x y xy z x y z x+ = = + = >
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một

∞
=
=
∑
+ +
Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của
4
0
( )
1
x
dt
f x
t
=
∫
−
và tìm miền hội tụ của chuỗi này.
Câu 5. Tính tích phân
D
y dxdy
∫∫
với D là miền
2 2
2 2
1, 1.
16 9
x y
x y+ ≤ + ≥
Câu 6. Tìm diện tích phần mặt cầu

.
Câu 2. Tìm điểm M trên hình nón
2 2 2
z x y= +
, sao cho MA là nhỏ nhất, với A(4,2,0).
Câu 3. Tính tổng
1
2 3
5
n
n
n
∞
=
+
∑
Câu 4. Tìm chuỗi Maclaurint của hàm
3
( ) arctan
3
x
f x
x
+
=
−
và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này.
Câu 5. Tính tích phân
{ }
max sin ,sin

2
x y z+ + =
, phần
0y ≥
, phía
ngoài (phía trên theo hướng trục Oy).
Đề luyện tập số 16.
2
Câu 1. Cho
3 2
( , ) arctan , ( , ) 2 , ( , ) 2
u
f f u v u u x y x y v v x y x y
v
= = = = + = = +
. Tính
2
f
x y
∂
∂ ∂
.
Câu 2. Cho một hình hộp chữ nhật ở góc phần tám thứ nhất trong hệ trục Oxyz, có 3 mặt nằm trên 3
mặt phẳng tọa độ và một đỉnh nằm trên mặt phẳng
2 3 6x y z+ + =
. Tìm thể tích lớn nhất.
Câu 3. Tính tổng
1
1
( 2)

0, 0, 4sin , 3cos , 0, / 2x y x t y t t
π
= = = = ∈
.
Câu 6. Tính tích phân đường
3 2
C
I zdx xdy ydz= + +
∫Ñ
, với C là giao của mặt phẳng
2x z
+ =
và mặt
cầu
2
4
2
x y+ =
theo chiều kim đồng hồ theo hướng trục Oz.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
3 3
S
I x dydz y dzdx= +
∫∫
, với S là mặt ngoài của nửa trên ellipsoid
( )
2 2
2
1, 0
16 9

n
∞
=
−
∑
× × L
Câu 4. Sử dụng khai triển Maclaurint của hàm dưới dấu tích phân thành chuỗi, tính
0
1
x
xdx
e
+∞
∫
+
Câu 5. Tính tích phân
( )
2 2
0
2sign x y dxdy− +
∫∫
với D
0 3,0 3x y≤ ≤ ≤ ≤
.
Câu 6. Tính tích phân đường
( ) ( ) ( )
2 2 2
C
I y z dx z x dy x y dz= + + + + +
∫Ñ

x y

−
≠

=
+


=

. Tìm
2 2 2 2
2 2
(0,0), (0,0), (0,0), (0,0)
f f f f
y x x y
x y
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
.
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
( , ) 4 6f x y x y= +
với điều kiện
2 2
13x y+ =
.
Câu 3. Tính tổng
1

3 2xy xy
C
I x ye dx y xe dy= + + +
∫
, trong đó C là phần elip
2 2
1
16 9
x y
+ =
từ
điểm A(4,0) đến B(0,-3) theo chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
3
( 1) 3 5
S
I x dydz ydzdx zdxdy= − + +
∫∫
, với S là mặt ngoài của nửa
dưới mặt cầu
2 2
2 , 0
2
x y z x z+ + = ≤
.
Đề luyện tập số 19.
Câu 1. Vẽ khối
Ω
giới hạn bởi
2 2 2

và tìm bán kính hội tụ của chuỗi này.
Câu 5. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi
2 2
2 6 , 3, 0x x y x y x y x≤ + ≤ ≤ + ≥
.
Câu 6. Tính tích phân đường
2
C
I y dl=
∫
, C là cung Cycloid
( sin ), (1 cos ),0 2x a t t y a t t
π
= − = − ≤ ≤
.
Câu 7. Tính tích phân mặt loại hai
2
S
I z dxdy=
∫∫
, S là mặt trong của nửa mặt cầu
( ) ( )
2 2
2
1 2 4, 0x y z z− + − + = ≥
.
Đề luyện tập số 20.
Câu 1. Tìm vi phân cấp hai của hàm
( , )z z x y=
là hàm ẩn xác định từ phương trình

1
1 ( 2)
1
n
n
n
x
n n
−
∞
=
− +
∑
+ +
Câu 5. Tính tích phân kép
( )
D
I x y dxdy= −
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi đường astroid
3 3
cos , sin ,0 / 2x a t y a t t
π
= = ≤ ≤
, và các trục tọa độ.
Câu 6. Tính tích phân đường loại một
( )
C
I x y dl= +